Теорема модульности - Modularity theorem

Теорема модульности (прежнее название гипотезы Таниям-Шимуры , Таниям-Weil гипотезы или модульность гипотеза для эллиптических кривых ) утверждает , что эллиптические кривые над полем рациональных чисел связаны с модульными формами . Эндрю Уайлс доказал теорему модульности для полустабильных эллиптических кривых , которой было достаточно, чтобы вывести Великую теорему Ферма . Позже серия работ бывших учеников Уайлса Брайана Конрада , Фреда Даймонда и Ричарда Тейлора , кульминацией которых стала совместная работа с Кристофом Брейлем , расширила технику Уайлса, чтобы доказать полную теорему модульности в 2001 году.

Заявление

В теореме говорится , что любая эллиптическая кривая над может быть получено с помощью рационального отображения с целыми коэффициентами от классической модульной кривой для некоторого целого числа ; это кривая с целыми коэффициентами с явным определением. Это отображение называется модульной параметризацией уровня . Если - наименьшее целое число, для которого может быть найдена такая параметризация (которая, согласно самой теореме модульности, теперь известна как число, называемое проводником ), то параметризация может быть определена в терминах отображения, генерируемого модульными модулями определенного типа. форма веса два и уровня , нормализованная новая форма с целочисленным расширением, за которой, если необходимо, следует изогения . ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ ${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle q}$

Связанные заявления

Из теоремы модульности следует тесно связанное аналитическое утверждение:

К каждой эллиптической кривой E над нами можно присоединить соответствующий L-ряд . В -рядах является ряд Дирихля , обычно пишутся ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle L (E, s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}.}$

Тогда производящая функция коэффициентов равна ${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle f (E, q) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} q ^ {n}.}$

Если мы сделаем замену

${\ Displaystyle д = е ^ {2 \ пи я \ тау}}$

мы видим, что мы написали разложение Фурье функции комплексной переменной , поэтому коэффициенты -серии также считаются коэффициентами Фурье . Примечательно, что полученная таким образом функция является формой возврата веса два и уровня, а также является собственной формой (собственным вектором всех операторов Гекке ); это гипотеза Хассе – Вейля , вытекающая из теоремы модульности. ${\ Displaystyle е (Е, \ тау)}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle N}$

Некоторые модулярные формы веса два, в свою очередь, соответствуют голоморфным дифференциалам эллиптической кривой. Якобиан модулярной кривой можно (с точностью до изогении) записать как произведение неприводимых абелевых многообразий , соответствующих собственным формам Гекке веса 2. Одномерные множители являются эллиптическими кривыми (могут быть также множители более высокой размерности, поэтому не все собственные формы Гекке соответствуют рациональным эллиптическим кривым). Кривая, полученная путем нахождения соответствующей формы возврата и последующего построения кривой из нее, изогенна исходной кривой (но, как правило, не изоморфна ей).

История

Ютака Танияма высказал предварительную (слегка неверную) версию гипотезы на международном симпозиуме 1955 года по алгебраической теории чисел в Токио и Никко . Горо Шимура и Танияма работали над улучшением его строгости до 1957 года. Андре Вейль заново открыл эту гипотезу и показал, что она будет вытекать из (предполагаемых) функциональных уравнений для некоторых скрученных -рядов эллиптической кривой; это было первое серьезное свидетельство того, что это предположение может быть верным. Вейль также показал, что проводником эллиптической кривой должен быть уровень соответствующей модульной формы. Гипотеза Таниямы – Шимуры – Вейля стала частью программы Ленглендса . ${\ displaystyle L}$

Гипотеза вызвала значительный интерес, когда Герхард Фрей предположил, что она следует из Великой теоремы Ферма . Он сделал это, пытаясь показать, что любой контрпример к Великой теореме Ферма будет подразумевать существование по крайней мере одной немодулярной эллиптической кривой. Этот аргумент был завершен, когда Жан-Пьер Серр идентифицировал недостающее звено (теперь известное как эпсилон-гипотеза или теорема Рибета) в оригинальной работе Фрея, а два года спустя Кен Рибет завершил доказательство эпсилон-гипотезы.

Даже после того, как гипотеза Таниямы – Шимуры – Вейля привлекла к себе серьезное внимание, современные математики считали ее чрезвычайно сложной для доказательства или, возможно, даже недоступной для доказательства. Например, доктор философии Уайлса. руководитель Джон Коутс заявляет, что это казалось «невозможно доказать на самом деле», а Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали [это] полностью недоступным».

Эндрю Уайлс с некоторой помощью Ричарда Тейлора доказал гипотезу Таниямы – Шимуры – Вейля для всех полустабильных эллиптических кривых , которую он использовал для доказательства Великой теоремы Ферма, а полная гипотеза Таниямы – Шимуры – Вейля была окончательно доказана Даймондом, Конрадом. Даймонд и Тейлор; и Брей, Конрад, Даймонд и Тейлор; опираясь на работу Уайлса, постепенно сокращая оставшиеся случаи, пока не был доказан полный результат.

После полного доказательства гипотеза стала известна как теорема модульности.

