Актуальная бесконечность - Actual infinity

В философии математики , то абстракции от фактической бесконечности включают в себя принятие (если аксиома бесконечности включена) бесконечных лица, заданные, фактические и завершенных объектов. Они могут включать в себя набор натуральных чисел , расширенных действительных чисел , трансфинитных чисел или даже бесконечную последовательность рациональных чисел . Фактическая бесконечность должна быть противопоставлена потенциальной бесконечности , в которой непрерывный процесс (например, «прибавить 1 к предыдущему числу») производит последовательность без последнего элемента, и где каждый отдельный результат конечен и достигается за конечное время. количество ступеней. В результате потенциальная бесконечность часто формализуется с использованием понятия предела .

Анаксимандр

Древнегреческий термин для потенциального или несобственного бесконечного был апейрон (неограниченный или неопределенный), в отличие от актуального или надлежащего бесконечного афоризма . Апейрон противостоит тому, что имеет peras (предел). Эти понятия сегодня обозначаются потенциально бесконечным и фактически бесконечным соответственно.

Анаксимандр (610–546 до н. Э.) Считал апейрон принципом или главным элементом, составляющим все вещи. Ясно, что «апейрон» был некой базовой субстанцией. Платоновское представление об апейроне более абстрактно и связано с неопределенной изменчивостью. Основные диалоги, в которых Платон обсуждает «апейрон», - это поздние диалоги « Парменид» и « Филеб» .

Аристотель

Аристотель резюмирует взгляды своих предшественников на бесконечность следующим образом:

«Только пифагорейцы помещают бесконечное среди чувственных объектов (они не считают число отделимым от них) и утверждают, что то, что находится за пределами неба, бесконечно. Платон, с другой стороны, считает, что снаружи нет тела ( Формы не находятся вовне, потому что они нигде), но бесконечное присутствует не только в чувственных объектах, но и в Формах ». (Аристотель)

Эту тему выдвинуло рассмотрение Аристотелем апейрона - в контексте математики и физики (изучение природы):

«Бесконечность оказывается противоположностью тому, что люди говорят о ней. Бесконечно не« то, что не имеет ничего сверх себя », а« то, что всегда имеет что-то за пределами себя »». (Аристотель)

Вера в существование бесконечного происходит главным образом из пяти соображений:

1. Из природы времени - ибо оно бесконечно.
2. От деления величин - математики тоже используют понятие бесконечности.
3. Если возникновение и исчезновение не выдаются, то это только потому, что то, из чего возникают вещи, бесконечно.
4. Потому что ограниченное всегда в чем-то находит свой предел, так что не должно быть предела, если все всегда ограничено чем-то отличным от него самого.
5. Прежде всего, причина, которая особенно уместна и представляет трудности, которые испытывают все - не только числа, но и математические величины, и то, что находится за пределами небес, должно быть бесконечным, потому что они никогда не выдаются в наших мыслях. (Аристотель)

Аристотель постулировал, что действительная бесконечность невозможна, потому что, если бы это было возможно, то что-то достигло бы бесконечной величины и было бы «больше неба». Однако, по его словам, математика, относящаяся к бесконечности, не была лишена своей применимости из-за этой невозможности, потому что математикам не нужно было бесконечное для своих теорем, а только конечную произвольно большую величину.

Возможное и актуальное различие Аристотеля

Аристотель занимался темой бесконечности в физике и метафизике . Он различал актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальная бесконечность завершена и определена и состоит из бесконечного множества элементов. Потенциальная бесконечность никогда не бывает полной: элементы можно добавлять всегда, но никогда не бывает бесконечно много.

«Ибо обычно бесконечное имеет такой способ существования: одна вещь всегда берется за другой, и каждая вещь, которая берется, всегда конечна, но всегда различна».

-  Аристотель, Физика, книга 3, глава 6.

Аристотель различал бесконечность относительно сложения и деления.

Но у Платона есть две бесконечности: Большая и Малая.

-  Физика, книга 3, глава 4.

"В качестве примера потенциально бесконечного ряда в отношении увеличения, одно число всегда можно добавить за другим в серии, которая начинается 1,2,3, ... но процесс добавления все большего числа чисел не может быть исчерпан или завершен . "

Что касается деления, может начаться потенциально бесконечная последовательность делений, например 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, но процесс деления не может быть исчерпан или завершен.

«Потому что тот факт, что процесс разделения никогда не заканчивается, гарантирует, что эта деятельность существует потенциально, но не то, что бесконечное существует отдельно».

-  Метафизика, книга 9, глава 6.

Аристотель также утверждал, что греческие математики знали разницу между действительной бесконечностью и потенциальной, но они «не нуждаются в [действительной] бесконечности и не используют ее» ( Phys. III 2079 29).

