Теорема Шварца – Альфорса – Пика - Schwarz–Ahlfors–Pick theorem

В математике , в Schwarz-Альфорс-Pick теорема является продолжением леммы Шварца для гиперболической геометрии , такие как полуплоскость модель Пуанкаре .

Шварц-Pick лемма состояния , что каждая голоморфная функция от единичного круга U к себе, или из верхней полуплоскости H к самому себе, не приведет к увеличению расстояния между точками Пуанкара. Единичный круг U с метрикой Пуанкаре имеет отрицательную гауссову кривизну −1. В 1938 году Ларс Альфорс обобщил лемму на отображение единичного круга на другие поверхности с отрицательной кривизной:

Теорема ( Шварц - Альфорс - Пик ). Пусть U - единичный круг с метрикой Пуанкаре ; пусть S - риманова поверхность с эрмитовой метрикой с гауссовой кривизной ≤ −1; пусть - голоморфная функция . потом ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle f: U \ rightarrow S}$

${\ Displaystyle \ sigma (е (z_ {1}), f (z_ {2})) \ leq \ rho (z_ {1}, z_ {2})}$

для всех ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in U.}$

Обобщение этой теоремы было доказано Шинг-Тунг Яу в 1973 г.

Рекомендации