Теорема Вика - Wick's theorem

Теорема Вика - это метод сведения производных высокого порядка к проблеме комбинаторики . Он назван в честь итальянского физика Джан-Карло Вика . Он широко используется в квантовой теории поля для сведения произвольных произведений операторов рождения и уничтожения к суммам произведений пар этих операторов. Это позволяет использовать методы функций Грина и, следовательно, диаграммы Фейнмана в исследуемой области. Более общая идея теории вероятностей - теорема Иссерлиса .

В пертурбативной квантовой теории поля теорема Вика используется для быстрого переписывания каждого упорядоченного слагаемого в ряду Дайсона в виде суммы нормально упорядоченных членов. В пределе асимптотически свободных входящих и исходящих состояний эти члены соответствуют диаграммам Фейнмана .

Определение сокращения

Для двух операторов и мы определяем их сжатие как ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$

{\ displaystyle {\ hat {A}} ^ {\ bullet} \, {\ hat {B}} ^ {\ bullet} \ Equiv {\ hat {A}} \, {\ hat {B}} \, - {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} \, {\ hat {B}} {\ mathclose {:}}}

где обозначает нормальный порядок оператора . В качестве альтернативы, стягивания можно обозначить линию , соединяющую и , как . ${\ displaystyle {\ mathopen {:}} {\ hat {O}} {\ mathclose {:}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {O}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ sqcap} {{\ hat {A}} {\ hat {B}}}}}$

Мы подробно рассмотрим четыре частных случая, когда и равны операторам создания и уничтожения. Для частиц мы будем обозначать операторы создания через, а операторы уничтожения через . Они удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям , где обозначает символ Кронекера . ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}}}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger}}$ ${\ Displaystyle {\ шляпа {а}} _ {я}}$ ${\ Displaystyle (я = 1,2,3 \ ldots, N)}$ ${\ displaystyle [{\ hat {a}} _ {i}, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger}] = \ delta _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

Тогда у нас есть

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ bullet} = {\ hat {a}} _ {i} \ , {\ hat {a}} _ {j} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} = {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, - \, {\ mathopen {:}} {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ bullet} = {\ hat {a}} _ {i } ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {j} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger} \, { \ hat {a}} _ {j} \, {\ mathclose {:}} \, = 0}

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} = {\ hat {a}} _ {i } \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, - {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a} } _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \, = \ delta _ {ij}}

где . ${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, N}$

Эти соотношения верны для бозонных операторов или фермионных операторов из-за способа определения нормального порядка.

Примеры

Мы можем использовать сокращения и нормальный порядок, чтобы выразить любой продукт операторов создания и уничтожения как сумму обычных упорядоченных членов. Это основа теоремы Вика. Прежде чем полностью сформулировать теорему, рассмотрим несколько примеров.

Предположим, что и - бозонные операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям : ${\ Displaystyle {\ шляпа {а}} _ {я}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger}}$

{\ displaystyle \ left [{\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger}, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \ right] = 0}

{\ displaystyle \ left [{\ hat {a}} _ {i}, {\ hat {a}} _ {j} \ right] = 0}

{\ displaystyle \ left [{\ hat {a}} _ {i}, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \ right] = \ delta _ {ij}}

где , обозначает коммутатор , а - символ Кронекера. ${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, N}$ ${\ displaystyle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] \ Equiv {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ шляпа {A}}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

Мы можем использовать эти отношения и приведенное выше определение сокращения для выражения продуктов и другими способами. ${\ Displaystyle {\ шляпа {а}} _ {я}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ dagger}}$

Пример 1

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \ , {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {ij} = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} = \, {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} + {\ hat {a}} _ {i} ^ { \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet}}

Обратите внимание, что мы не изменили, а просто переформулировали его в другой форме как ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle \, {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {: }} + {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet}}$

Пример 2

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} = ({\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {ij}) {\ hat {a}} _ {k} = {\ hat { a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {ij} {\ hat {a }} _ {k} = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {k} + {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} {\ hat {a}} _ {k} = \, {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {k} \ , {\ mathclose {:}} + {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ кинжал \ пуля} \, {\ шляпа {а}} _ {к} {\ mathclose {:}}}

