Уравнения Коши – Римана - Cauchy–Riemann equations
Математический анализ → Комплексный анализ |
Комплексный анализ |
---|
Сложные числа |
Сложные функции |
Основная теория |
Геометрическая теория функций |
Люди |
В области комплексного анализа в математике , то уравнения Коши-Римана , имени Augustin Коши и Бернхард Римана , состоят из системы двух дифференциальных уравнений , которые, вместе с некоторыми непрерывности и дифференцируемости критериев, образуют необходимое и достаточное условие комплексная функция должна быть голоморфной (комплексно дифференцируемой). Эта система уравнений впервые появилась в работе Жана ле Ронда Даламбера . Позже Леонард Эйлер связал эту систему с аналитическими функциями . Затем Коши использовал эти уравнения для построения своей теории функций. Диссертация Римана по теории функций появилась в 1851 году.
Уравнения Коши – Римана для пары действительных функций двух действительных переменных u ( x , y ) и v ( x , y ) представляют собой два уравнения:
-
( 1а )
-
( 1b )
Обычно u и v считаются действительной и мнимой частями соответственно комплекснозначной функции одной комплексной переменной z = x + iy , f ( x + i y ) = u ( x , y ) + iv ( x , у ) . Предположу , что у и v вещественны дифференцируемые в точке , в качестве открытого подмножества из С , которую можно рассматривать как функции от R 2 до R . Это означает, что частные производные u и v существуют (хотя они не обязательно должны быть непрерывными), и мы можем аппроксимировать небольшие изменения f линейно. Тогда f = u + i v комплексно- дифференцируемо в этой точке тогда и только тогда, когда частные производные u и v удовлетворяют уравнениям Коши – Римана ( 1a ) и ( 1b ) в этой точке. Одного существования частных производных, удовлетворяющих уравнениям Коши – Римана, недостаточно для обеспечения комплексной дифференцируемости в этой точке. Необходимо, чтобы u и v были вещественно дифференцируемыми, что является более сильным условием, чем существование частных производных, но в целом более слабым, чем непрерывная дифференцируемость.
Голоморфность - это свойство сложной функции быть дифференцируемой в каждой точке открытого и связного подмножества C (это называется областью в C ). Следовательно, мы можем утверждать, что комплексная функция f , действительная и мнимая части u и v которой являются действительными дифференцируемыми функциями, голоморфна тогда и только тогда, когда уравнения ( 1a ) и ( 1b ) выполняются во всей области, с которой мы имеем дело. Голоморфные функции аналитичны и наоборот. Это означает, что в комплексном анализе функция, которая является комплексно-дифференцируемой во всей области (голоморфной), совпадает с аналитической функцией. Это неверно для реальных дифференцируемых функций.
Простой пример
Предположим, что . Комплекснозначная функция дифференцируема в любой точке z комплексной плоскости.
Действительная часть и мнимая часть являются
а их частные производные равны
Мы видим, что действительно выполняются уравнения Коши – Римана, и .
Интерпретация и переформулировка
Уравнения - это один из способов взглянуть на условие дифференцируемости функции в смысле комплексного анализа : другими словами, они инкапсулируют понятие функции комплексной переменной с помощью обычного дифференциального исчисления . В теории есть несколько других основных способов взглянуть на это понятие, и часто требуется перевод условия на другой язык.
Конформные отображения
Во-первых, уравнения Коши – Римана можно записать в комплексной форме
-
( 2 )
В таком виде уравнения структурно соответствуют условию того, что матрица Якоби имеет вид
где и . Матрица этой формы представляет собой матричное представление комплексного числа . Геометрический, такая матрица всегда композиция из поворота с масштабированием , и , в частности , заповедники углов . Якобиан функции f ( z ) берет бесконечно малые отрезки прямой на пересечении двух кривых по z и поворачивает их к соответствующим отрезкам в f ( z ). Следовательно, функция, удовлетворяющая уравнениям Коши – Римана с ненулевой производной, сохраняет угол между кривыми на плоскости. То есть уравнения Коши – Римана - это условия конформности функции .