Несколько теорем теории чисел, подобных Великой теореме Ферма, вытекают из теоремы модульности. Например: нет куб не может быть записан в виде суммы двух взаимно простых -х степеней, . (Этот случай уже был известен Эйлеру .) ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle п \ geq 3}$${\ displaystyle n = 3}$

Обобщения

Теорема модулярности - это частный случай более общих гипотез Роберта Ленглендса . Программа Ленглендса стремится присоединить автоморфную форму или автоморфное представление (подходящее обобщение модульной формы) к более общим объектам арифметической алгебраической геометрии, например к каждой эллиптической кривой над числовым полем . Большинство случаев этих расширенных гипотез еще не доказано. Однако Фрейтас, Ле Хунг и Сиксек доказали, что эллиптические кривые, определенные над действительными квадратичными полями, модульны.

Примечания

использованная литература

• Брей, Кристоф; Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (2001), "О модульности эллиптических кривых над Q : дикие 3-ичных упражнения", журнал Американского математического общества , 14 (4): 843-939, DOI : 10,1090 / S0894-0347-01- 00370-8 , ISSN  0894-0347 , MR  1839918
• Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (1999), "Модульность некоторых потенциально представлений Barsotti-Tate Галуа", журнал Американского математического общества , 12 (2): 521-567, DOI : 10,1090 / S0894-0347-99-00287-8 , ISSN  0894-0347 , Руководство по ремонту  1639612
• Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х .; Стивенс, Гленн, ред. (1997), Модульные формы и последняя теорема Ферма , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94609-2, MR  1638473
• Дармон, Генри (1999), «Объявлено доказательство полной гипотезы Шимуры – Таниямы – Вейля» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 46 (11): 1397–1401, ISSN  0002-9920 , MR  1723249Содержит краткое введение в теорему и схему доказательства.
• Алмаз, Фред (1996), "О деформации колец и колец Гекке", Анналы математики , второй серии, 144 (1): 137-166, DOI : 10,2307 / 2118586 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2118586 , MR  1405946
• Фрейтас, Нуно; Ле Хунг, Бао В .; Сиксек, Самир (2015), «Эллиптические кривые над вещественными квадратичными полями являются модульными», Inventiones Mathematicae , 201 (1): 159–206, arXiv : 1310.7088 , Bibcode : 2015InMat.201..159F , doi : 10.1007 / s00222-014 -0550-z , ISSN  0020-9910 , MR  3359051
• Фрей, Герхард (1986), "Связи между стабильными эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями", Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae , 1 (1): iv + 40, ISSN  0933-8268 , MR  0853387
• Мазур, Барри (1991), "Теория чисел , как овод", Американский Математический Ежемесячный , 98 (7): 593-610, DOI : 10,2307 / 2324924 , ISSN  0002-9890 , JSTOR  2324924 , MR  1121312 Обсуждает гипотезу Таниямы – Шимуры – Вейля за 3 года до того, как она была доказана для бесконечного множества случаев.
• Рибет, Кеннет А. (1990), «О модульных представлениях Gal ( Q / Q), возникающих из модульных форм», Inventiones Mathematicae , 100 (2): 431–476, Bibcode : 1990InMat.100..431R , doi : 10.1007 / BF01231195 , hdl : 10338.dmlcz / 147454 , ISSN  0020-9910 , MR  1047143
• Серра, Жан-Пьер (1987), "Сур ле де modulaires ЗАВЕРЕНИЯ degré 2 - де - Gal ( Q / Q)", Герцог математический журнал , 54 (1): 179-230, DOI : 10,1215 / S0012-7094-87-05413 -5 , ISSN  0012-7094 , MR  0885783
• Симура, Горо (1989), "Танияма и его время очень личные воспоминания." Бюллетень Лондонского математического общества , 21 (2): 186-196, DOI : 10,1112 / БЛМ / 21.2.186 , ISSN  0024-6093 , Руководство по ремонту  0976064
• Сингх, Саймон (1997), Последняя теорема Ферма , ISBN 978-1-85702-521-7
• Танияма, Ютака (1956), «Проблема 12», Сугаку (на японском языке), 7 : 269Английский перевод в ( Shimura 1989 , p. 194)
• Тейлор, Ричард; Уайлс, Эндрю (1995), "теоретико-кольцевых свойства некоторых алгебр Гекка", Анналы математики , вторая серия, 141 (3): 553-572, CiteSeerX  10.1.1.128.531 , DOI : 10,2307 / 2118560 , ISSN  0003- 486X , JSTOR  2118560 , Руководство по эксплуатации  1333036
• Вейль, Андре (1967), "Убер умереть Bestimmung Dirichletscher Reihen Durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen , 168 : 149-156, DOI : 10.1007 / BF01361551 , ISSN  0025-5831 , МР  0207658
• Уайлс, Эндрю (1995a), "Модульные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма", Анналы математики , вторая серия, 141 (3): 443-551, CiteSeerX  10.1.1.169.9076 , DOI : 10,2307 / 2118559 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2118559 , Руководство по ремонту  1333035
• Уайлс, Эндрю (1995b), "Модульные формы, эллиптические кривые и последняя теорема Ферма", Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Цюрих, 1994) , Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 243–245, MR  1403925

внешние ссылки

• Дармон, Х. (2001) [1994], "Гипотеза Шимуры – Таниямы" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вайстейн, Эрик В. «Гипотеза Таниямы – Шимуры» . MathWorld .