Симметричное пространство - Symmetric space

В математике , А симметричное пространство представляет собой риманово многообразие (или более общо, псевдориманово многообразие ), группа симметрии содержит инверсионной симметрии относительно каждой точки. Это можно изучить с помощью инструментов римановой геометрии , что приведет к следствиям в теории голономии ; или алгебраически через теорию Ли , что позволило Картану дать полную классификацию. Симметричные пространства обычно встречаются в дифференциальной геометрии , теории представлений и гармоническом анализе .

С геометрической точки зрения полное односвязное риманово многообразие является симметричным пространством тогда и только тогда, когда его тензор кривизны инвариантен относительно параллельного переноса. В более общем смысле, риманово многообразие ( M , g ) называется симметричным тогда и только тогда, когда для каждой точки p из M существует изометрия M, фиксирующая p и действующая на касательное пространство как минус тождество (каждое симметрическое пространство является полным , так как любую геодезическую можно бесконечно продолжить с помощью симметрий относительно концов). Оба описания естественным образом могут быть расширены и на псевдоримановы многообразия . ${\ displaystyle T_ {p} M}$

С точки зрения теории Ли, симметрическое пространство - это фактор-фактор G / H связной группы Ли G по подгруппе Ли H, которая является (связной компонентой) инвариантной группы инволюции группы G. Это определение включает в себя больше чем риманово определение, и сводится к нему, когда H компактно.

Римановы симметрические пространства возникают в самых разных ситуациях как в математике, так и в физике. Их центральную роль в теории голономии открыл Марсель Бергер . Они являются важными объектами изучения в теории представлений и гармоническом анализе, а также в дифференциальной геометрии.

Геометрическое определение

Пусть M связное риманово многообразие и р точка М . Диффеоморфизм f окрестности точки p называется геодезической симметрией, если он фиксирует точку p и меняет геодезические через эту точку, т. Е. Если γ - геодезическая с, то Отсюда следует, что производная отображения f в точке p равна минус тождественное отображение на касательном пространстве от р . На общем риманове многообразия, е не нужно изометрический, и не может быть расширена, в общем, из окрестностей р на все М . ${\ displaystyle \ gamma (0) = p}$ ${\ Displaystyle е (\ гамма (t)) = \ гамма (-t).}$

M называется локально римановым симметричным, если его геодезические симметрии фактически изометричны. Это равносильно обращению в нуль ковариантной производной тензора кривизны. Локально симметричное пространство называется (глобально) симметричное пространство , если в дополнении его геодезические симметрии могут быть расширены до изометрии на всех М .

Основные свойства

Из теоремы Картана – Амброуза – Хикса следует, что M является локально римановым симметричным тогда и только тогда, когда его тензор кривизны ковариантно постоянен , и, кроме того, каждое односвязное , полное локально риманово симметрическое пространство на самом деле является римановым симметричным.

Каждое риманово симметрическое пространство M полно и риманово однородно (это означает, что группа изометрий M действует на M транзитивно ). Фактически, уже составляющая единицы группы изометрий действует на M транзитивно (поскольку M связно).

Локально римановы симметрические пространства, которые не являются римановыми симметричными, могут быть построены как факторпространства римановых симметрических пространств по дискретным группам изометрий без неподвижных точек и как открытые подмножества (локально) римановых симметрических пространств.

Примеры

Основными примерами римановых симметрических пространств являются евклидово пространство , сферы , проективные пространства и гиперболические пространства , каждое со своими стандартными римановыми метриками. Еще больше примеров дают компактные полупростые группы Ли, снабженные биинвариантной римановой метрикой.

Всякая компактная риманова поверхность рода больше 1 (с ее обычной метрикой постоянной кривизны −1) является локально симметричным пространством, но не симметричным пространством.

Любое пространство линз локально симметрично, но не симметрично, за исключением симметричного. Линзовые пространства являются факторами 3-сферы по дискретной изометрии, не имеющей неподвижных точек. ${\ Displaystyle L (2,1)}$

Примером нериманова симметрического пространства является пространство анти-де Ситтера .