Более того, поскольку композиция конформного преобразования с другим конформным преобразованием также является конформной, композиция решения уравнений Коши – Римана с конформным отображением должна сама решать уравнения Коши – Римана. Таким образом, уравнения Коши – Римана конформно инвариантны.
Комплексная дифференцируемость
Предположим, что
является функцией комплексного числа . Тогда комплексная производная функции в точке определяется формулой
при условии, что этот предел существует.
Если этот предел существует, то его можно вычислить, взяв предел как по действительной оси, так и по мнимой оси; в любом случае результат должен быть одинаковым. Приближаясь к действительной оси, обнаруживаем
С другой стороны, приближаясь по мнимой оси,
Равенство производной функции f по двум осям равно
которые являются уравнениями Коши – Римана (2) в точке z 0 .
И наоборот, если F : C → C является функцией , которая дифференцируема , когда рассматривается как функция на R 2 , то F является сложным дифференцируема тогда и только тогда , когда уравнения Коши-Римана выполняется. Другими словами, если u и v - вещественно-дифференцируемые функции двух вещественных переменных, очевидно, что u + iv - (комплекснозначная) вещественно-дифференцируемая функция, но u + iv комплексно-дифференцируема тогда и только тогда, когда функция Коши – Римана уравнения верны.
Действительно, после Рудина, предположим , что F является сложной функцией , определенной в открытом множестве Ω ⊂ C . Тогда, записывая г = х + I у для каждого г ∈ Q, можно также рассматривать Q , как открытое подмножество R 2 и F как функцию двух действительных переменных х и у , который отображает Ом ⊂ R 2 в C . Рассмотрим уравнения Коши – Римана при z = z 0 . Таким образом , предположим , е дифференцируема в точке г 0 , как функция двух действительных переменных из Q , в C . Это эквивалентно существованию следующего линейного приближения
где z = x + iy и η (Δ z ) → 0 при Δ z → 0. Поскольку и , приведенное выше можно переписать как
Определение двух производных Виртингера как
в пределе указанное равенство можно записать как
Теперь рассмотрим возможные значения, когда предел берется в начале координат. Для z вдоль действительной линии, так что . Точно так же для чисто мнимого z мы имеем, так что значение не точно определено в начале координат. Легко проверить, что он не определен корректно ни при каком комплексном z , поэтому f комплексно дифференцируем в z 0 тогда и только тогда, когда at . Но это в точности уравнения Коши – Римана, поэтому f дифференцируема в точке z 0 тогда и только тогда, когда уравнения Коши – Римана выполняются в точке z 0 .
Независимость комплексно-сопряженного
Приведенное выше доказательство предлагает другую интерпретацию уравнений Коши – Римана. Комплексно сопряженное из г , обозначим , определяется
для действительных x и y . Тогда уравнения Коши – Римана можно записать в виде одного уравнения
-
( 3 )
с помощью производной Виртингера по сопряженной переменной . В этой форме уравнения Коши – Римана можно интерпретировать как утверждение, что f не зависит от переменной . Таким образом, мы можем рассматривать аналитические функции как истинные функции одной комплексной переменной, а не как сложные функции двух действительных переменных.
Физическая интерпретация
Стандартная физическая интерпретация уравнений Коши – Римана, восходящая к работам Римана по теории функций, состоит в том, что u представляет собой потенциал скорости несжимаемого установившегося потока жидкости в плоскости, а v - его функция тока . Предположим, что пара (дважды непрерывно дифференцируемых) функций удовлетворяет уравнениям Коши – Римана. Мы будем принимать U быть потенциал скорости, а это означает , что мы представляем себе поток жидкости в плоскости так , что вектор скорости текучей среды в каждой точке плоскости равен градиент от ц , определяемого
Дифференцируя уравнения Коши – Римана второй раз, можно показать, что u решает уравнение Лапласа :
То есть u - гармоническая функция . Это означает, что дивергенция градиента равна нулю, и поэтому жидкость несжимаема.
Функция v также удовлетворяет уравнению Лапласа, согласно аналогичному анализу. Кроме того, уравнения Коши – Римана подразумевают, что скалярное произведение . Это означает, что градиент u должен указывать вдоль кривых; таковы линии тока потока. Эти кривые являются эквипотенциальными кривые течения.
