Правило конечного деления - Finite subdivision rule

Перспективная проекция додекаэдрической мозаики в H ³ . Обратите внимание на рекурсивную структуру: каждый пятиугольник содержит меньшие пятиугольники, которые содержат меньшие пятиугольники. Это пример правила подразделения, возникающего из конечной вселенной (т.е. замкнутого 3-многообразия ).

В математике правило конечного подразделения - это рекурсивный способ деления многоугольника или другой двумерной формы на все меньшие и меньшие части. Правила подразделения в некотором смысле являются обобщениями правильных геометрических фракталов . Вместо того, чтобы повторять один и тот же дизайн снова и снова, они имеют небольшие вариации на каждом этапе, что позволяет получить более богатую структуру, сохраняя при этом элегантный стиль фракталов. Правила подразделения использовались в архитектуре, биологии и информатике, а также при изучении гиперболических многообразий . Замещающие мозаики - это хорошо изученный тип правила подразделения.

Определение

Правило подразделения берет мозаику плоскости на многоугольники и превращает ее в новую мозаику, разделяя каждый многоугольник на более мелкие многоугольники. Это конечно, если есть только конечное число способов, которыми каждый многоугольник может подразделить. Каждый способ разделения плитки называется типом плитки . Каждый тип плитки представлен меткой (обычно буквой). Каждый тип плитки подразделяется на более мелкие типы плитки. Каждое ребро также подразделяется на конечное число типов ребер . Правила конечного разбиения могут разбивать только плитки, состоящие из многоугольников, помеченных типами плиток. Такие мозаики называются комплексами подразделения для правила подразделения. Учитывая любой комплекс подразделения для правила подразделения, мы можем подразделить его снова и снова, чтобы получить последовательность мозаик.

Например, двоичное подразделение имеет один тип плитки и один тип ребра:

Поскольку единственный тип плитки - четырехугольник, двоичное подразделение может только разбивать мозаику, состоящую из четырехугольника. Это означает, что единственные комплексы разбиения - это мозаики четырехугольниками. Укладка плитки может быть регулярной , но не обязательно:

Здесь мы начнем с комплекса, состоящего из четырех четырехугольников, и разделим его дважды. Все четырехугольники представляют собой плитки типа А.

Примеры правил конечного подразделения

Барицентрическое подразделение - это пример правила подразделения с одним типом ребра (который подразделяется на два ребра) и одним типом плитки (треугольник, который подразделяется на 6 меньших треугольников). Любая триангулированная поверхность представляет собой комплекс барицентрических подразделений.

Пенроуза может быть порожден правилом разбиения на множество из четырех типов плитки (изогнутые линий в таблице ниже только помощи , чтобы показать , как плитки подходят друг к другу):

Имя	Начальные плитки	Поколение 1	Поколение 2	Поколение 3
Полукайт
Полудроток
солнце
Звезда

Некоторые рациональные карты порождают правила конечного подразделения. Сюда входит большинство карт Латте .

Каждый простой, нерасщепляемый чередующийся узел или дополнение ссылки имеет правило подразделения, при этом некоторые плитки, которые не разделяются, соответствуют границе дополнения ссылки. Правила подразделения показывают, как будет выглядеть ночное небо для человека, живущего в виде узла ; поскольку Вселенная вращается вокруг себя (то есть не просто связана ), наблюдатель мог бы видеть, как видимая Вселенная повторяется в бесконечном порядке. Правило подразделения описывает этот образец.

Правило подразделения выглядит по-разному для разных геометрий. Это правило подразделения для узла-трилистника , который не является гиперболическим узлом :

И это правило подразделения для колец Борромео , которое является гиперболическим:

В каждом случае правило подразделения будет действовать на некоторый фрагмент сферы (например, ночное небо), но проще нарисовать небольшую часть ночного неба, соответствующую одному фрагменту, который многократно разбивается на части. Вот что происходит с узлом-трилистником:

А для колец Борромео:

Правила подразделения в высших измерениях

Правила подразделения можно легко обобщить на другие измерения. Например, барицентрическое подразделение используется во всех измерениях. Кроме того, двоичное подразделение может быть обобщено на другие измерения (где гиперкубы делятся каждой средней плоскостью), как в доказательстве теоремы Гейне – Бореля .

Строгое определение

Правило подразделения четырехмерного тора. Грани плиток B, которые разделяются, могут касаться только плиток C, а грани плиток B, которые касаются не только плиток A.