Алгебраическое определение

Пусть G - связная группа Ли . Тогда симметричное пространство для G - это однородное пространство G / H, где стабилизатор H типичной точки является открытой подгруппой множества неподвижных точек инволюции σ в Aut ( G ). Таким образом, σ - автоморфизм группы G с σ ² = id _G, а H - открытая подгруппа инвариантного множества

{\ Displaystyle G ^ {\ sigma} = \ {g \ in G: \ sigma (g) = g \}.}

Поскольку H открыто, это объединение компонентов G ^σ (включая, конечно, компонент идентичности).

Как автоморфизм группы G , σ фиксирует единичный элемент и, следовательно, дифференцируя в единице, индуцирует автоморфизм алгебры Ли группы G , также обозначаемый σ , квадрат которого является единицей. Отсюда следует, что собственные значения σ равны ± 1. Собственное подпространство +1 - это алгебра Ли группы H (поскольку это алгебра Ли группы G ^σ ), и мы будем обозначать собственное подпространство −1 . Поскольку σ является автоморфизмом , это дает разложение в прямую сумму ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {m}}}

с участием

{\ displaystyle [{\ mathfrak {h}}, {\ mathfrak {h}}] \ subset {\ mathfrak {h}}, \; [{\ mathfrak {h}}, {\ mathfrak {m}}] \ подмножество {\ mathfrak {m}}, \; [{\ mathfrak {m}}, {\ mathfrak {m}}] \ subset {\ mathfrak {h}}.}

Первое условие является автоматическим для любого однородного пространства: оно просто говорит, что бесконечно малый стабилизатор является подалгеброй Ли в . Второе условие означает, что это -инвариантное дополнение к in . Таким образом, любое симметричное пространство является редуктивным однородным пространством , но существует множество редуктивных однородных пространств, которые не являются симметричными пространствами. Ключевой особенностью симметричных пространств является третье условие, входящее в квадратные скобки . ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

Наоборот, для любой алгебры Ли с разложением в прямую сумму, удовлетворяющей этим трем условиям, линейное отображение σ , равное тождеству на и минус тождество на , является инволютивным автоморфизмом. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

Римановы симметрические пространства удовлетворяют теоретико-лиевой характеризации

Если M - риманово симметрическое пространство, то компонента единицы G группы изометрий M является группой Ли, транзитивно действующей на M (то есть M является риманово однородным). Следовательно, если мы зафиксируем некоторую точку p на M , то M диффеоморфно факторпространству G / K , где K обозначает группу изотропии действия G на M в p . Дифференцируя действие при р мы получаем изометрическое действие К на Т _р М . Это действие точное (например, по теореме Костанта, любая изометрия в компоненте единицы определяется ее 1-струей в любой точке), и поэтому K является подгруппой ортогональной группы T _p M , следовательно, компактной. Более того, если обозначить через s _p : M → M геодезическую симметрию M в точке p , отображение

{\ displaystyle \ sigma: G \ to G, h \ mapsto s_ {p} \ circ h \ circ s_ {p}}

является инволютивным автоморфизмом группы Ли, такой что группа изотропии K содержится между группой неподвижной точки и ее тождественной компонентой (следовательно, открытая подгруппа), см. определение и следующее предложение на стр. 209, глава IV, раздел 3 в Дифференциальной геометрии Хельгасона, Ли Группы и симметричные пространства для получения дополнительной информации. ${\ Displaystyle G ^ {\ sigma}}$ ${\ Displaystyle (G ^ {\ sigma}) _ {о} \ ,,}$

Подводя итог, М представляет собой симметричное пространство G / K с компактной группой изотропии K . И наоборот, симметрические пространства с компактной группой изотропии являются римановыми симметрическими пространствами, хотя и не обязательно уникальным образом. Чтобы получить структуру риманова симметрического пространства, нам нужно зафиксировать K -инвариантное скалярное произведение на касательном пространстве к G / K в единичном смежном классе eK : такое скалярное произведение всегда существует путем усреднения, поскольку K компактно, и действуя с G мы получаем G - инвариантная риманова метрика г на G / K .

