Остаток (комплексный анализ) - Residue (complex analysis)

В математике , более конкретно , комплексный анализ , то остаток представляет собой комплексное число пропорционально контурного интеграл от в мероморфной функции вдоль траектории , охватывающей одну из его особенностей . (В более общем смысле, вычеты могут быть вычислены для любой функции, которая является голоморфной, за исключением дискретных точек { a _k } _k , даже если некоторые из них являются существенными особенностями .) Вычеты могут быть вычислены довольно легко и, будучи однажды известными, позволяют определить общие контурные интегралы с помощью теоремы о вычетах . ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {C} \ setminus \ {a_ {k} \} _ {k} \ rightarrow \ mathbb {C}}$

Определение

Вычет мероморфной функции в изолированной особенности , часто обозначаемый или , является единственным значением , имеющим аналитическую первообразную в проколотом диске . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, a)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} (f)}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle f (z) -R / (za)}$ ${\ Displaystyle 0 <\ верт за \ верт <\ дельта}$

В качестве альтернативы, остатки можно вычислить, найдя разложения ряда Лорана , и можно определить остаток как коэффициент a _-1 ряда Лорана.

Определение вычета можно обобщить на произвольные римановы поверхности . Предположим, что есть 1-форма на римановой поверхности. Позвольте быть мероморфным в некоторой точке , чтобы мы могли записать в локальных координатах как . Тогда остаток at определяется как остаток в точке, соответствующей . ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle f (z) \; dz}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle x}$

Примеры

Остаток монома

Вычисление вычета одночлена

{\ displaystyle \ oint _ {C} z ^ {k} \, dz}

упрощает выполнение большинства вычислений остатков. Поскольку вычисления интегралов по путям являются гомотопически инвариантными, пусть это будет окружность с радиусом . Тогда, используя замену координат, находим, что ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle г \ к е ^ {я \ тета}}$

{\ displaystyle dz \ to d (e ^ {i \ theta}) = ie ^ {i \ theta} \, d \ theta}

следовательно, наш интеграл теперь читается как

{\ displaystyle \ oint _ {C} z ^ {k} dz = \ int _ {0} ^ {2 \ pi}, т.е. ^ {i (k + 1) \ theta} \, d \ theta = {\ begin { case} 2 \ pi i & {\ text {if}} k = -1, \\ 0 & {\ text {else}}. \ end {ases}}}

Применение мономиального вычета

В качестве примера рассмотрим контурный интеграл

{\ displaystyle \ oint _ {C} {e ^ {z} \ over z ^ {5}} \, dz}

где C - некоторая простая замкнутая кривая около 0.

Оценим этот интеграл, используя стандартный результат сходимости об интегрировании по рядам. Мы можем заменить ряд Тейлора для в подынтегральное. Тогда интеграл принимает вид ${\ displaystyle e ^ {z}}$

{\ displaystyle \ oint _ {C} {1 \ over z ^ {5}} \ left (1 + z + {z ^ {2} \ over 2!} + {z ^ {3} \ over 3!} + { z ^ {4} \ over 4!} + {z ^ {5} \ over 5!} + {z ^ {6} \ over 6!} + \ cdots \ right) \, dz.}

Внесем в ряд фактор 1 / z ⁵ . Тогда контурный интеграл ряда записывает

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ oint _ {C} \ left ({1 \ over z ^ {5}} + {z \ over z ^ {5}} + {z ^ {2} \ over 2) ! \; z ^ {5}} + {z ^ {3} \ over 3! \; z ^ {5}} + {z ^ {4} \ over 4! \; z ^ {5}} + {z ^ {5} \ более 5! \; Z ^ {5}} + {z ^ {6} \ более 6! \; Z ^ {5}} + \ cdots \ right) \, dz \\ [4pt] = {} & \ oint _ {C} \ left ({1 \ over \; z ^ {5}} + {1 \ over \; z ^ {4}} + {1 \ over 2! \; z ^ {3 }} + {1 \ over 3! \; Z ^ {2}} + {1 \ over 4! \; Z} + {1 \ over \; 5!} + {Z \ over 6!} + \ Cdots \ вправо) \, dz. \ end {выровнено}}}

Поскольку ряд сходится равномерно на опоре пути интегрирования, нам разрешено обмениваться интегрированием и суммированием. Затем ряд интегралов по траекториям схлопывается до гораздо более простой формы из-за предыдущего вычисления. Итак, теперь интеграл вокруг C от любого другого члена, отличного от cz ^−1, равен нулю, и интеграл сводится к

{\ displaystyle \ oint _ {C} {1 \ over 4! \; z} \, dz = {1 \ over 4!} \ oint _ {C} {1 \ over z} \, dz = {1 \ over 4!} (2 \ pi i) = {\ pi i \ более 12}.}