Ученые, мыслители эпохи Возрождения и Просвещения

Подавляющее большинство философов-схоластов придерживались девиза Infinitum act non datur . Это означает, что существует только (развивающаяся, несобственная, «синкатегорематическая») потенциальная бесконечность, но не актуальная бесконечность (фиксированная, правильная, «категорематическая») . Однако были исключения, например, в Англии.

Хорошо известно, что в средние века все схоластические философы отстаивали аристотелевское «infinitum act non datur» как неопровержимый принцип. ( Г. Кантор )

Актуальная бесконечность существует в количестве, времени и количестве. (Дж. Бэконторп [9, с. 96])

В эпоху Возрождения и в начале Нового времени голоса в пользу актуальной бесконечности были довольно редки.

На самом деле континуум состоит из бесконечного множества неделимых ( Г. Галилей [9, с. 97]).

Я так сторонник актуальной бесконечности. ( Г. В. Лейбниц [9, с. 97])

Однако большинство мыслителей досовременного периода согласились с известной цитатой Гаусса:

Я протестую против использования бесконечной величины как чего-то законченного, что никогда не допустимо в математике. Бесконечность - это просто способ выражения, истинное значение которого - предел, к которому одни отношения приближаются бесконечно близко, в то время как другим разрешено увеличиваться без ограничений. (К. Ф. Гаусс [из письма Шумахеру от 12 июля 1831 г.])

Современная эра

Фактическая бесконечность сейчас общепринята. Резкое изменение было инициировано Больцано и Кантором в 19 веке.

Бернар Больцано , который ввел понятие множества (на немецком языке: Menge ), и Георг Кантор, который ввел теорию множеств , выступили против общей позиции. Кантор выделил три области бесконечности: (1) бесконечность Бога (которую он назвал «absolutum»), (2) бесконечность реальности (которую он назвал «природой») и (3) трансфинитные числа и множества математики. .

Множество, превышающее любое конечное множество, т. Е. Множество, обладающее тем свойством, что каждое конечное множество [членов рассматриваемого вида] является только его частью, я назову бесконечным множеством. (Б. Больцано [2, с. 6])

Соответственно, я различаю вечную нетварную бесконечность или absolutum, которая обусловлена ​​Богом и его атрибутами, и сотворенную бесконечность или transfinitum, которая должна использоваться везде, где в сотворенной природе должна быть замечена актуальная бесконечность, например, в отношении по моему твердому убеждению, фактически бесконечное количество сотворенных индивидуумов как во Вселенной, так и на нашей Земле и, наиболее вероятно, даже в каждом сколь угодно маленьком протяженном клочке пространства. (Георг Кантор) (Г. Кантор [8, с. 252])

Цифры - свободное творение человеческого разума. ( Р. Дедекинд [3а, с. III])

Одно доказательство основано на представлении о Боге. Во-первых, исходя из высочайшего совершенства Бога, мы делаем вывод о возможности создания трансфинитного, затем, исходя из Его всемилости и великолепия, мы делаем вывод о необходимости того, что создание трансфинитного действительно произошло. (Г. Кантор [3, с. 400])

Кантор различал два типа актуального бесконечного: трансфинитное и абсолютное, о которых он утверждал:

Эти понятия должны быть строго дифференцированы, поскольку первое, конечно, бесконечно , но способно увеличиваться , тогда как второе неспособно увеличиваться и, следовательно, неопределимо как математическое понятие. Эту ошибку мы находим, например, в пантеизме . (G. Cantor, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche , в Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Философские инхальты , стр. 375, 378)

Он отрицал существование бесконечного-одного, множества всех множеств и «органической целостности», которые были заменены уникальным, актуальным и бесконечным Абсолютом, который не может быть ни продемонстрирован, ни описан математикой. Эта высшая бесконечность была задумана как выходящая за пределы пространства и времени, за пределы мира чисел, в котором живут люди.

Текущая математическая практика

Фактическая бесконечность сейчас общепринята, потому что математики научились строить алгебраические утверждения, используя ее. Например, можно записать символ, со словесным описанием, которое « обозначает завершенную ( исчисляемую ) бесконечность». Этот символ может быть добавлен как ur-элемент к любому набору. Можно также предоставить аксиомы , определяющие сложение, умножение и неравенство; в частности, порядковая арифметика , такая, что выражения вроде можно интерпретировать как «любое натуральное число меньше завершенной бесконечности». Даже утверждения «здравого смысла», такие как возможные и непротиворечивые. Теория достаточно хорошо развита, что довольно сложные алгебраические выражения, такие как , и даже может быть истолковано как действительные алгебраические выражения, может быть дано словесное описание, и может быть использован в самых разнообразных теорем и претензий в последовательной и значимой мода. Способность определять порядковые числа последовательным и значимым образом делает большую часть дебатов спорной; независимо от того, какое личное мнение о бесконечности или конструктивности может быть у человека, очевидно, что существование богатой теории для работы с бесконечностями с использованием инструментов алгебры и логики находится под рукой. ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle п <\ omega}$${\ displaystyle \ omega <\ omega +1}$${\ displaystyle \ omega ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ omega}}$

