Проблема Варинга - Waring's problem

В теории чисел , проблема Варинга спрашивает , может ли каждое натуральное число к имеет связанное с ним целым положительным числом s такими , что каждое натуральное число есть сумма в большинстве s натуральные чисел в степени к . Например, каждое натуральное число представляет собой сумму не более 4 квадратов, 9 кубиков или 19 четвертых степеней. Проблема Варинга была предложена в 1770 году Эдвардом Уорингом , в честь которого она названа. Утвердительный ответ на нее , известный как теорема Гильберта – Варинга , был дан Гильбертом в 1909 году. Проблема Варинга имеет собственную классификацию математических предметов , 11P05, «Проблема Варинга и варианты».

Связь с теоремой Лагранжа о четырех квадратах

Задолго до того, как Варинг сформулировал свою задачу, Диофант спросил, может ли каждое положительное целое число быть представлено в виде суммы четырех полных квадратов, больших или равных нулю. Этот вопрос позже стал известен как гипотеза Баше, после того, как в 1621 году Клод Гаспар Баше де Мезириак перевел Диофанта , и он был решен Жозефом-Луи Лагранжем в его теореме о четырех квадратах в 1770 году, в том же году, когда Варинг высказал свою гипотезу. Варинг пытался обобщить эту проблему, пытаясь представить все положительные целые числа как сумму кубов, целых чисел в четвертой степени и т. Д., Чтобы показать, что любое положительное целое число может быть представлено как сумма других целых чисел, возведенных в определенную степень, и что всегда было максимальное количество целых чисел, возведенных в определенную степень, необходимое для представления всех положительных целых чисел таким образом.

Число g ( k )

Для каждого , пусть обозначают минимальное число из я степеней натуралов , необходимых для представления всех положительных целых чисел. Каждое положительное целое число - это сумма самой первой степени, так что . Некоторые простые вычисления показывают, что 7 требует 4 квадрата, 23 требует 9 кубиков, а 79 требует 19 четвертых степеней; Эти примеры показывают , что , и . Варинг предположил, что эти нижние границы на самом деле являются точными значениями (т.е. для числа g ( k ) достаточно проверки только чисел <3 ^k ). ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle g (k)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle g (1) = 1}$${\ Displaystyle г (2) \ geq 4}$${\ displaystyle g (3) \ geq 9}$${\ displaystyle g (4) \ geq 19}$

Теорема Лагранжа о четырех квадратах 1770 года утверждает, что каждое натуральное число является суммой не более четырех квадратов. Поскольку трех квадратов недостаточно, эта теорема доказана . Теорема Лагранжа о четырех квадратах была сформулирована в « Арифметике Диофанта » Баше 1621 года ; Ферма заявил, что у него есть доказательство, но не опубликовал его. ${\ displaystyle g (2) = 4}$

С годами были установлены различные границы с использованием все более изощренных и сложных методов доказательства. Например, Лиувилль показал, что это не более 53. Харди и Литтлвуд показали, что все достаточно большие числа являются суммой не более 19 четвертых степеней. ${\ displaystyle g (4)}$

Это было установлено с 1909 по 1912 г. Виферихом и А. Дж. Кемпнером , в 1986 г. - Р. Баласубраманианом , Ф. Дрессом и Ж.-М. Deshouillers , в 1964 году Чэнь Цзинжун и в 1940 году Пиллаи . ${\ displaystyle g (3) = 9}$${\ displaystyle g (4) = 19}$${\ displaystyle g (5) = 37}$${\ displaystyle g (6) = 73}$

Пусть и соответственно обозначают целую и дробную части положительного действительного числа . Учитывая число , для представления может использоваться только и ; наиболее экономичное представление требует круга и круга . Отсюда следует, что не меньше, чем . Это было отмечено Дж. А. Эйлером, сыном Леонхарда Эйлера , примерно в 1772 году. Более поздние работы Диксона , Пиллаи , Рубугундея , Нивена и многих других доказали, что ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ Displaystyle \ {х \}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle c = 2 ^ {k} \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor -1 <3 ^ {k}}$${\ displaystyle 2 ^ {k}}$${\ displaystyle 1 ^ {k}}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor -1}$${\ displaystyle 2 ^ {k}}$${\ displaystyle 2 ^ {k} -1}$${\ displaystyle 1 ^ {k}}$${\ displaystyle g (k)}$${\ displaystyle 2 ^ {k} + \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor -2}$