Стоимость 1/4! это остаток от й ^г / г ⁵ при г = 0, и обозначается

{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} {e ^ {z} \ over z ^ {5}}, {\ text {или}} \ operatorname {Res} _ {z = 0} {e ^ {z } \ over z ^ {5}}, {\ text {или}} \ operatorname {Res} (f, 0) {\ text {for}} f = {e ^ {z} \ over z ^ {5}} .}

Расчет остатков

Предположим, что диск D = { z : 0 <| z - c | < R } в комплексной плоскости задана и F является голоморфной функцией определяется (по крайней мере) на D . Вычет Res ( f , c ) функции f в точке c является коэффициентом a ₋₁ функции ( z - c ) ⁻¹ в разложении функции f в ряд Лорана вокруг точки c . Существуют различные методы для вычисления этого значения, и выбор того, какой метод использовать, зависит от рассматриваемой функции и от природы особенности.

Согласно теореме о вычетах имеем:

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, c) = {1 \ over 2 \ pi i} \ oint _ {\ gamma} f (z) \, dz}

где γ очерчивает окружность вокруг c против часовой стрелки. Мы можем выбрать путь γ как окружность радиуса ε вокруг c , где ε настолько мала, насколько мы желаем. Это можно использовать для вычисления в тех случаях, когда интеграл может быть вычислен напрямую, но обычно вычеты используются для упрощения вычисления интегралов, а не наоборот.

Устранимые особенности

Если функцию f можно продолжить до голоморфной функции на всем круге , то Res ( f , c ) = 0. Обратное, вообще говоря, неверно. ${\ displaystyle | yc | <R}$

Простые столбы

В простом полюсе c вычет f определяется как:

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, c) = \ lim _ {z \ to c} (zc) f (z).}

Это может быть , что функция F может быть выражен в виде отношения двух функций, где г и ч являются голоморфные функции в окрестности из C , с ч ( гр ) = 0 и ч» ( с ) ≠ 0. В таком В этом случае можно использовать правило L'Hôpital, чтобы упростить приведенную выше формулу: ${\ Displaystyle е (г) = {\ гидроразрыва {г (г)} {ч (г)}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Res} (f, c) & = \ lim _ {z \ to c} (zc) f (z) = \ lim _ {z \ to c} {\ frac {zg (z) -cg (z)} {h (z)}} \\ [4pt] & = \ lim _ {z \ to c} {\ frac {g (z) + zg '(z) -cg '(z)} {h' (z)}} = {\ frac {g (c)} {h '(c)}}. \ end {выравнивается}}}

Формула предела для полюсов более высокого порядка

В более общем смысле, если c - полюс порядка n , то вычет f вокруг z = c можно найти по формуле:

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, c) = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ lim _ {z \ to c} {\ frac {d ^ {n-1}} {dz ^ {n-1}}} \ left ((zc) ^ {n} f (z) \ right).}

Эта формула может быть очень полезной при определении остатков полюсов низкого порядка. Для полюсов более высокого порядка вычисления могут стать неуправляемыми, и расширение ряда обычно упрощается. Для существенных особенностей такой простой формулы не существует, и вычеты обычно следует брать непосредственно из разложений в ряд.

Остаток на бесконечности

В общем случае остаток на бесконечности определяется как:

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f (z), \ infty) = - \ operatorname {Res} \ left ({\ frac {1} {z ^ {2}}} f \ left ({\ frac {1 } {z}} \ right), 0 \ right).}

Если выполняется следующее условие:

{\ Displaystyle \ lim _ {| z | \ к \ infty} f (z) = 0,}

тогда остаток на бесконечности можно вычислить по следующей формуле:

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, \ infty) = - \ lim _ {| z | \ to \ infty} z \ cdot f (z).}

Если вместо этого

{\ Displaystyle \ lim _ {| Z | \ к \ infty} е (г) = с \ neq 0,}

то вычет на бесконечности равен

{\ displaystyle \ operatorname {Res} (f, \ infty) = \ lim _ {| z | \ to \ infty} z ^ {2} \ cdot f '(z).}

Серийные методы

Если части или всю функцию можно разложить в ряд Тейлора или Лорана , что может быть возможно, если части или вся функция имеют стандартное разложение в ряд, то вычисление остатка значительно проще, чем с помощью других методов.

В качестве первого примера рассмотрим вычисление вычетов в особенностях функции
${\ Displaystyle е (г) = {\ грех г \ над г ^ {2} -z}}$

которые можно использовать для вычисления некоторых контурных интегралов. Эта функция, кажется, имеет особенность при z = 0, но если разложить знаменатель на множители и, таким образом, записать функцию как

${\ Displaystyle е (г) = {\ грех г \ над г (г-1)}}$

очевидно, что особенность в точке z = 0 является устранимой особенностью, и тогда вычет в точке z = 0 равен 0.