Оппозиция школы интуиционизма

Математическое значение термина «актуальный» в актуальной бесконечности является синонимом определенного , завершенного , расширенного или экзистенциального , но его не следует принимать за физически существующее . Поэтому вопрос о том, образуют ли натуральные или действительные числа определенные множества, не зависит от вопроса о физическом существовании бесконечных вещей в природе .

Сторонники интуиционизма , начиная с Кронекера , отвергают утверждение о том, что на самом деле существуют бесконечные математические объекты или множества. Следовательно, они реконструируют основы математики таким образом, чтобы не допустить существования актуальных бесконечностей. С другой стороны, конструктивный анализ действительно допускает существование завершенной бесконечности целых чисел.

Для интуиционистов бесконечность описывается как потенциальная ; термины, синонимичные этому понятию, становятся или конструктивными . Например, Стивен Клини описывает понятие ленты машины Тьюринга как «линейную« ленту », (потенциально) бесконечную в обоих направлениях». Чтобы получить доступ к памяти на ленте, машина Тьюринга перемещает считывающую головку вдоль нее за конечное число шагов: следовательно, лента только «потенциально» бесконечна, поскольку, хотя всегда есть возможность сделать следующий шаг, сама по себе бесконечность никогда не достигается.

Математики обычно принимают действительные бесконечности. Георг Кантор - наиболее значительный математик, защищавший актуальные бесконечности, приравнивая Абсолютное Бесконечное к Богу. Он решил, что натуральные и действительные числа могут быть определенными множествами, и что если кто-то отвергает аксиому евклидовой конечности (которая утверждает, что актуальности, по отдельности и в совокупности, обязательно конечны), то не возникает никакого противоречия. .

Современная традиционная финитистская интерпретация порядковых и кардинальных чисел состоит в том, что они состоят из набора специальных символов и связанного с ними формального языка , на котором могут быть сделаны утверждения. Все такие утверждения обязательно конечны по длине. Обоснованность манипуляций основана лишь на основных принципах формального языка: термин алгебры , термин переписывания , и все это. Более абстрактно, как (конечная) модель теории и теория доказательств предлагают необходимые инструменты для работы с бесконечностями. Необязательно «верить» в бесконечность, чтобы записывать алгебраически верные выражения, используя символы бесконечности.

Классическая теория множеств

Философская проблема актуальной бесконечности состоит в том, является ли понятие последовательным и эпистемически правильным.

Классическая теория множеств принимает понятие актуальных, завершенных бесконечностей. Однако некоторые философы- финитисты- математики и конструктивисты возражают против этого понятия.

Если положительное число n становится бесконечно большим, выражение 1 / n обращается в ноль (или становится бесконечно малым). В этом смысле говорят о несобственном или потенциально бесконечном. В резком и ясном контрасте только что рассмотренное множество представляет собой легко законченное, замкнутое бесконечное множество, зафиксированное в себе, содержащее бесконечно много точно определенных элементов (натуральных чисел) ни больше ни меньше. ( А. Френкель [4, с. 6])

Таким образом, покорение актуальной бесконечности можно рассматривать как расширение нашего научного горизонта не менее революционным, чем система Коперника, или теория относительности, или даже квантовая и ядерная физика. (А. Френкель [4, с. 245])

Взглянуть на вселенную всех множеств не как на фиксированную сущность, а как на сущность, способную «расти», т. Е. Мы можем «производить» все большие и большие множества. (А. Френкель и др. [5, с. 118])

( Брауэр ) утверждает, что настоящий континуум, который нельзя перечислить, может быть получен как среда свободного развития; другими словами, помимо точек, которые существуют (готовы) в силу их определения законами, такими как e, pi и т. д., другие точки континуума не готовы, а развиваются как так называемые последовательности выбора . (А. Френкель и др. [5, с. 255])

Интуиционисты отвергают само понятие произвольной последовательности целых чисел как обозначение чего-то законченного и определенного как незаконного. Такая последовательность считается только растущим объектом, а не законченным. (А. Френкель и др. [5, с. 236])

До тех пор никто не предполагал, что бесконечности могут иметь разные размеры, и, более того, математикам не нужна была «актуальная бесконечность». Аргументы , используя бесконечность, в том числе дифференциального Исчисления от Ньютона и Лейбница , не требуют использования бесконечных множеств. (Т. Джеч [1] )