Чтобы показать, что G / K является римановой симметричной, рассмотрим любую точку p = hK (смежный класс K , где h ∈ G ) и определим

{\ displaystyle s_ {p}: M \ to M, \ quad h'K \ mapsto h \ sigma (h ^ {- 1} h ') K}

где σ является инволюции G фиксации K . Тогда можно проверить , что ы _р является изометрией с (ясно) с _р ( р ) = р и (по дифференциации) D сек _р равен минус тождественно на Т _р М . Таким образом, s _p - геодезическая симметрия, и, поскольку p было произвольным, M - риманово симметрическое пространство.

Если начать с риманова симметрического пространства M , а затем выполнить эти два построения последовательно, то полученное риманово симметрическое пространство изометрично исходному. Это показывает , что «алгебраические данные» ( G , K , σ , г ) полностью описывают структуру М .

Классификация римановых симметрических пространств

Алгебраическое описание римановых симметрических пространств позволило Эли Картану получить их полную классификацию в 1926 году.

Для данного риманова симметрического пространства M пусть ( G , K , σ , g ) - связанные с ним алгебраические данные. Чтобы классифицировать возможные классы изометрий M , сначала отметим, что универсальное покрытие риманова симметрического пространства снова является римановым симметричным, а отображение покрытия описывается делением связной группы изометрий G покрытия на подгруппу ее центра. Поэтому без ограничения общности можно предполагать, что M односвязно. (Отсюда следует, что K связано длинной точной последовательностью расслоения , поскольку G связана по предположению.)

Схема классификации

Односвязное риманово симметрическое пространство называется неприводимым, если оно не является произведением двух или более римановых симметрических пространств. Затем можно показать, что любое односвязное риманово симметрическое пространство является римановым произведением неприводимых пространств. Поэтому мы можем далее ограничиться классификацией неприводимых односвязных римановых симметрических пространств.

Следующий шаг - показать, что любое неприводимое односвязное риманово симметрическое пространство M относится к одному из следующих трех типов:

1. Евклидов тип : M имеет исчезающую кривизну и, следовательно, изометрично евклидову пространству .

2. Компактный тип : М имеет неотрицательную (но не тождественно нулевую) секционную кривизну .

3. Некомпактный тип : M имеет неположительную (но не тождественно нулевую) секционную кривизну.

Более тонкий инвариант - это ранг , который является максимальной размерностью подпространства касательного пространства (к любой точке), на котором кривизна тождественно равна нулю. Ранг всегда равен, по крайней мере, единице, с равенством, если кривизна секции положительна или отрицательна. При положительной кривизне пространство компактного типа, при отрицательной - некомпактного. Пространства евклидова типа имеют ранг, равный их размерности, и изометричны евклидову пространству этой размерности. Поэтому остается классифицировать неприводимые односвязные римановы симметрические пространства компактного и некомпактного типа. В обоих случаях есть два класса.

A. G - (действительная) простая группа Ли;

B. G является либо произведением компактной простой группы Ли на себя (компактный тип), либо комплексификацией такой группы Ли (некомпактный тип).

Примеры в классе B полностью описываются классификацией простых групп Ли . Для компактного типа M - компактная односвязная простая группа Ли, G - это M × M, а K - диагональная подгруппа. Для некомпактного типа G - односвязная комплексная простая группа Ли, а K - ее максимальная компактная подгруппа. В обоих случаях ранг является ранг G .

Компактные односвязные группы Ли являются универсальными обложки классических групп Ли , , и пять исключительных групп Ли Е ₆ , Е ₇ , Е ₈ , F ₄ , G ₂ . ${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (п)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (п)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (п)}$

Примеры класса A полностью описываются классификацией некомпактных односвязных вещественных простых групп Ли. Для некомпактного типа G - такая группа, а K - ее максимальная компактная подгруппа. Каждый из таких примеров имеют соответствующий пример компактного типа, рассматривая максимальную компактную подгруппу комплексификации G , который содержит K . Более конкретно, примеры компактного типа классифицируются инволютивными автоморфизмами компактных односвязных простых групп Ли G (с точностью до сопряжения). Такие инволюции распространяются инволюции комплексификацию G , и эти , в свою очередь Классифицировать некомпактные вещественные формы G .

