Аппроксимация Паде - Padé approximant
В математике , аппроксимация Пада является «лучшим» приближением функции с помощью рациональной функции заданного порядка - по этой методике, аппроксиманты в степенном ряде согласуется с степенным рядом функции она аппроксимирующая. Этот метод был разработан примерно в 1890 году Анри Паде , но восходит к Георгу Фробениусу , который представил идею и исследовал особенности рациональных приближений степенных рядов.
Аппроксимация Паде часто дает лучшее приближение функции, чем усечение ее ряда Тейлора , и может работать там, где ряд Тейлора не сходится . По этим причинам аппроксимации Паде широко используются в компьютерных расчетах . Они также использовались в качестве вспомогательных функций в диофантовом приближении и трансцендентной теории чисел , хотя для получения точных результатов их обычно заменяют специальные методы, в некотором смысле вдохновленные теорией Паде. Поскольку аппроксимация Паде является рациональной функцией, в качестве приближения может возникнуть искусственная особая точка, но этого можно избежать с помощью анализа Бореля-Паде .
Причина, по которой аппроксимация Паде имеет тенденцию быть лучшим приближением, чем усекающий ряд Тейлора, ясна с точки зрения метода многоточечного суммирования. Так как во многих случаях асимптотическое разложение на бесконечности становится 0 или константой, его можно интерпретировать как «неполное двухточечное приближение Паде», в котором обычное приближение Паде улучшает метод усечения ряда Тейлора .
Определение
Для функции f и двух целых чисел m ≥ 0 и n ≥ 1 аппроксимация Паде порядка [ m / n ] является рациональной функцией
что согласуется с f ( x ) в максимально возможном порядке, который составляет
Эквивалентно, если раскрывается в ряд Маклорена (ряд Тейлора в 0), его первые члены отменяют первые члены , и как таковые
Аппроксимация Паде единственна для заданных m и n , то есть коэффициенты могут быть определены однозначно. По причинам уникальности член нулевого порядка в знаменателе был выбран равным 1, иначе числитель и знаменатель были бы уникальными только с точностью до умножения на константу.
Аппроксиманта Паде, определенная выше, также обозначается как
Вычисление
Для данного x аппроксимации Паде могут быть вычислены с помощью эпсилон-алгоритма Винна, а также других преобразований последовательностей из частичных сумм.
ряда Тейлора функции f , т. е. имеем
f также может быть формальным степенным рядом , и, следовательно, аппроксимации Паде также могут применяться для суммирования расходящихся рядов .
Одним из способов вычисления аппроксимации Паде является расширенный алгоритм Евклида для полиномиального наибольшего общего делителя . Отношение
равносильно существованию такого фактора , что
которое можно интерпретировать как тождество Безу одного шага в вычислении расширенного наибольшего общего делителя многочленов и .
Резюмируя: чтобы вычислить наибольший общий делитель двух многочленов p и q , нужно вычислить посредством длинного деления остаток последовательности
k = 1, 2, 3, ... с , до . Для тождеств Безу расширенного наибольшего общего делителя одновременно вычисляются две полиномиальные последовательности
для получения на каждом шаге тождества Безу
Для аппроксимации [ m / n ], таким образом, выполняется расширенный алгоритм Евклида для
и останавливает его в последний момент степени n или меньше.
Тогда многочлены дают аппроксимацию [ m / n ] Паде. Если бы нужно было вычислить все шаги расширенного вычисления наибольшего общего делителя, то можно было бы получить антидиагональ таблицы Паде .
Дзета-функция Римана – Паде
Чтобы изучить повторное суммирование расходящегося ряда , скажем
может быть полезно ввести Паде или просто рациональную дзета-функцию в виде
куда
- аппроксимация Паде порядка ( m , n ) функции f ( x ). Значение дзета-регуляризации при s = 0 берется как сумма расходящегося ряда.
Функциональное уравнение для этой дзета-функции Паде имеет вид
где a j и b j - коэффициенты в приближении Паде. Нижний индекс «0» означает, что Паде имеет порядок [0/0] и, следовательно, у нас есть дзета-функция Римана.
Метод DLog Padé
Аппроксимации Паде можно использовать для извлечения критических точек и показателей функций. В термодинамике, если функция f ( x ) ведет себя неаналитическим образом вблизи точки x = r, например , x = r называется критической точкой, а p - ассоциированным критическим показателем f . Если известны достаточные члены разложения f в ряд , можно приблизительно извлечь критические точки и критические показатели из полюсов и вычетов аппроксимаций Паде соответственно, где .
Обобщения
Аппроксимация Паде приближает функцию от одной переменной. Аппроксимация двух переменных называется аппроксимацией Чисхолма (от JSR Chisholm ), а аппроксимация нескольких переменных - Кентерберийской аппроксимацией (по Грейвсу-Моррису в Кентском университете).