Следовательно, голоморфную функцию можно визуализировать, построив два семейства кривых уровня и . Вблизи точек, где градиент u (или, что то же самое, v ) не равен нулю, эти семейства образуют ортогональное семейство кривых. В точках пересечения стационарных точек потока эквипотенциальные кривые пересекаются. Линии тока также пересекаются в одной и той же точке, разделяя пополам углы, образованные эквипотенциальными кривыми.
Гармоническое векторное поле
Другую интерпретацию уравнений Коши – Римана можно найти в Pólya & Szeg. Предположим , что ц и v удовлетворяют уравнениям Коши-Римана в открытое подмножество R 2 , и рассмотрим векторное поле
рассматривается как (реальный) двухкомпонентный вектор. Тогда второе уравнение Коши – Римана ( 1b ) утверждает, что оно безвихревое (его ротор равен 0):
Первое уравнение Коши – Римана ( 1a ) утверждает, что векторное поле является соленоидальным (или бездивергентным ):
В силу теоремы Грина и теоремы о расходимости, соответственно , такое поле обязательно является консервативным , и оно не имеет источников или стоков, а суммарный поток равен нулю через любую открытую область без дырок. (Эти два наблюдения объединяются как действительная и мнимая части в интегральной теореме Коши .) В гидродинамике такое векторное поле является потенциальным потоком . В магнитостатике такие векторные поля моделируют статические магнитные поля в области плоскости, в которой отсутствует ток. В электростатике они моделируют статические электрические поля в области плоскости, не содержащей электрического заряда.
Эту интерпретацию можно эквивалентно переформулировать на языке дифференциальных форм . Пара u , v удовлетворяет уравнениям Коши – Римана тогда и только тогда, когда одна форма является одновременно замкнутой и кокзамкнутой ( гармоническая дифференциальная форма ).
Сохранение сложной структуры
Другая формулировка уравнений Коши – Римана включает комплексную структуру на плоскости, задаваемую формулой
Это представляет собой сложную структуру , в том смысле , что квадрат J является негативом единичной матрицы 2 × 2: . Как и выше, если u ( x , y ), v ( x , y ) - две функции на плоскости, положим
Матрица Якоби из F является матрицей частных производных
Тогда пара функций U , V удовлетворяет уравнениям Коши-Римана тогда и только тогда , когда матрица 2 × 2 Df коммутирует с J .
Эта интерпретация полезна в симплектической геометрии , где она является отправной точкой для изучения псевдоголоморфных кривых .
Другие представления
Другие представления уравнений Коши – Римана иногда возникают в других системах координат . Если (1a) и (1b) выполняются для дифференцируемой пары функций u и v , то так же и
для любой системы координат ( n ( x , y ), s ( x , y )) такой, что пара (∇ n , ∇ s ) ортонормирована и положительно ориентирована . Как следствие, в частности, в системе координат, задаваемой полярным представлением z = r e iθ , уравнения тогда принимают вид
Объединение их в одно уравнение для f дает
Неоднородные уравнения Коши – Римана состоят из двух уравнений для пары неизвестных функций u ( x , y ) и v ( x , y ) двух действительных переменных
для некоторой заданной функции а ( х , у ) и р ( х , у ) , определенной в открытом подмножестве R 2 . Эти уравнения обычно объединяют в одно уравнение
где f = u + i v и φ = ( α + i β ) / 2.
Если φ является С к , то неоднородное уравнение явно разрешимы в любой ограниченной области D , при условии φ непрерывна на замыкании части D . Действительно, по интегральной формуле Коши ,
для всех z , ∈ D .
Обобщения
Теорема Гурса и ее обобщения
Предположим, что f = u + i v - комплексная функция, дифференцируемая как функция f : R 2 → R 2 . Тогда теорема Гурса утверждает, что f аналитична в открытой комплексной области Ω тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению Коши – Римана в этой области. В частности, не нужно предполагать непрерывную дифференцируемость f .