${\ displaystyle g (k) = {\ begin {cases} 2 ^ {k} + \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor -2 & {\ text {if}} \ quad 2 ^ {k} \ {(3/2) ^ {k} \} + \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor \ leq 2 ^ {k}, \\ 2 ^ {k} + \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor + \ lfloor (4/3) ^ {k} \ rfloor -2 & {\ text {if}} \ quad 2 ^ {k} \ {(3/2) ^ {k} \} + \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor> 2 ^ {k} {\ text {and}} \ lfloor (4/3) ^ {k} \ rfloor \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor + \ lfloor (4/3) ^ {k} \ rfloor + \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor = 2 ^ {k}, \\ 2 ^ {k} + \ lfloor (3/2 ) ^ {k} \ rfloor + \ lfloor (4/3) ^ {k} \ rfloor -3 & {\ text {if}} \ quad 2 ^ {k} \ {(3/2) ^ {k} \} + \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor> 2 ^ {k} {\ text {and}} \ lfloor (4/3) ^ {k} \ rfloor \ lfloor (3/2) ^ {k } \ rfloor + \ lfloor (4/3) ^ {k} \ rfloor + \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor> 2 ^ {k}. \ end {cases}}}$

Неизвестно какое значение . Малер доказал, что таких может быть только конечное число , а Кубина и Вундерлих показали, что любое такое должно удовлетворять . Таким образом, предполагается, что этого никогда не происходит, то есть для любого положительного целого числа . ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle 2 ^ {k} \ {(3/2) ^ {k} \} + \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor> 2 ^ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k> 471 \, 600 \, 000}$${\ Displaystyle г (к) = 2 ^ {к} + \ lfloor (3/2) ^ {k} \ rfloor -2}$${\ displaystyle k}$

Первые несколько значений : ${\ displaystyle g (k)}$

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, ... (последовательность A002804 в OEIS ) .

Число G ( k )

Из работы Харди и Литтлвуда соответствующая величина G ( k ) изучалась с помощью g ( k ). G ( k ) определяется как наименьшее положительное целое число s такое, что каждое достаточно большое целое число (т. Е. Каждое целое число, большее некоторой константы) может быть представлено как сумма не более s положительных целых чисел в степени k . Ясно, что G (1) = 1. Поскольку квадраты конгруэнтны 0, 1 или 4 (mod 8), никакое целое число, конгруэнтное 7 (mod 8), не может быть представлено в виде суммы трех квадратов, из чего следует, что G (2) ≥ 4 . Поскольку G ( k ) ≤ g ( k ) для всех k , это показывает, что G (2) = 4 . Давенпорт показал, что G (4) = 16 в 1939 году, продемонстрировав, что любое достаточно большое число, конгруэнтное от 1 до 14 по модулю 16, может быть записано как сумма 14 четвертых степеней (Воган в 1985 и 1989 годах уменьшил 14 последовательно до 13 и 12. ). Точное значение G ( k ) неизвестно ни для каких других k , но границы существуют.

Оценки снизу для G ( k )

Границы
1 = G (1) = 1
4 = G (2) = 4
4 ≤ G (3) ≤ 7
16 = G (4) = 16
6 ≤ G (5) ≤ 17
9 ≤ G (6) ≤ 24
8 ≤ G (7) ≤ 33
32 ≤ G (8) ≤ 42
13 ≤ G (9) ≤ 50
12 ≤ G (10) ≤ 59
12 ≤ G (11) ≤ 67
16 ≤ G (12) ≤ 76
14 ≤ G (13) ≤ 84
15 ≤ G (14) ≤ 92
16 ≤ G (15) ≤ 100
64 ≤ G (16) ≤ 109
18 ≤ G (17) ≤ 117
27 ≤ G (18) ≤ 125
20 ≤ G (19) ≤ 134
25 ≤ G (20) ≤ 142

Число G ( k ) больше или равно

2 г +2	если k = 2 r при r ≥ 2, или k = 3 × 2 r ;
п р +1	если p простое число больше 2 и k = p r ( p - 1);
( п р +1 - 1) / 2	если p простое число больше 2 и k = p r (p - 1) / 2;
к + 1	для всех целых k больше 1.

В отсутствие ограничений сравнения аргумент плотности предполагает, что G ( k ) должно равняться k + 1 .

Верхние оценки для G ( k )

G (3) не меньше 4 (поскольку кубы конгруэнтны 0, 1 или −1 по модулю 9); для чисел меньше 1,3 × 10 ⁹ ,1 290 740 - последнее, для которого требуется 6 кубиков, и число чисел от N до 2 N, требующих 5 кубов, уменьшается с увеличением N с достаточной скоростью, чтобы люди поверили, что G (3) = 4 ; наибольшее число, которое, как известно, не является суммой из 4 кубиков, равно7 373 170 279 850 , и авторы приводят разумные аргументы в пользу того, что это может быть максимально возможным. Верхняя граница G (3) ≤ 7 была получена Линником в 1943 году. (Для всех неотрицательных целых чисел требуется не более 9 кубов, а наибольшие целые числа, требующие 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, предположительно равны 239, 454, 8042. ,1 290 740 и7 373 170 279 850 соответственно, и только для 23 и 239 требуется 9 кубиков, и всего 15 чисел, требующих 8 кубов: 15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364 , 420, 428, 454 (последовательность A018889 в OEIS ))

13 792 - это наибольшее число, требующее 17 четвертых степеней (Deshouillers, Hennecart и Landreau показали в 2000 г., что каждое число между13 793 и 10 ²⁴⁵ требовалось не более 16, а Кавада, Вули и Дешуиллерс расширили результат Давенпорта за 1939 год, чтобы показать, что каждое число выше 10 ²²⁰ требует не более 16). Для чисел вида 31 · 16 ⁿ всегда требуется 16 четвертых степеней.