Благодаря гигантским одновременным усилиям Фреге , Дедекинда и Кантора бесконечное взошло на трон и упивалось своим полным триумфом. В своем смелом полете бесконечность достигла головокружительных высот успеха. ( Д. Гильберт [6, с. 169])

Одна из наиболее энергичных и плодотворных областей математики [...] рай, созданный Кантором, из которого никто никогда не изгонит нас [...] самый замечательный цветок математического разума и в целом одно из выдающихся достижений чисто человеческого интеллектуальная деятельность. (Д. Гильберт по теории множеств [6])

Наконец, давайте вернемся к нашей исходной теме и сделаем вывод из всех наших размышлений о бесконечности. Общий результат таков: бесконечное нигде не реализуется. Он не присутствует ни в природе, ни в качестве основы нашего рационального мышления - замечательной гармонии между бытием и мышлением. (Д. Гильберт [6, 190])

Бесконечные тотальности не существуют ни в каком смысле этого слова (т.е. ни в действительности, ни в идеале). Точнее, любое упоминание или подразумеваемое упоминание бесконечных тотальностей буквально бессмысленно. ( А. Робинсон [10, с. 507])

В самом деле, я думаю, что существует реальная потребность в формализме и в других сферах, чтобы связать наше понимание математики с нашим пониманием физического мира. (А. Робинсон)

Грандиозный мета-рассказ Георга Кантора «Теория множеств», созданный им почти в одиночку в течение примерно пятнадцати лет, больше похож на произведение высокого искусства, чем на научную теорию. ( Ю. Манин [2] )

Таким образом, изысканный минимализм выразительных средств используется Кантором для достижения возвышенной цели: постижения бесконечности, а точнее бесконечности бесконечностей. (Ю. Манин [3] )

Не существует актуальной бесконечности, которую канторианцы забыли и попали в ловушку противоречий. ( Х. Пуанкаре [Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. Morale 14 (1906) стр. 316])

Когда объектами обсуждения являются лингвистические [...] сущности, то этот набор сущностей может изменяться в результате обсуждения о них. Следствием этого является то, что сегодняшние «натуральные числа» - это не то же самое, что «натуральные числа» вчерашнего дня. (Д. Айлз [4] )

Есть по крайней мере два разных взгляда на числа: как на завершенную бесконечность и как на неполную бесконечность ... рассмотрение чисел как неполной бесконечности предлагает жизнеспособную и интересную альтернативу рассмотрению чисел как завершенную бесконечность, которая ведет к к большим упрощениям в некоторых областях математики, что тесно связано с проблемами вычислительной сложности. (Э. Нельсон [5] )

В эпоху Возрождения, особенно у Бруно , актуальная бесконечность переходит от Бога к миру. Модели конечного мира современной науки ясно показывают, как эта сила идеи актуальной бесконечности прекратилась в классической (современной) физике. В этом аспекте включение актуальной бесконечности в математику, которое явно началось с Г. Кантора только в конце прошлого века, кажется неприятным. В интеллектуальной общей картине нашего века ... актуальная бесконечность производит впечатление анахронизма. ( П. Лоренцен [6] )

Смотрите также

• Предел (математика)
• Мощность континуума

использованная литература

Источники

• "Бесконечность" в архиве истории математики MacTutor , посвященная истории понятия бесконечности, включая проблему актуальной бесконечности.
• Аристотель , Физика [7]
• Бернар Больцано , 1851, Paradoxien des Unendlichen , Reclam, Лейпциг.
• Бернар Больцано 1837, Wissenschaftslehre , Sulzbach.
• Георг Кантор в E. Zermelo (ed.) 1966, Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philophischen Inhalts , Olms, Hildesheim.
• Ричард Дедекинд в 1960 г. Был ли Зален был унд унд был соллен? , Vieweg, Брауншвейг.
• Адольф Абрахам Френкель 1923, Einleitung in die Mengenlehre , Шпрингер, Берлин.
• Адольф Абрахам Френкель, Ю. Бар-Гиллель, А. Леви 1984, Основы теории множеств , 2-е изд., Северная Голландия, Амстердам, Нью-Йорк.
• Стивен К. Клини 1952 (издание 1971 года, 10-е издание), Введение в метаматематику , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нью-Йорк. ISBN  0-444-10088-1 .
• H. Meschkowski 1981, Георг Кантор: Leben, Werk und Wirkung (2. Aufl.), BI, Mannheim.
• Х. Мешковски, В. Нильсон (Hrsg.) 1991, Георг Кантор-Брифе , Шпрингер, Берлин.
• Авраам Робинсон 1979, Избранные статьи , Vol. 2, WAJ L Luxembourg, S. Koerner (Hrsg.), Северная Голландия, Амстердам.