Гипотеза Шена – Яу - Schoen–Yau conjecture

В математике , то гипотеза Шоен-Яу является опровергнута гипотеза в гиперболической геометрии , названный в честь математиков Ричарда Шёна и Shing-Tung Яу .

Он был вдохновлен теоремой Эрхарда Хайнца (1952). Одним из методов опровержения является использование поверхностей Шерка , которые использовали Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин (2006).

Постановка и утверждение гипотезы

Пусть - комплексная плоскость, рассматриваемая как риманово многообразие с ее обычной (плоской) римановой метрикой. Обозначим через гиперболическую плоскость , т.е. единичный круг${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ mathbb {H}: = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} | x ^ {2} + y ^ {2} <1 \}}$

наделен гиперболической метрикой

${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = 4 {\ frac {\ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2}} {(1- (x ^ {2 } + y ^ {2})) ^ {2}}}.}$

Э. Хайнц доказал в 1952 г., что не может быть гармонического диффеоморфизма

${\ displaystyle f: \ mathbb {H} \ to \ mathbb {C}. \,}$

В свете этой теоремы Шен предположил, что не существует гармонического диффеоморфизма

${\ displaystyle g: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {H}. \,}$

(Неясно, как имя Яу стало ассоциироваться с гипотезой: в неопубликованной переписке с Гарольдом Розенбергом и Шен, и Яу идентифицируют Шена как постулирующего гипотезу). Гипотеза Шена (-Яу) с тех пор опровергнута.

Комментарии

Акцент делается на существовании или отсутствии гармонического диффеоморфизма, и что это свойство является «односторонним» свойством. Более подробно: предположим, что мы рассматриваем два римановых многообразия M и N (с их соответствующими метриками), и напишем

${\ Displaystyle M \ sim N \,}$

если существует диффеоморфизм из M на N (в обычной терминологии M и N диффеоморфны). Напишите

${\ Displaystyle M \ propto N}$

если существует гармонический диффеоморфизм М на N . Не трудно показать , что (будучи диффеоморфен) является отношением эквивалентности на объекты в категории римановых многообразий. В частности, это симметричное соотношение : ${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle \ sim}$

${\ Displaystyle M \ sim N \ iff N \ sim M.}$

Можно показать, что гиперболическая плоскость и (плоская) комплексная плоскость действительно диффеоморфны:

${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ sim \ mathbb {C},}$

поэтому вопрос в том, являются ли они «гармонически диффеоморфными». Однако, как демонстрируют истинность теоремы Хайнца и ложность гипотезы Шена – Яу, соотношение не является симметричным: ${\ displaystyle \ propto}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} \ propto \ mathbb {H} {\ text {but}} \ mathbb {H} \ not \ propto \ mathbb {C}.}$

Таким образом, быть «гармонически диффеоморфным» является гораздо более сильным свойством, чем просто быть диффеоморфным, и может быть «односторонним» отношением.

Ссылки

• Хайнц, Эрхард (1952). "Über die Lösungen der Minimalflächengleichung". Nachr. Акад. Wiss. Гёттинген. Math.-Phys. Kl. Math.-Phys.-Chem. Abt . 1952 : 51–56.
• Коллин, Паскаль; Розенберг, Гарольд (2010). «Построение гармонических диффеоморфизмов и минимальных графов». Энн. математики . 2. 172 (3): 1879–1906. arXiv : math / 0701547 . DOI : 10.4007 / анналы.2010.172.1879 . ISSN  0003-486X . Руководство по ремонту 2726102