Решеточная калибровочная теория - Lattice gauge theory

В физике , решеточной калибровочной теории является изучение калибровочных теорий на пространстве - времени , которая была дискретизированных в решетке .

Калибровочные теории важны в физике элементарных частиц и включают преобладающие теории элементарных частиц : квантовую электродинамику , квантовую хромодинамику (КХД) и Стандартную модель физики элементарных частиц . Вычисления непертурбативной калибровочной теории в непрерывном пространстве-времени формально включают вычисление бесконечномерного интеграла по путям , который трудно поддается вычислению. Работая на дискретном пространстве - времени , то интегральный путь становится конечномерен, и может быть оценена с помощью стохастических имитационных методов , таких как метод Монте - Карло . Когда размер решетки берется бесконечно большим, а ее узлы бесконечно близки друг к другу, калибровочная теория континуума восстанавливается.

Основы

В решеточной калибровочной теории пространство-время - это Вик, повернутый в евклидово пространство и дискретизированный в решетку с узлами, разделенными расстоянием и соединенными связями. В наиболее часто рассматриваемых случаях, таких как решеточная КХД , фермионные поля определяются в узлах решетки (что приводит к удвоению фермионов ), а калибровочные поля определяются в зацеплениях. То есть, элемент U из компактной группы Ли G (не алгебра ) присваивается каждой ссылке. Следовательно, для моделирования КХД с группой Ли SU (3) на каждом звене определена унитарная матрица 3 × 3 . Связи назначается ориентация, при этом обратный элемент соответствует той же связи с противоположной ориентацией. И каждому узлу дается значение в ℂ ³ (цветной 3-вектор, пространство, в котором действует фундаментальное представление SU (3)), биспинор (4-спинор Дирака), вектор n _f и переменная Грассмана. . ${\ displaystyle a}$

Таким образом, композиция элементов SU (3) звеньев вдоль пути (т. Е. Упорядоченное умножение их матриц) аппроксимирует экспоненту, упорядоченную по путям (геометрический интеграл), из которой могут быть вычислены значения цикла Вильсона для замкнутых путей.

Действие Янга – Миллса

Действие Янга – Миллса записывается на решетке с использованием петель Вильсона (названных в честь Кеннета Г. Уилсона ), так что предел формально воспроизводит исходное действие континуума. Для точного неприводимого представления ρ группы G решеточное действие Янга-Миллса представляет собой сумму по всем узлам решетки следа (действительной компоненты) по n звеньям e ₁ , ..., e _n в петле Вильсона, ${\ displaystyle a \ to 0}$

{\ displaystyle S = \ sum _ {F} - \ Re \ {\ chi ^ {(\ rho)} (U (e_ {1}) \ cdots U (e_ {n})) \}.}

Здесь χ - характер . Если ρ является действительным (или псевдореальным ) представлением, использование действительного компонента является избыточным, потому что даже если ориентация петли Вильсона перевернута, ее вклад в действие остается неизменным.

Существует много возможных решеточных действий Янга-Миллса, в зависимости от того, какие петли Вильсона используются в действии. В простейшем "действии Вильсона" используется только петля Вильсона 1 × 1, и оно отличается от действия континуума "артефактами решетки", пропорциональными небольшому интервалу решетки . Используя более сложные циклы Вильсона для построения «улучшенных действий», артефакты решетки могут быть уменьшены до пропорциональности , что делает вычисления более точными. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a ^ {2}}$

Измерения и расчеты

Этот результат вычисления КХД на решетке показывает мезон , состоящий из кварка и антикварка. (По М. Кардозу и др.)

Такие величины, как масса частиц, рассчитываются стохастически с использованием таких методов, как метод Монте-Карло . Конфигурации калибровочного поля генерируются с вероятностями, пропорциональными , где - действие решетки и связано с шагом решетки . Интересующее количество рассчитывается для каждой конфигурации и усредняется. Расчеты часто повторяются в различных шагов решетки , так что результат может быть экстраполированы на континууме . ${\ displaystyle e ^ {- \ beta S}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a \ to 0}$

Такие вычисления часто являются чрезвычайно ресурсоемкими и могут потребовать использования самых больших доступных суперкомпьютеров . Чтобы уменьшить вычислительную нагрузку, можно использовать так называемое приближение с замороженным процессом, в котором фермионные поля рассматриваются как нединамические «замороженные» переменные. В то время как это было обычным явлением в ранних расчетах КХД на решетке, «динамические» фермионы сейчас являются стандартом. В этих симуляциях обычно используются алгоритмы, основанные на молекулярной динамике или алгоритмах микроканонического ансамбля .

Результаты расчетов решеточной КХД показывают, например, что в мезоне важны не только частицы (кварки и антикварки), но и « потокотрубки » глюонных полей.

Квантовая тривиальность

Решеточная калибровочная теория также важна для изучения квантовой тривиальности с помощью ренормгруппы реального пространства . Самая важная информация в потоке RG - это то, что называется фиксированными точками .

Возможные макроскопические состояния системы в крупном масштабе задаются этим набором неподвижных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, теория называется тривиальной или невзаимодействующей. При изучении решеточных теорий Хиггса появляются многочисленные неподвижные точки, но природа связанных с ними квантовых теорий поля остается открытым вопросом.

Тривиальность еще предстоит строго доказать, но вычисления на решетке убедительно доказали это. Этот факт важен, поскольку квантовую тривиальность можно использовать для ограничения или даже предсказания таких параметров, как масса бозона Хиггса .

Другие приложения

Первоначально решаемые калибровочные теории на двумерной решетке были введены в 1971 г. как модели с интересными статистическими свойствами теоретиком Францем Вегнером , работавшим в области фазовых переходов.

Когда в действии появляются только 1 × 1 петли Вильсона, можно показать, что калибровочная теория решетки в точности двойственна моделям спиновой пены .

Смотрите также

дальнейшее чтение

М. Кройц, Кварки, глюоны и решетки , Издательство Кембриджского университета, 1985.
И. Монтвей и Г. Мюнстер, Квантовые поля на решетке , Издательство Кембриджского университета, 1997.
Ю. Макеенко, Методы современной калибровочной теории , Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-80911-8 .
Дж. Смит , Введение в квантовые поля на решетке , Cambridge University Press, 2002.
Т. ДеГранд и К. ДеТар, Решеточные методы квантовой хромодинамики , World Scientific 2006.
Ч. Гаттрингер, CB Лэнг, Квантовая хромодинамика на решетке , Springer 2010.
Вайс Петер, Маджумдар Пушан (2012). "Калибровочные теории на решетке" . Scholarpedia . 7 (4): 8615. Bibcode : 2012SchpJ ... 7.8615W . DOI : 10,4249 / scholarpedia.8615 .

Languages

In other projects