Таким образом, как в классе A, так и в классе B существует соответствие между симметрическими пространствами компактного типа и некомпактного типа. Это известно как двойственность для римановых симметрических пространств.

Результат классификации

Специализируясь на римановых симметрических пространств класса А и компактного типа, Картана обнаружили , что существуют следующие семь бесконечных серий и двенадцать исключительных симметрические пространства G / K . Здесь они даны в терминах G и K вместе с геометрической интерпретацией, если таковая имеется. Маркировка этих пространств дана Картаном.

Этикетка	грамм	K	Измерение	Классифицировать	Геометрическая интерпретация
AI	${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (п) \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (п) \,}$	${\ Displaystyle (п-1) (п + 2) / 2}$	${\ displaystyle n-1}$	Пространство реальных структур, на которых комплексный детерминант остается неизменным ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$
AII	${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (2n) \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (п) \,}$	${\ Displaystyle (п-1) (2n + 1)}$	${\ displaystyle n-1}$	Пространство кватернионных структур на согласованной с эрмитовой метрикой ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2n}}$
AIII	${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (п + д) \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {S} (\ mathrm {U} (p) \ times \ mathrm {U} (q)) \,}$	${\ displaystyle 2pq}$	${\ Displaystyle \ мин (п, д)}$	Грассманиан комплексных p -мерных подпространств ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {p + q}}$
BDI	${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (п + д) \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (p) \ times \ mathrm {SO} (q) \,}$	${\ displaystyle pq}$	${\ Displaystyle \ мин (п, д)}$	Грассманиан ориентированных вещественных p -мерных подпространств ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p + q}}$
DIII	${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (2n) \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {U} (п) \,}$	${\ Displaystyle п (п-1)}$	${\ Displaystyle [п / 2]}$	Пространство ортогональных сложных структур на ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$
CI	${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (п) \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {U} (п) \,}$	${\ Displaystyle п (п + 1)}$	${\ displaystyle n}$	Пространство сложных конструкций на совместимых с внутренним продуктом ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$
CII	${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (п + д) \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (p) \ times \ mathrm {Sp} (q) \,}$	${\ displaystyle 4pq}$	${\ Displaystyle \ мин (п, д)}$	Грассманиан кватернионных p -мерных подпространств ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {p + q}}$
EI	${\ displaystyle E_ {6} \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (4) / \ {\ pm I \} \,}$	42	6
EII	${\ displaystyle E_ {6} \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (6) \ cdot \ mathrm {SU} (2) \,}$	40	4	Пространство симметричных подпространств изометрического ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {O}) P ^ {2}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {H}) P ^ {2}}$
EIII	${\ displaystyle E_ {6} \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (10) \ cdot \ mathrm {SO} (2) \,}$	32	2	Комплексифицированная проективная плоскость Кэли ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {O}) P ^ {2}}$
EIV	${\ displaystyle E_ {6} \,}$	${\ Displaystyle F_ {4} \,}$	26 год	2	Пространство симметричных подпространств изометрического ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {O}) P ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {OP} ^ {2}}$
Электромобиль	${\ displaystyle E_ {7} \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (8) / \ {\ pm I \} \,}$	70	7
EVI	${\ displaystyle E_ {7} \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (12) \ cdot \ mathrm {SU} (2) \,}$	64	4	Проективная плоскость Розенфельда над ${\ displaystyle (\ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {O}) P ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {O}}$
EVII	${\ displaystyle E_ {7} \,}$	${\ Displaystyle E_ {6} \ cdot \ mathrm {SO} (2) \,}$	54	3	Пространство симметричных подпространств, изоморфных ${\ displaystyle (\ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {O}) P ^ {2}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {O}) P ^ {2}}$
EVIII	${\ displaystyle E_ {8} \,}$	${\ displaystyle \ mathrm {Spin} (16) / \ {\ pm \ mathrm {vol} \} \,}$	128	8	Проективная плоскость Розенфельда ${\ Displaystyle (\ mathbb {O} \ otimes \ mathbb {O}) P ^ {2}}$
EIX	${\ displaystyle E_ {8} \,}$	${\ Displaystyle E_ {7} \ cdot \ mathrm {SU} (2) \,}$	112	4	Пространство симметричных подпространств, изоморфных ${\ Displaystyle (\ mathbb {O} \ otimes \ mathbb {O}) P ^ {2}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {H} \ otimes \ mathbb {O}) P ^ {2}}$
FI	${\ Displaystyle F_ {4} \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {Sp} (3) \ cdot \ mathrm {SU} (2) \,}$	28 год	4	Пространство симметричных подпространств, изоморфных ${\ displaystyle \ mathbb {O} P ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} P ^ {2}}$
FII	${\ Displaystyle F_ {4} \,}$	${\ displaystyle \ mathrm {Spin} (9) \,}$	16	1	Проективная плоскость Кэли ${\ displaystyle \ mathbb {O} P ^ {2}}$
грамм	${\ Displaystyle G_ {2} \,}$	${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (4) \,}$	8	2	Пространство подалгебр алгебры октонионов , изоморфных алгебре кватернионов ${\ Displaystyle \ mathbb {O}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Как грассманианцы

