Проблема Минковского - Minkowski problem
В дифференциальной геометрии , то проблема Минковского , названный в честь Герман Минковский , просит для построения строго выпуклой компактной поверхности S , чья гауссова кривизна задана. Точнее, входом в задачу является строго положительная вещественная функция ƒ, определенная на сфере, а поверхность, которая должна быть построена, должна иметь гауссову кривизну ƒ ( n ( x )) в точке x , где n ( x ) обозначает нормаль к S в точке x . Эухенио Калаби заявил: «С геометрической точки зрения это [проблема Минковского] - это Розеттский камень , с помощью которого можно решить несколько связанных проблем».
В полной общности проблема Минковского требует, чтобы неотрицательная борелевская мера на единичной сфере S n-1 была мерой площади поверхности выпуклого тела в . Здесь мера площади поверхности S K выпуклого тела K является прямым следствием (n-1) -мерной меры Хаусдорфа, ограниченной границей K через отображение Гаусса . Проблема Минковского была решена Германом Минковским , Александром Даниловичем Александровым , Вернером Фенхелем и Бёрге Йессеном : мера Бореля μ на единичной сфере является мерой площади поверхности выпуклого тела тогда и только тогда, когда μ имеет центроид в нуле и не сосредоточен на большой подсфере. Тогда выпуклое тело однозначно определяется по μ с точностью до сдвигов.
Проблема Минковского, несмотря на ее явное геометрическое происхождение, обнаруживается во многих местах. Проблема радиолокации легко сводится к проблеме Минковского в трехмерном евклидовом пространстве : восстановление выпуклой формы по заданной кривизне гауссовой поверхности. Обратная задача дифракции коротких волн сводится к задаче Минковского. Проблема Минковского является основой математической теории дифракции, а также физической теории дифракции.
В 1953 году Луи Ниренберг опубликовал решения двух давних открытых проблем, проблемы Вейля и проблемы Минковского в трехмерном евклидовом пространстве. Решение Л. Ниренбергом проблемы Минковского стало важной вехой в глобальной геометрии. Он был выбран в качестве первого лауреата медали Черна (в 2010 г.) за его роль в формулировке современной теории нелинейных эллиптических уравнений в частных производных, в частности, за решение проблемы Вейля и проблем Минковского в евклидовой системе трех уравнений. космос.
А.В. Погорелов получил Государственную премию Украины (1973) за решение многомерной проблемы Минковского в евклидовых пространствах. Погорелов решил проблему Вейля в римановом пространстве в 1969 году.
Совместная работа Shing-Tung Yau и Shiu-Yuen Cheng дает полное доказательство многомерной проблемы Минковского в евклидовых пространствах. Шинг-Тунг Яу получил медаль Филдса на Международном конгрессе математиков в Варшаве в 1982 году за свою работу в области глобальной дифференциальной геометрии и эллиптических уравнений в частных производных , в частности за решение таких сложных задач, как гипотеза Калаби 1954 года и проблема Германа Минковского. в евклидовых пространствах относительно задачи Дирихле для вещественного уравнения Монжа – Ампера .