Пример 3

{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} = ({\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {ij }) ({\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {kl})}

{\ displaystyle = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger } \, {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {kl} {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {ij} {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {ij} \ delta _ {kl}}

{\ displaystyle = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} ({\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {il}) {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {kl} {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a} } _ {i} + \ delta _ {ij} {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {ij} \ delta _ { kl}}

{\ displaystyle = {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} { \ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {il} {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {kl} {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {i} + \ delta _ {ij} {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {k} + \ delta _ {ij} \ delta _ {kl}}

{\ displaystyle = \, {\ mathopen {:}} {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a} } _ {k} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} + {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} \, {\ hat {a}} _ { l} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ mathclose {:}} + {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ { j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ mathclose {:}} + {\ mathopen {:}} \, {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {k} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} + \, {\ mathopen {:}} {\ hat {a}} _ {i} ^ {\ bullet} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {k} ^ {\ bullet \ bullet} \, {\ hat {a}} _ {l} ^ {\ dagger \ bullet \ bullet} {\ mathclose {:}}}

В последней строке мы использовали разное количество символов для обозначения различных сокращений. Как видите, при многократном применении коммутационных соотношений требуется много работы, чтобы выразить в виде суммы обычно заказываемых продуктов. Для более сложных продуктов это еще более длительный расчет. ${\ displaystyle ^ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {i} \, {\ hat {a}} _ {j} ^ {\ dagger} \, {\ hat {a}} _ {k} \, {\ hat {а}} _ {l} ^ {\ dagger}}$

К счастью, теорема Вика дает короткий путь.

Формулировка теоремы

Продукт операторов созидания и уничтожения может быть выражен как ${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F} } \ ldots & = {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + \ sum _ {\ text {singles}} {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} ^ {\ bullet} {\ шляпа {B}} ^ {\ bullet} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + \ sum _ {\ text {doubles}} {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} ^ {\ bullet} {\ hat {B}} ^ {\ bullet \ bullet} {\ hat { C}} ^ {\ bullet \ bullet} {\ hat {D}} ^ {\ bullet} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + \ ldots \ end {выровнено}}}

Другими словами, строка операторов создания и уничтожения может быть переписана как нормально упорядоченное произведение строки плюс нормально упорядоченное произведение после всех одиночных сокращений среди пар операторов, плюс все двойные сокращения и т. Д., Плюс все полные сокращения. .

Применение теоремы к приведенным выше примерам обеспечивает гораздо более быстрый способ получения окончательных выражений.

Предупреждение : в терминах с правой стороны, содержащих множественные сокращения, следует соблюдать осторожность, когда операторы являются фермионными. В этом случае соответствующий знак минус должен быть введен согласно следующему правилу: переставьте операторы (вводя знаки минус всякий раз, когда меняются местами порядок двух фермионных операторов), чтобы гарантировать, что сокращенные члены являются смежными в строке. Затем можно применить сжатие (см. «Правило C» в статье Вика).

Пример:

Если у нас есть два фермиона ( ) с операторами рождения и уничтожения и ( ), то ${\ Displaystyle N = 2}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {i} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {i}}$ ${\ displaystyle i = 1,2}$

{\ displaystyle {\ begin {array} {ll} {\ hat {f}} _ {1} \, {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger} \, & = \, {\ mathopen {:}} {\ hat {f}} _ {1} \, {\ шляпа {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \\ & - \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger \ bullet} \, \, {\ mathopen {:}} {\ hat {f}} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} + \, {\ шляпа {f}} _ {1} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger \ bullet} \, \, {\ mathopen {:}} {\ hat {f }} _ {2} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} + \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger \ bullet} \, \, {\ mathopen {:}} {\ hat {f}} _ {1} \, {\ hat { f}} _ {2} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} - {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {2 } ^ {\ dagger \ bullet} \, \, {\ mathopen {:}} {\ hat {f}} _ {1} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger} \, {\ mathclose {:}} \\ & - {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ bullet \ bullet} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger \ bullet \ bullet } \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger \ bullet} \, + {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ bullet \ bullet} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ dagger \ bullet \ bullet} \, {\ hat {f}} _ {2} ^ {\ bullet} \, {\ hat {f}} _ {1} ^ {\ dagger \ bullet} \, \ end {множество}}}

Обратите внимание, что член со сжатиями двух операторов рождения и двух операторов уничтожения не включен, потому что их сжатия равны нулю.

