Оптимизация сценария - Scenario optimization

Сценарий подход или сценарий оптимизация подход представляет собой метод получения решений для надежной оптимизации и случайной ограниченной оптимизацией проблем , основанных на выборку из ограничений . Это также относится к индуктивным рассуждениям при моделировании и принятии решений. Этот метод существует в течение десятилетий как эвристический подход, а в последнее время получил систематическое теоретическое обоснование.

В оптимизации функции устойчивости преобразуются в ограничения, которые параметризуются неопределенными элементами проблемы. В методе сценария решение получается путем рассмотрения только случайной выборки ограничений ( эвристический подход), называемых сценариями, и глубоко обоснованная теория сообщает пользователю, насколько «надежно» соответствующее решение связано с другими ограничениями. Эта теория оправдывает использование рандомизации в робастной оптимизации и оптимизации с ограничениями по шансам.

Оптимизация на основе данных

Иногда сценарии получаются как случайные извлечения из модели. Однако чаще всего сценарии представляют собой примеры неопределенных ограничений, которые получаются в виде наблюдений ( наука, управляемая данными ). В этом последнем случае для создания сценариев не требуется модели неопределенности. Более того, что наиболее примечательно, и в этом случае оптимизация сценария сопровождается полноценной теорией, поскольку все результаты оптимизации сценария не зависят от распределения и поэтому могут применяться, даже когда модель неопределенности недоступна.

Теоретические результаты

Для выпуклых ограничений (например, в полуопределенных задачах, связанных с LMI, линейными матричными неравенствами ) был проведен глубокий теоретический анализ, который показывает, что вероятность того, что новое ограничение не выполняется, следует распределению, в котором преобладает бета-распределение . Этот результат точный, так как он точен для целого класса выпуклых задач. В более общем плане было показано, что различные эмпирические уровни подчиняются распределению Дирихле , маргинальные значения которого являются бета-распределением. Также был рассмотрен сценарный подход с регуляризацией, и доступны удобные алгоритмы с пониженной вычислительной сложностью. Расширения до более сложных невыпуклых установок все еще являются объектами активного исследования. ${\ displaystyle L_ {1}}$

В рамках сценарного подхода также можно найти компромисс между риском и доходностью. Более того, можно использовать полноценный метод применения этого подхода к контролю. Сначала выбираются ограничения, а затем пользователь начинает последовательно удалять некоторые из ограничений. Это можно сделать по-разному, даже по жадным алгоритмам. После устранения еще одного ограничения оптимальное решение обновляется и определяется соответствующее оптимальное значение. По мере продвижения этой процедуры пользователь строит эмпирическую «кривую значений», то есть кривую, представляющую значение, полученное после удаления все большего числа ограничений. Теория сценариев дает точные оценки надежности различных решений. ${\ displaystyle N}$

Заметный прогресс в теории был достигнут благодаря недавнему подходу «выжидания и судьи»: каждый оценивает сложность решения (как точно определено в упомянутой статье) и на основе его ценности формулирует точные оценки устойчивости решения. Эти результаты проливают свет на глубоко обоснованные связи между концепциями сложности и риска. Связанный подход, названный «Проектирование повторяющегося сценария», направлен на снижение сложности выборки решения путем многократного чередования фазы разработки сценария (с уменьшенным количеством выборок) с рандомизированной проверкой осуществимости последующего решения.

Пример

Рассмотрим функцию, которая представляет возврат инвестиций ; это зависит от нашего вектора инвестиционного выбора и от состояния рынка, которое будет ощущаться в конце инвестиционного периода. ${\ Displaystyle R _ {\ delta} (х)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ delta}$

Учитывая стохастическую модель рыночных условий, мы рассматриваем возможные состояния (рандомизация неопределенности). В качестве альтернативы сценарии могут быть получены из записи наблюдений. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ delta _ {1}, \ dots, \ delta _ {N}}$${\ displaystyle \ delta _ {я}}$

Мы приступили к решению программы оптимизации сценария

${\ Displaystyle \ макс _ {х} \ мин _ {я = 1, \ точки, N} R _ {\ дельта _ {я}} (х). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}$

Это соответствует выбору вектора портфеля x, чтобы получить наилучшую возможную доходность в наихудшем сценарии.

После решения (1) достигается оптимальная инвестиционная стратегия и соответствующая оптимальная доходность . Хотя это было получено путем рассмотрения только возможных состояний рынка, теория сценариев говорит нам, что решение является устойчивым до определенного уровня , то есть доходность будет достигнута с вероятностью для других состояний рынка. ${\ displaystyle x ^ {\ ast}}$${\ Displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ Displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle R ^ {\ ast}}$${\ displaystyle 1- \ varepsilon}$

В количественном финансировании подход наихудшего случая может быть чрезмерно консервативным. Одна альтернатива - отбросить некоторые странные ситуации, чтобы уменьшить пессимизм; кроме того, оптимизация сценария может быть применена к другим мерам риска, включая CVaR (условная ценность под риском), что увеличивает гибкость ее использования.

Области применения

Сферы применения включают: прогнозирование , теорию систем , регрессионный анализ ( в частности, модели Interval Predictor ), актуарную науку , оптимальный контроль , финансовую математику , машинное обучение , принятие решений , цепочку поставок и управление .

Рекомендации