Аппроксимация Паде двух точек
Установлено, что обычное приближение Паде воспроизводит разложение Маклорена до заданного порядка. Следовательно, приближение к значению, отличному от точки расширения, может быть плохим. Этого можно избежать с помощью 2-точечного приближения Паде, которое представляет собой тип метода многоточечного суммирования. При рассмотрим случай, когда функция, которая выражается асимптотическим поведением ,
Помимо этого, при дополнительной асимптотике
Выбирая основное поведение , можно найти приближенные функции , которые одновременно воспроизводят асимптотическое поведение, развивая приближение Паде в различных случаях. В результате в точке, где точность аппроксимации может быть наихудшей в обычном приближении Паде, гарантируется хорошая точность двухточечной аппроксимации Паде. Следовательно, двухточечная аппроксимация Паде может быть методом, который дает хорошее приближение в целом для .
В случаях, которые выражаются полиномами или сериями отрицательных степеней, экспоненциальной функцией, логарифмической функцией или , мы можем применить 2-точечную аппроксимацию Паде к . Существует метод использования этого для получения приближенного решения дифференциального уравнения с высокой точностью. Кроме того, для нетривиальных нулей дзета-функции Римана первый нетривиальный нуль можно оценить с некоторой точностью из асимптотики на действительной оси.
Многоточечная аппроксимация Паде
Дальнейшим расширением двухточечной аппроксимации Паде является многоточечная аппроксимация Паде. Этот метод рассматривает сингулярности точки одной функции , которая должна быть аппроксимирована. Рассмотрим случаи, когда особенности функции выражаются индексом через
Помимо 2-точечной аппроксимации Паде, которая включает информацию в , этот метод приближает, чтобы уменьшить свойство расхождения в . В результате, поскольку информация об особенностях функции фиксируется, аппроксимация функции может выполняться с более высокой точностью.
Примеры
- грех ( х )
- ехр ( х )
- Якоби
- Бессель Дж (5, х )
- erf ( x )
- Френель
Смотрите также
использованная литература
- ^ Теорема 1 в Винн, Питер (март 1966 г.), «О сходимости и устойчивости алгоритма Эпсилон», Журнал SIAM по численному анализу , 3 (1): 91–122, Bibcode : 1966SJNA .... 3 ... 91W , DOI : 10,1137 / 0703007 , JSTOR 2949688
- ^ Brezenski, С. (1996), "алгоритмы Экстраполяционных и Пад", Прикладная вычислительная математика , 20 (3): 299-318, CiteSeerX 10.1.1.20.9528 , DOI : 10,1016 / 0168-9274 (95) 00110-7
- ^ Проблема 5.2b и алгоритм 5.2 (стр. 46) в Бини, Дарио; Пан, Виктор (1994), Полиномиальные и матричные вычисления - Том 1. Фундаментальные алгоритмы , прогресс теоретической информатики, Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-3786-6
- Перейти ↑ Chisholm, JSR (1973). «Рациональные аппроксимации, определенные из двойных степенных рядов» . Математика вычислений . 27 (124): 841–848. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1973-0382928-6 . ISSN 0025-5718 .
- ^ Грейвс-Моррис, PR; Робертс, DE (1975). «Расчет аппроксимаций Кентербери». Компьютерная физика . 10 (4): 234–244. Bibcode : 1975CoPhC..10..234G . DOI : 10.1016 / 0010-4655 (75) 90068-5 .
- ^ a b c d Уэока, Йошики. Введение в метод многоточечного суммирования Современная прикладная математика, которая связывает здесь и бесконечное за его пределами: от разложения Тейлора до применения дифференциальных уравнений .
Литература
- Бейкер, Джорджия, мл .; и Грейвс-Моррис, Аппроксимации П. Паде . Кембриджский университет, 1996 г.
- Бейкер, Г.А., Аппроксимант Паде младшего , Scholarpedia , 7 (6): 9756.
- Брезинский, Ц .; и Редиво Заглия, М. Методы экстраполяции. Теория и практика . Северная Голландия, 1991 г.
- Нажмите, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 5.12 Аппроксимации Паде» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- Frobenius, G .; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen , [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Crelle)]. Том 1881, выпуск 90, страницы 1–17
- Грэгг, ВБ; Таблица Паде и ее связь с некоторыми алгоритмами численного анализа [Обзор SIAM], Vol. 14, № 1, 1972, с. 1–62.
- Padé, H .; Sur la répresentation Approchée d'une fonction par des fractions rationelles , Thesis, [Ann. \ 'Ecole Nor. (3), 9, 1892, с. 1–93 приложение.
- Винн П. (1966), «О системах рекурсий, которые возникают среди частных таблицы Паде», Numerische Mathematik , 8 (3): 264–269, doi : 10.1007 / BF02162562 , S2CID 123789548
внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Аппроксимант Паде» . MathWorld .
- Аппроксимации Паде , Александр Павлик, Демонстрационный проект Вольфрама .
- Краткое руководство по анализу данных: приближение Паде , Европейская лаборатория физики элементарных частиц им. Рудольфа К. Бока , ЦЕРН .
- Sinewave , Скотт Даттало, последний доступ 11 ноября 2010 г.
- Функция MATLAB для аппроксимации моделей Паде с временными задержками.