Доказательство теоремы Вика

Мы используем индукцию для доказательства теоремы для операторов бозонного рождения и уничтожения. Базовый случай тривиален, потому что есть только один возможное сокращение: ${\ Displaystyle N = 2}$

{\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} = {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ mathclose {:}} + ({\ hat {A}} \, {\ hat {B}} \, - {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} \, {\ hat {B}} {\ mathclose {:}}) = { \ mathopen {:}} {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ mathclose {:}} + {\ hat {A}} ^ {\ bullet} {\ hat {B}} ^ {\ пуля}}

В общем, единственные ненулевые сокращения происходят между оператором уничтожения слева и оператором создания справа. Предположим, что теорема Вика верна для операторов , и рассмотрим эффект добавления N- го оператора слева от to form . По теореме Вика, примененной к операторам, мы имеем: ${\ displaystyle N-1}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$ ${\ displaystyle N-1}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F} } \ ldots & = {\ hat {A}} {\ mathopen {:}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + {\ hat {A}} \ sum _ {\ text {singles}} {\ mathopen {:}} {\ hat {B}} ^ {\ bullet} {\ hat {C}} ^ {\ bullet} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + {\ hat {A}} \ sum _ {\ text {doubles}} {\ mathopen {:}} {\ hat {B}} ^ {\ bullet} {\ hat {C}} ^ {\ bullet \ bullet} {\ hat {D}} ^ {\ bullet \ bullet} {\ hat {E}} ^ {\ bullet} {\ hat {F}} \ ldots {\ mathclose {:}} \\ & \ quad + {\ hat {A}} \ ldots \ end {align}}}

${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ является либо оператором создания, либо оператором уничтожения. Если является оператором создания, все указанные выше продукты, такие как , уже заказаны в обычном порядке и не требуют дополнительных манипуляций. Поскольку находится слева от всех операторов уничтожения в , любое сжатие, включающее его, будет равно нулю. Таким образом, мы можем складывать все вовлеченные сокращения в суммы, не меняя их значения. Следовательно, если - оператор созидания, теорема Вика верна для . ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ mathopen {:}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F }} \ ldots {\ mathclose {:}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$

Теперь предположим, что это оператор уничтожения. Чтобы перейти от левой части к правой части всех продуктов, мы неоднократно меняем местами оператор, расположенный непосредственно справа от него (назовем его ), каждый раз применяя для учета некоммутативности. Как только мы это сделаем, все сроки будут в обычном порядке. Все термины, добавленные к суммам при проталкивании продуктов, соответствуют включению дополнительных сокращений . Следовательно, если - оператор уничтожения, теорема Вика верна для . ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {X}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {X}} = {\ mathopen {:}} {\ hat {A}} {\ hat {X}} {\ mathclose {:}} + {\ hat {A}} ^ {\ bullet} {\ hat {X}} ^ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} {\ hat {C}} {\ hat {D}} {\ hat {E}} {\ hat {F}} \ ldots}$

Мы доказали базовый случай и шаг индукции, поэтому теорема верна. Вводя соответствующие знаки минус, доказательство можно распространить на фермионные операторы рождения и уничтожения. Теорема, примененная к полям, доказывается по существу так же.