Конечное правило подразделения состоит в следующем. ${\ displaystyle R}$

1. Конечный 2-мерный комплекс CW , называемый комплексом подразделения , с фиксированной клеточной структурой, такой как объединение его замкнутых 2-клеток. Предположим , что для каждой замкнутой 2-клетку из есть структура CW на замкнутом 2-диска таким образом, что имеет , по меньшей мере , две вершины, вершины и ребра содержатся в , и характеристики карты , которая отображается на ограничивает до гомеоморфизма на каждая открытая ячейка. ${\ displaystyle S_ {R}}$${\ displaystyle S_ {R}}$${\ displaystyle {\ tilde {s}}}$${\ displaystyle S_ {R}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ partial s}$${\ displaystyle \ psi _ {s}: s \ rightarrow S_ {R}}$${\ displaystyle {\ tilde {s}}}$

2. Конечный двумерный комплекс CW , являющийся подразделением . ${\ Displaystyle R (S_ {R})}$${\ displaystyle S_ {R}}$

3. Непрерывная клеточная карта, называемая картой подразделения , ограничение которой на каждую открытую ячейку является гомеоморфизмом на открытую ячейку. ${\ Displaystyle \ phi _ {R}: R (S_ {R}) \ rightarrow S_ {R}}$

Каждый комплекс CW в приведенном выше определении (с его заданной характеристической картой ) называется типом тайла . ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ psi _ {s}}$

-Комплекс для правила разбиения является 2-мерной CW комплекса , который является объединением его замкнутых 2-клеток, вместе с непрерывной клеточной картой , ограничение которого на каждую открытую клетку является гомеоморфизмом. Мы можем подразделить на комплекс , потребовав, чтобы индуцированное отображение ограничивалось гомеоморфизмом на каждую открытую клетку. снова -комплекс с картой . Повторяя этот процесс, мы получаем последовательность разбитых -комплексов с картами . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f: X \ rightarrow S_ {R}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle R (X)}$${\ Displaystyle f: R (X) \ rightarrow R (S_ {R})}$${\ Displaystyle R (X)}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle \ phi _ {R} \ circ f: R (X) \ rightarrow S_ {R}}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R ^ {п} (X)}$${\ Displaystyle \ phi _ {R} ^ {n} \ circ f: R ^ {n} (X) \ rightarrow S_ {R}}$

Бинарное подразделение является одним из примеров:

Комплекс подразделения может быть создан путем склеивания противоположных краев квадрата, превращая комплекс подразделения в тор . Карта деления - это карта удвоения на торе, дважды оборачивающая меридиан вокруг себя, а долготу - дважды. Это четырехкратная покрывающая карта . Плоскость, выложенная квадратами, является комплексом подразделений для этого правила подразделения со структурной картой, заданной стандартной картой покрытия. При разбиении каждый квадрат на плоскости разбивается на квадраты размером в одну четвертую. ${\ displaystyle S_ {R}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow R (S_ {R})}$

Свойства квазиизометрии

График истории правила деления средней трети .

Правила подразделения можно использовать для изучения свойств квазиизометрии определенных пространств. Учитывая правило подразделения и комплекс подразделений , мы можем построить граф, называемый графом истории, который записывает действие правила подразделения. Граф состоит из двойных графов каждой стадии , вместе с ребрами, соединяющими каждую плитку в с его подразделениями в . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle R ^ {п} (X)}$${\ Displaystyle R ^ {п} (X)}$${\ Displaystyle R ^ {п + 1} (Х)}$

Свойства квазиизометрии графа истории можно изучить с помощью правил подразделения. Например, граф истории квазиизометричен гиперболическому пространству именно тогда, когда правило подразделения конформно , как описано в комбинаторной теореме об отображении Римана .

Приложения

Применение правил подразделения.

Пример правила подразделения, используемого в исламском искусстве, известного как гирих .

Первые три шага разделения куба по Катмуллу-Кларку с поверхностью подразделения ниже.

Характер ветвления бронхов можно смоделировать с помощью правил конечного подразделения.

Плитки исламского гириха в исламской архитектуре - это самоподобные плитки, которые можно смоделировать с помощью конечных правил подразделения. В 2007 году Питер Дж. Лу из Гарвардского университета и профессор Пол Дж. Стейнхард из Принстонского университета опубликовали в журнале Science статью, в которой предполагалось, что гирих-мозаики обладают свойствами, соответствующими самоподобным фрактальным квазикристаллическим мозаикам, таким как мозаики Пенроуза (презентация 1974 г., работы предшественников). начиная примерно с 1964 г.), опередив их на пять веков.

Поверхности подразделения в компьютерной графике используют правила подразделения для уточнения поверхности до любого заданного уровня точности. Эти поверхности подразделения (например, поверхность подразделения Катмулла-Кларка ) принимают полигональную сетку (тип, используемый в 3D-анимационных фильмах) и уточняют ее до сетки с большим количеством полигонов, добавляя и сдвигая точки в соответствии с различными рекурсивными формулами. Хотя многие точки смещаются в этом процессе, каждая новая сетка комбинаторно представляет собой подразделение старой сетки (это означает, что для каждого ребра и вершины старой сетки вы можете идентифицировать соответствующее ребро и вершину в новой, а также еще несколько ребер. и вершины).