Гипотезы теоремы Гурса могут быть значительно ослаблены. Если F = U + I v непрерывна в открытом множестве Ом и частных производных от F по отношению к х и у существуют в Q, и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана по всей Q, то F голоморфна (и , таким образом , аналитическое). Этот результат представляет собой теорему Лумана – Меншгофа .
Гипотеза о том, что f подчиняется уравнениям Коши – Римана во всей области Ω, является существенной. Можно построить непрерывную функцию, удовлетворяющую уравнениям Коши – Римана в точке, но не аналитическую в точке (например, f ( z ) = z 5 / | z | 4 ) . Точно так же необходимы некоторые дополнительные предположения помимо уравнений Коши – Римана (например, непрерывность), как показано в следующем примере.
которое всюду удовлетворяет уравнениям Коши – Римана, но не может быть непрерывным при z = 0.
Тем не менее, если функция удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в открытом множестве в слабом смысле , то функция аналитическая. Точнее:
- Если f ( z ) локально интегрируема в открытой области Ω ⊂ C и слабо удовлетворяет уравнениям Коши – Римана, то f почти всюду согласуется с аналитической функцией в Ω.
Фактически это частный случай более общего результата о регулярности решений гипоэллиптических уравнений в частных производных.
Несколько переменных
В теории многих комплексных переменных существуют уравнения Коши – Римана, обобщенные соответствующим образом . Они образуют значительную переопределенную систему PDE. Это делается с использованием прямого обобщения производной Виртингера , где для рассматриваемой функции требуется, чтобы (частичная) производная Виртингера по каждой комплексной переменной обращалась в нуль.
Комплексные дифференциальные формы
Как часто формулируется, оператор d-bar
аннулирует голоморфные функции. Это наиболее прямо обобщает формулировку
куда
Преобразование Бэклунда
Уравнения Коши – Римана, рассматриваемые как сопряженные гармонические функции , представляют собой простой пример преобразования Беклунда . Более сложные, обычно нелинейные преобразования Беклунда, такие как уравнение синус-Гордон , представляют большой интерес в теории солитонов и интегрируемых систем .
Определение в алгебре Клиффорда
В алгебре Клиффорда комплексное число представлено как где . Оператор фундаментальной производной в алгебре Клиффорда комплексных чисел определяется как . Функция считается аналитической тогда и только тогда , когда ее можно вычислить следующим образом:
Группировка по и :
Отсюда в традиционных обозначениях:
Конформные отображения в более высоких измерениях
Пусть Ω - открытое множество в евклидовом пространстве R n . Уравнение сохранения ориентации отображения как конформного отображения (т. Е. Сохранения угла) состоит в следующем:
где Df - матрица Якоби с транспонированием , а I - единичная матрица. При n = 2 эта система эквивалентна стандартным уравнениям Коши – Римана комплексных переменных, а решения являются голоморфными функциями. В размерности n > 2 это все еще иногда называют системой Коши – Римана, и из теоремы Лиувилля при подходящих предположениях гладкости следует, что любое такое отображение является преобразованием Мёбиуса .
Смотрите также
использованная литература
- Грей, JD; Моррис, SA (апрель 1978 г.). «Когда функция, удовлетворяющая уравнениям Коши – Римана, аналитична?». Американский математический ежемесячник . 85 (4): 246–256. DOI : 10.2307 / 2321164 . JSTOR 2321164 .
- Луман, Х. (1923). "Über die Cauchy – Riemannschen Differentialgleichungen". Göttinger Nachrichten (на немецком языке): 97–108.
- Рудин, Вальтер (1966). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Макгроу Хилл (опубликовано в 1987 г.). ISBN 0-07-054234-1.
Сноски
дальнейшее чтение
- Альфорс, Ларс (1953). Комплексный анализ (3-е изд.). Макгроу Хилл (опубликовано в 1979 г.). ISBN 0-07-000657-1.
- Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Условия Коши – Римана" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Стюарт, Ян ; Высокий, Дэвид (1983). Комплексный анализ (1-е изд.). CUP (опубликовано в 1984 г.). ISBN 0-521-28763-4.