Сфера гомологии - Homology sphere

В алгебраической топологии , гомологическая сфера является п - многообразие X , имеющие гомологии из с п - сфера , для некоторого целого . Это, ${\ Displaystyle п \ geq 1}$

{\ displaystyle H_ {0} (X, \ mathbb {Z}) = H_ {n} (X, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z}}

и

{\ Displaystyle Н_ {я} (Х, \ mathbb {Z}) = \ {0 \}}

для всех остальных я .

Следовательно, X - связное пространство с одним ненулевым высшим числом Бетти , а именно . Из этого не следует , что X является односвязное , только что ее фундаментальной группой является совершенной (см теоремы Гуревича ). ${\ displaystyle b_ {n} = 1}$

Рациональная гомологическая сфера определяется аналогично , но с использованием гомологии с рациональными коэффициентами.

Сфера гомологии Пуанкаре

Гомологическая сфера Пуанкаре (также известная как додекаэдрическое пространство Пуанкаре) является частным примером гомологической сферы, впервые построенной Анри Пуанкаре . Будучи сферическим 3-многообразием , это единственная гомологическая 3-сфера (помимо самой 3-сферы ) с конечной фундаментальной группой . Его фундаментальная группа известна как бинарная группа икосаэдра и имеет порядок 120. Поскольку фундаментальная группа 3-сферы тривиальна, это показывает, что существуют 3-многообразия с теми же группами гомологий, что и 3-сфера, которые не гомеоморфны Это.

Строительство

Простое построение этого пространства начинается с додекаэдра . Каждая грань додекаэдра идентифицируется с его противоположной гранью, используя минимальный поворот по часовой стрелке, чтобы выровнять грани. Склеивание каждой пары противоположных граней вместе с использованием этой идентификации дает замкнутое 3-многообразие. (См. Аналогичную конструкцию в пространстве Зейферта – Вебера , использующую больше «скручивания», которое приводит к трехмерному гиперболическому многообразию .)

В качестве альтернативы, сфера гомологии Пуанкаре может быть построена как фактор-пространство SO (3) / I, где I - группа икосаэдра (т. Е. Группа вращательной симметрии правильного икосаэдра и додекаэдра, изоморфная знакопеременной группе ). Более интуитивно это означает, что сфера гомологии Пуанкаре - это пространство всех геометрически различимых положений икосаэдра (с фиксированным центром и диаметром) в трехмерном евклидовом пространстве. Вместо этого можно перейти к универсальной оболочке SO (3), которая может быть реализована как группа единичных кватернионов и гомеоморфна 3-сфере. В этом случае сфера гомологии Пуанкаре изоморфна где - бинарная группа икосаэдра , совершенное двойное покрытие I, вложенное в . ${\ displaystyle A_ {5}}$ ${\ displaystyle S ^ {3} / {\ widetilde {I}}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {I}}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Другой подход - операция Дена . Сфера гомологии Пуанкаре является результатом операции +1 на правом узле - трилистнике .

Космология

В 2003 г. отсутствие структуры космического микроволнового фона в самых больших масштабах (выше 60 градусов), наблюдавшееся в течение одного года с помощью космического корабля WMAP, привело к предположению Жан-Пьера Люмине из Парижской обсерватории и его коллег, что форма Вселенной является сферой Пуанкаре. В 2008 году астрономы нашли лучшую ориентацию на небе для модели и подтвердили некоторые предсказания модели, используя трехлетние наблюдения с помощью космического корабля WMAP. По состоянию на 2016 год публикация анализа данных с космического корабля Planck предполагает, что нет наблюдаемой нетривиальной топологии Вселенной.

Конструкции и примеры

Хирургия узла в 3-сфере S ³ с оснащением +1 или −1 дает сферу гомологий.
В более общем смысле, перестройка зацепления дает сферу гомологии всякий раз, когда матрица, заданная числами пересечения (не по диагонали) и оснащениями (по диагонали), имеет определитель +1 или -1.
Если p , q и r - попарно взаимно простые положительные целые числа, то связь особенности x ^p + y ^q + z ^r = 0 (другими словами, пересечение небольшой 5-сферы вокруг 0 с этой комплексной поверхностью) равно многообразие Брискорна , что является гомологической 3-сферой, называется Брискорн 3-сфера Е ( р , Q , R ). Он гомеоморфен стандартной 3-сфере, если один из p , q и r равен 1, а Σ (2, 3, 5) является сферой Пуанкаре.
Связная сумма два ориентированных гомологических 3-сфера является гомологической 3-сферой. Гомологическая 3-сфера, которая не может быть записана как связная сумма двух гомологических 3-сфер, называется неприводимой или простой , и каждая гомологическая 3-сфера может быть записана как связная сумма первичных гомологических 3-сфер существенно уникальным способом. (См. Разложение на простые числа (3-многообразие) .)
Предположим, что все числа не меньше 2 таких, что любые два взаимно просты. Тогда расслоение Зейферта ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {r}}$