Правила подразделения были применены Кэнноном, Флойдом и Парри (2000) для изучения крупномасштабных моделей роста биологических организмов. Кэннон, Флойд и Парри создали математическую модель роста, которая продемонстрировала, что некоторые системы, определяемые простыми правилами конечного подразделения, могут приводить к объектам (в их примере, стволу дерева), крупномасштабная форма которых сильно колеблется со временем, даже если законы местного подразделения остаются такой же. Кэннон, Флойд и Парри также применили свою модель для анализа моделей роста тканей крыс. Они предположили, что «отрицательно изогнутая» (или неевклидова) природа микроскопических структур роста биологических организмов является одной из ключевых причин того, почему крупномасштабные организмы не выглядят как кристаллы или многогранные формы, а фактически во многих случаях напоминают самих себя. подобные фракталы . В частности, они предположили, что такая «отрицательно изогнутая» локальная структура проявляется в сильно свернутой и сильно связанной природе мозга и легочной ткани.

Гипотеза Кэннона

Кэннон , Флойд и Парри сначала изучили правила конечного подразделения в попытке доказать следующую гипотезу:

Гипотеза Кэннона : каждая гиперболическая группа Громова с 2-сферой на бесконечности действует геометрически на гиперболическом 3-пространстве .

Здесь геометрическое действие - это кокомпактное, собственно разрывное действие изометрий. Эта гипотеза была частично решена Григорием Перельманом в его доказательстве гипотезы геометризации , которая утверждает (частично), что любая гиперболическая группа Громова, являющаяся группой 3-многообразий, должна геометрически действовать на гиперболическом 3-пространстве. Однако остается показать, что гиперболическая группа Громова с 2-сферой на бесконечности является группой 3-многообразий.

Кэннон и Свенсон показали, что гиперболическая группа с 2-сферой на бесконечности имеет соответствующее правило подразделения. Если это правило подразделения конформно в определенном смысле, группа будет группой 3-многообразий с геометрией гиперболического 3-пространства.

Комбинаторная теорема об отображении Римана

Правила подразделения задают последовательность мозаик поверхности, а мозаики дают представление о расстоянии, длине и площади (позволяя каждой плитке иметь длину и площадь 1). В пределе расстояния, которые исходят от этих мозаик, могут в некотором смысле сходиться к аналитической структуре на поверхности. Комбинаторная теорема об отображении Римана дает необходимые и достаточные условия для этого.

Его заявление требует некоторой предыстории. Замощение кольца (т. Е. Замкнутое кольцо) дает два инварианта и , называемых приближенными модулями . Они похожи на классический модуль кольца . Они определяются с помощью весовых функций . Весовая функция присваивает неотрицательное число, называемое весом, каждой плитке . Каждому пути в пути может быть задана длина, определяемая как сумма весов всех плиток в пути. Определить высоту в соответствии быть инфимумом длины всех возможных путей , соединяющих внутреннюю границу к внешней границе. Окружность из Under является нижней гранью длины всех возможных путей , кружащихся кольцо (т.е. не nullhomotopic в R). Площадь от заместителя определяется как сумма квадратов всех весов в . Затем определите ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle М _ {\ sup} (R, T)}$${\ Displaystyle м _ {\ inf} (R, T)}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle H (\ rho)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle C (\ rho)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle А (\ rho)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle M _ {\ sup} (R, T) = \ sup {\ гидроразрыва {H (\ rho) ^ {2}} {A (\ rho)}},}$

${\ Displaystyle m _ {\ Inf} (R, T) = \ Inf {\ frac {A (\ rho)} {C (\ rho) ^ {2}}}.}$

Обратите внимание, что они инвариантны относительно масштабирования метрики.

Последовательность мозаик конформна ( ), если сетка приближается к 0 и: ${\ displaystyle T_ {1}, T_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle K}$

1. Для каждого кольца приблизительные модули и при всех достаточно больших лежат в одном интервале вида ; а также${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle M _ {\ sup} (R, T_ {i})}$${\ displaystyle m _ {\ inf} (R, T_ {i})}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle [r, Kr]}$
2. Принимая во внимание точку на поверхности, окрестность из , и целое число , то есть кольцо в отделение х из дополнения , таким образом, что для всех крупных приближенных модулей все больше .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle N \ smallsetminus \ {х \}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$

Формулировка теоремы

Если последовательность мозаик поверхности является конформной ( ) в указанном выше смысле, то на поверхности существует конформная структура и константа, зависящая только от того, в каких классических модулях и приближенных модулях (начиная с достаточно большого) любого данного кольца являются -comparable, что означает , что они лежат в одном интервале . ${\ displaystyle T_ {1}, T_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K '}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle K '}$${\ displaystyle [r, K'r]}$

Последствия

Комбинаторная теорема об отображении Римана подразумевает, что группа действует геометрически на том и только в том случае, если она гиперболическая по Громову, у нее есть сфера на бесконечности, а правило естественного подразделения на сфере порождает последовательность мозаик, конформных в указанном выше смысле. . Таким образом, гипотеза Кэннона была бы верной, если бы все такие правила подразделения были конформными. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {3}}$

использованная литература

внешние ссылки

• Страница исследования Билла Флойда . Эта страница содержит большинство исследовательских работ Кэннона, Флойда и Парри о правилах подразделения, а также галерею правил подразделения.