Теорема Вика применительно к полям

Корреляционная функция, которая появляется в квантовой теории поля, может быть выражена сжатием полевых операторов:

{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} (x_ {1}, x_ {2}) = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2}) | 0 \ right \ rangle = \ langle 0 | {\ overline {\ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2})}} | 0 \ rangle = i \ Delta _ {F} (x_ {1} -x_ {2}) = i \ int {{\ frac {d ^ {4} k} {(2 \ pi) ^ {4}} } {\ frac {e ^ {- ik (x_ {1} -x_ {2})}} {(k ^ {2} -m ^ {2}) + i \ epsilon}}},}

где оператор - это количество, которое не уничтожает вакуумное состояние . Что означает это . Это означает, что сокращение закончилось . Обратите внимание, что сокращение упорядоченной по времени строки из двух операторов поля является c-числом. ${\ displaystyle {\ overline {\ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2})}}}$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ overline {AB}} = {\ mathcal {T}} AB - {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} AB {\ mathclose {:}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} AB}$

В итоге мы приходим к теореме Вика:

T-произведение упорядоченной по времени строки свободных полей можно выразить следующим образом:

{\ Displaystyle {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k = 1} ^ {m} \ phi (x_ {k}) = {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} + \ sum _ {\ alpha, \ beta} {\ overline {\ phi (x _ {\ alpha}) \ phi (x _ {\ beta})} } {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k \ not = \ alpha, \ beta} \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} +}

{\ displaystyle {\ mathcal {+}} \ sum _ {(\ alpha, \ beta), (\ gamma, \ delta)} {\ overline {\ phi (x _ {\ alpha}) \ phi (x _ {\ beta) })}} \; {\ overline {\ phi (x _ {\ gamma}) \ phi (x _ {\ delta})}} {\ mathopen {:}} {\ mathcal {T}} \ Pi _ {k \ not = \ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta} \ phi _ {i} (x_ {k}) {\ mathclose {:}} + \ ldots.}

Применяя эту теорему к элементам S-матрицы , мы обнаруживаем, что нормально упорядоченные члены, действующие на вакуумное состояние, дают нулевой вклад в сумму. Мы заключаем, что m четно и остаются только полностью сокращенные члены.

{\ displaystyle F_ {m} ^ {i} (x) = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ phi _ {i} (x_ {2 }) | 0 \ right \ rangle = \ sum _ {\ mathrm {pair}} {\ overline {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2})}} \ cdots {\ overline {\ phi ( x_ {m-1}) \ phi (x_ {m}}})}

{\ displaystyle G_ {p} ^ {(n)} = \ left \ langle 0 | {\ mathcal {T}} {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:} } \ dots {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {n}) {\ mathclose {:}} \ phi _ {i} (x_ {1}) \ cdots \ phi _ {i} (x_ { p}) | 0 \ right \ rangle}

где p - количество полей взаимодействия (или, что то же самое, количество взаимодействующих частиц), а n - порядок развития (или количество вершин взаимодействия). Например, если ${\ displaystyle v = gy ^ {4} \ Rightarrow {\ mathopen {:}} v_ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:}} = {\ mathopen {:}} \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) \ phi _ {i} (y_ {1}) {\ mathclose {:}}}$

Это аналогично соответствующая формуле вики в статистике для моментов одного гауссово распределения .

Обратите внимание, что это обсуждение проводится в терминах обычного определения нормального порядка, который подходит для значений математического ожидания (VEV) полей. (Теорема Вика предоставляет способ выражения VEV для n полей в терминах VEV для двух полей.) Существуют любые другие возможные определения нормального порядка, и теорема Вика верна независимо от этого. Однако теорема Вика упрощает вычисления только в том случае, если используемое определение нормального порядка изменяется, чтобы соответствовать типу желаемого математического ожидания. То есть мы всегда хотим, чтобы математическое ожидание обычного заказанного продукта было равно нулю. Например, в теории теплового поля другой тип математического ожидания, тепловой след по матрице плотности, требует другого определения нормального порядка .

Смотрите также

Теорема Иссерлиса

дальнейшее чтение

Пескин, МЭ ; Шредер, Д.В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Книги Персея. (§4.3)
Швебер, Сильван С. (1962). Введение в релятивистскую квантовую теорию поля . Нью-Йорк: Харпер и Роу. (Глава 13, Раздел c)

Languages

In other projects