{\ displaystyle \ {b, (o_ {1}, 0); (a_ {1}, b_ {1}), \ dots, (a_ {r}, b_ {r}) \} \,}

над сферой с исключительными слоями степеней a ₁ , ..., a _r является гомологической сферой, где b выбраны так, что

{\ displaystyle b + b_ {1} / a_ {1} + \ cdots + b_ {r} / a_ {r} = 1 / (a_ {1} \ cdots a_ {r}).}

(Всегда есть способ выбрать b ′ s, и сфера гомологии не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора b ′ s.) Если r не больше 2, это просто обычная 3-сфера; в противном случае они являются различными нетривиальными гомологическими сферами. Если a ′ равны 2, 3 и 5, это дает сферу Пуанкаре. Если существует не менее 3 a ′ s, а не 2, 3, 5, то это ациклическая гомологическая 3-сфера с бесконечной фундаментальной группой, геометрия которой моделируется на универсальном покрытии SL ₂ ( R ) .

Инварианты

Инвариант Рохлин является значным инвариантом гомологических 3-сфер. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
Инвариантно Кассон представляет собой целое число оценивается инвариант гомологии 3- х сфер, у которых приведение по модулю 2 является инвариантной Рохлин.

Приложения

Если является гомологической 3-сфера не гомеоморфно стандартной 3-мерной сферы, то подвеска из А представляет собой пример 4-мерного гомологического многообразия , которое не является топологическим многообразием . Двойная надстройка A гомеоморфна стандартной 5-сфере, но ее триангуляция (индуцированная некоторой триангуляцией A ) не является PL-многообразием . Другими словами, это дает пример конечного симплициального комплекса, который является топологическим многообразием, но не PL-многообразием. (Это не PL-многообразие, потому что зацепление точки не всегда является 4-сферой.)

Галевский и Стерн показали, что все компактные топологические многообразия (без края) размерности не менее 5 гомеоморфны симплициальным комплексам тогда и только тогда, когда существует гомология 3-сфера Σ с инвариантом 1 Рохлина такая, что связная сумма Σ # Σ множества Σ с самой собой ограничивает гладкое ациклическое 4-многообразие. По состоянию на 2013 г. проблема существования такой гомологической 3-сферы оставалась нерешенной. 11 марта 2013 года Чиприан Манолеску опубликовал препринт на ArXiv, в котором утверждалось, что не существует такой гомологической сферы с данным свойством, и, следовательно, существуют 5-многообразия, не гомеоморфные симплициальным комплексам. В частности, пример, первоначально приведенный Галевски и Стерном (см. Галевский и Стерн, Универсальное 5-многообразие относительно симплициальных триангуляций, в Геометрической топологии (Proceedings Georgia Topology Conference, Athens Georgia, 1977, Academic Press, New York, pp 345). –350)) не является триангулируемым.

Смотрите также

использованная литература

Выбранное чтение

Дрор, Эммануэль (1973). «Сферы гомологии» . Израильский математический журнал . 15 : 115–129. DOI : 10.1007 / BF02764597 . Руководство по ремонту 0328926 .
Дэвид Галевски, Рональд Стерн Классификация симплициальных триангуляций топологических многообразий , Анналы математики 111 (1980), вып. 1. С. 1–34.
Робион Кирби , Мартин Шарлеманн, Восемь граней гомологии 3-сферы Пуанкаре . Геометрическая топология (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 113–146, Academic Press , New York-London, 1979.
Кервер, Мишель (1969). «Гладкие гомологические сферы и их фундаментальные группы». Труды Американского математического общества . 144 : 67–72. JSTOR 1995 269 . Руководство по ремонту 0253347 .
Николай Савельев, Инварианты гомологий 3-сфер , Энциклопедия математических наук, том 140. Низкоразмерная топология, I. Springer-Verlag, Берлин, 2002. MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7

Languages

In other projects