617 597 724 является последним числом , меньшим , чем 1,3 × 10 ⁹ , что требует 10 пятых степеней, и51 033 617 - последнее число меньше 1,3 × 10 ^9, которое требует 11.

Верхние границы справа с k = 5, 6, ..., 20 принадлежат Вогану и Вули .

Используя свой усовершенствованный метод Харди-Литтлвуда , И. М. Виноградов опубликовал многочисленные уточнения, приведшие к

${\ Displaystyle G (К) \ Leq К (3 \ журнал к + 11)}$

в 1947 г. и, в конечном итоге,

${\ Displaystyle G (К) \ Leq К (2 \ журнал к + 2 \ журнал \ журнал к + С \ журнал \ журнал \ журнал к)}$

для неустановленной константы C и достаточно большого k в 1959 г.

Применяя свою p -адическую форму метода Харди – Литтлвуда – Рамануджана – Виноградова для оценки тригонометрических сумм, в которых суммирование ведется по числам с малыми простыми делителями, Анатолий Алексеевич Карацуба получил (1985) новую оценку функции Харди (для ): ${\ Displaystyle G (k)}$${\ displaystyle k \ geq 400}$

${\ Displaystyle G (k) <2k \ log k + 2k \ log \ log k + 12k.}$

Дальнейшие уточнения были получены Воганом в 1989 г.

Вул затем установил , что для некоторых постоянная C ,

${\ Displaystyle G (к) \ Leq к \ журнал к + к \ журнал \ журнал к + Ck.}$

Воан и Вули написали обширную обзорную статью.

Смотрите также

• Теорема Ферма о многоугольных числах , что каждое натуральное число является суммой не более n из n -угольных чисел
• Проблема Варинга – Гольдбаха , проблема представления чисел в виде сумм степеней простых чисел
• Проблема суммы подмножества , алгоритмическая проблема, которая может использоваться, чтобы найти кратчайшее представление данного числа в виде суммы степеней
• Суммы трех кубов , обсуждает, какие числа являются суммой трех не обязательно положительных кубиков.

Примечания

использованная литература

• Г. И. Архипов, В. Н. Чубариков, А. А. Карацуба , "Тригонометрические суммы в теории чисел и анализе". Берлин – Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер, (2004).
• Г. И. Архипов, А. А. Карацуба, В. Н. Чубариков, "Теория кратных тригонометрических сумм". Москва: Наука, (1987).
• Ю. В. Линник , "Элементарное решение проблемы Варинга методом Шнирельмана". Мат. Сб., Н. Сер. 12 (54), 225–230 (1943).
• RC Vaughan , "Новый итерационный метод в проблеме Варинга". Acta Mathematica (162), 1–71 (1989).
• Виноградов И. М. "Метод тригонометрических сумм в теории чисел". Trav. Inst. Математика. Стеклова (23), 109 с. (1947).
• И. М. Виноградов, "Об оценке сверху G ( n )". Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. (23), 637–642 (1959).
• И. М. Виноградов, А. А. Карацуба, "Метод тригонометрических сумм в теории чисел", Тр. Стеклова Математика. 1986. Т. 168. С. 3–30; перевод из Труды Матем. Inst. МИАН, 168, 4–30 (1984).
• Эллисон, WJ (1971). «Проблема Варинга» . Американский математический ежемесячник . 78 (1): 10–36. DOI : 10.2307 / 2317482 . JSTOR  2317482 .Обзор, содержит точную формулу для G ( k ), упрощенную версию доказательства Гильберта и множество ссылок.
• Хинчин, А.Я. (1998). Три жемчужины теории чисел . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-40026-6.Имеет элементарное доказательство существования G ( k ) с использованием плотности Шнирельмана .
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы . Тексты для выпускников по математике . 164 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94656-X. Zbl  0859.11002 .Имеет доказательства теоремы Лагранжа, теоремы о многоугольных числах , доказательство Гильберта гипотезы Варинга и доказательство Харди – Литтлвуда асимптотической формулы для числа способов представить N как сумму s k- х степеней.
• Ганс Радемахер и Отто Теплиц , «Удовольствие от математики» (1933) ( ISBN  0-691-02351-4 ). Имеет доказательство теоремы Лагранжа, доступное для старшеклассников.

внешние ссылки

• "Проблема Варинга" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]