Единственная другая особенность находится при z = 1. Напомним выражение для ряда Тейлора для функции g ( z ) относительно z = a :

${\ displaystyle g (z) = g (a) + g '(a) (za) + {g' '(a) (za) ^ {2} \ over 2!} + {g' '' (a) (za) ^ {3} \ более 3!} + \ cdots}$

Итак, при g ( z ) = sin z и a = 1 имеем

${\ displaystyle \ sin z = \ sin 1 + (\ cos 1) (z-1) + {- (\ sin 1) (z-1) ^ {2} \ over 2!} + {- (\ cos 1 ) (z-1) ^ {3} \ over 3!} + \ cdots.}$

а при g ( z ) = 1 / z и a = 1 имеем

${\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {1} {(z-1) +1}} = 1- (z-1) + (z-1) ^ {2} - ( z-1) ^ {3} + \ cdots.}$

Умножение этих двух рядов и введение 1 / ( z - 1) дает нам

${\ displaystyle {\ frac {\ sin z} {z (z-1)}} = {\ sin 1 \ over z-1} + (\ соз 1- \ sin 1) + (z-1) \ left ( - {\ frac {\ sin 1} {2!}} - \ cos 1+ \ sin 1 \ right) + \ cdots.}$
Таким образом, вычет f ( z ) при z = 1 равен sin 1.
Следующий пример показывает, что при вычислении вычета разложением в ряд основную роль играет теорема обращения Лагранжа . Позволять
${\ Displaystyle и (г): = \ сумма _ {к \ geq 1} и_ {к} г ^ {к}}$
- целая функция , и пусть
${\ Displaystyle v (z): = \ сумма _ {k \ geq 1} v_ {k} z ^ {k}}$
с положительным радиусом сходимости, а с . Таким образом , имеет локальный обратный в 0, и является мероморфны в 0. Тогда мы имеем: ${\ displaystyle \ textstyle v_ {1} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ textstyle v (z)}$ ${\ displaystyle \ textstyle V (z)}$ ${\ Displaystyle \ textstyle и (1 / V (z))}$
${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} {\ big (} u (1 / V (z)) {\ big)} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} ku_ {k} v_ {k}.}$
Верно,
${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} {\ big (} u (1 / V (z)) {\ big)} = \ operatorname {Res} _ {0} \ left (\ sum _ {k \ geq 1} u_ {k} V (z) ^ {- k} \ right) = \ sum _ {k \ geq 1} u_ {k} \ operatorname {Res} _ {0} {\ big (} V (z ) ^ {- k} {\ big)}}$
потому что первый ряд сходится равномерно на любом маленьком круге вокруг 0. Используя теорему об обращении Лагранжа
${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} {\ big (} V (z) ^ {- k} {\ big)} = kv_ {k},}$
и мы получаем приведенное выше выражение. Например, если и также , то ${\ Displaystyle и (г) = г + г ^ {2}}$ ${\ Displaystyle v (z) = z + z ^ {2}}$
${\ Displaystyle V (z) = {\ гидроразрыва {2z} {1 + {\ sqrt {1 + 4z}}}}}$
и
${\ displaystyle u (1 / V (z)) = {\ frac {1 + {\ sqrt {1 + 4z}}} {2z}} + {\ frac {1 + 2z + {\ sqrt {1 + 4z}} } {2z ^ {2}}}.}$
Первый член дает 1 вклад в вычет, а второй член дает 2, поскольку он асимптотичен . Отметим, что с соответствующими более сильными симметричными предположениями на и также следует ${\ displaystyle 1 / z ^ {2} + 2 / z}$ ${\ Displaystyle \ textstyle и (г)}$ ${\ displaystyle \ textstyle v (z)}$
${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {0} \ left (u (1 / V) \ right) = \ operatorname {Res} _ {0} \ left (v (1 / U) \ right),}$
где - локальная величина, обратная точке 0. ${\ displaystyle \ textstyle U (z)}$ ${\ Displaystyle \ textstyle и (г)}$

Смотрите также

Теорема остатка относится контурный интеграл вокруг некоторых из полюсов функции , к сумме их остатков
Интегральная формула Коши
Интегральная теорема Коши
Теорема Миттаг-Леффлера
Методы контурной интеграции
Теорема Мореры
Неполные фракции в комплексном анализе

использованная литература

Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ . Макгроу Хилл.
Marsden, Jerrold E .; Хоффман, Майкл Дж. (1998). Базовый комплексный анализ (3-е изд.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

Languages

In other projects