Функция распределения (квантовая теория поля) - Partition function (quantum field theory)

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Задний план Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера
Стандартная модель Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса
Неполные теории Топологическая квантовая теория поля Струнная теория Суперсимметрия Разноцветный Теория всего Квантовая гравитация
Ученые КД Андерсон П. У. Андерсон Быть Bjorken Боголюбов Brout Каллан Коулман ДеВитт Дирак Дайсон Энглерт Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Глэшоу Гелл-Манн Валовой Гуральник Гейзенберг Хиггс Haag Hagen 'т Хофт Иордания Кендалл Kibble ягненок Ландо Ли Майорана Миллс Намбу Нисидзима Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Сударшан Томонага Вельтман сторожить Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Ян Юкава
v т е

В квантовой теории поля , то функция распределения является производящий функционал всех функций корреляции , обобщающей характеристической функции теории вероятностей. ${\ displaystyle Z [J]}$

Обычно выражается следующим функциональным интегралом :

${\ Displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi \, e ^ {i (S [\ phi] + \ int d ^ {4} xJ (x) \ phi (x))} ~,}$

где S - функционал действия .

Статистическая сумма в квантовой теории поля является частным случаем математической статистической суммы и связана со статистической статистической суммой в статистической механике. Основное отличие состоит в том, что счетный набор случайных величин, замеченный в определении таких более простых функций распределения, был заменен несчетным набором, что потребовало использования функциональных интегралов по полю . ${\ displaystyle \ phi}$

Использует

N-точечные корреляционные функции могут быть выражены с использованием формализма интегралов по путям как ${\ displaystyle G_ {n}}$

${\ Displaystyle G_ {n} (x_ {1}, ..., x_ {n}) \ Equiv \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \} | \ Omega \ rangle = {\ frac {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \ exp (iS [\ phi ] / \ hbar)} {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ exp (iS [\ phi] / \ hbar)}}}$

где левая часть - это упорядоченный по времени продукт, используемый для вычисления элементов S-матрицы . На стороне средства правой проинтегрировать все возможные конфигурации классического поля с фазой , заданной классическим действием оцениваемого в этой конфигурации поля. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \ phi}$${\ Displaystyle \ фи (х)}$${\ displaystyle S [\ phi]}$

Производящий функционал можно использовать для вычисления вышеуказанных интегралов по путям с помощью вспомогательной функции ( в данном контексте называемой током ). ${\ displaystyle Z [J]}$${\ displaystyle J}$

Из определения (в контексте 4D)

${\ Displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi \ exp \ left \ {{\ frac {i} {\ hbar}} \ left [S [\ phi] + \ int d ^ { 4} xJ (x) \ phi (x)) \ right] \ right \}}$

можно увидеть, используя функциональные производные, что n-точечные корреляционные функции задаются выражением ${\ Displaystyle G_ {n} (x_ {1}, ... ,, x_ {n})}$

${\ displaystyle G_ {n} (x_ {1}, ..., x_ {n}) = (- i \ hbar) ^ {n} {\ frac {1} {Z [0]}} \ left. { \ frac {\ delta ^ {n} Z} {\ delta J (x_ {1}) \ cdots \ delta J (x_ {n})}} \ right | _ {J = 0}}$;

где - функциональная производная . ${\ displaystyle \ delta / \ delta J (x_ {i})}$

Связь со статистической механикой

Производящий функционал является аналогом статистической суммы в статистической механике в квантовой теории поля: он сообщает нам все, что мы могли бы знать о системе. Производящий функционал - это святой Грааль любой конкретной теории поля: если у вас есть точное выражение в замкнутой форме для конкретной теории, вы его полностью решили. ${\ displaystyle Z [J]}$

В отличие от статистической суммы в статистической механике, статистическая сумма в квантовой теории поля содержит дополнительный множитель i перед действием, что делает подынтегральное выражение комплексным, а не действительным. Это я указывает на глубокую связь между квантовой теории поля и статистической теории полей. Эту связь можно увидеть, если Вик поворачивает подынтегральное выражение в экспоненте интеграла по путям. Я проистекает из того факта , что функция распределения в КТП вычисляет квантовые амплитуды вероятностей между состояниями, которые принимают значения в комплексном проективном пространстве (комплексном гильбертовом пространстве , но акцент делается на слове проекционно , поскольку амплитуды вероятности все равно нормализуется к единице). Поля в статистической механике - это вещественные случайные величины, в отличие от операторов в гильбертовом пространстве.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Жан Зинн-Джастин (2009), Scholarpedia , 4 (2): 8674 .
• Кляйнерт, Хаген , Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 4-е издание, World Scientific (Сингапур, 2004 г.); мягкая обложка ISBN  981-238-107-4 (также доступно онлайн: PDF-файлы ) .