Более современная классификация ( Huang & Leung 2011 ) равномерно классифицирует римановы симметрические пространства, как компактные, так и некомпактные, с помощью конструкции магического квадрата Фрейденталя . Неприводимые компактные симметрические пространства, вплоть до конечных покрытий, либо компактная группа Ли просто, грассмановом, A Лагранжев грассманиан , или двойным Лагранжев грассманиан подпространств для нормированного деления алгебры A и B . Аналогичная конструкция дает неприводимые некомпактные римановы симметрические пространства. ${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) ^ {n},}$

Общие симметрические пространства

Важным классом симметрических пространств, обобщающих римановы симметрические пространства, являются псевдоримановы симметрические пространства , в которых риманова метрика заменена псевдоримановой метрикой (невырожденной вместо положительно определенной на каждом касательном пространстве). В частности, лоренцевских симметричных пространств , т.е., п мерных псевдоримановых симметрических пространств сигнатуры ( п - 1,1), играют важную роль в общей теории относительности , наиболее заметные примеры того пространства Минковского , Де Ситтера и анти-де Ситтера ( с нулевой, положительной и отрицательной кривизной соответственно). Пространство Де Ситтера размерности n можно отождествить с однополостным гиперболоидом в пространстве Минковского размерности n + 1.

Симметричные и локально симметричные пространства в общем случае можно рассматривать как аффинные симметрические пространства. Если М = G / H является симметричным пространством, то Номидзу показал , что существует G -инвариантным кручение аффинная связность (т.е. аффинная связность которого тензор кручение равна нуль) на М , чьи кривизна является параллельным . Наоборот, многообразие с такой связностью локально симметрично (т. Е. Его универсальное покрытие является симметричным пространством). Такие многообразия также можно описать как те аффинные многообразия, геодезические симметрии которых являются глобально определенными аффинными диффеоморфизмами, обобщая риманов и псевдориманов случай.

Результаты классификации

Классификацию римановых симметрических пространств нелегко распространить на общий случай по той простой причине, что не существует общего расщепления симметрического пространства на произведение неприводимых. Здесь симметрическое пространство G / H с алгеброй Ли

{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {m}}}

называется неприводимым , если это неприводимым представлением о . Поскольку он не является полупростым (или даже редуктивным) в целом, он может иметь неразложимые представления, которые не являются неприводимыми. ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

Однако неприводимые симметрические пространства можно классифицировать. Как показал Кацуми Номидзу , существует дихотомия: неприводимое симметрическое пространство G / H либо плоское (т. Е. Аффинное пространство), либо полупросто. Это аналог римановой дихотомии между евклидовыми пространствами и пространствами компактного или некомпактного типа, и он побудил М. Бергера классифицировать полупростые симметрические пространства (т. Е. Полупростые) и определить, какие из них неприводимы. Последний вопрос более тонкий, чем в римановом случае: даже если он прост, G / H не может быть неприводимым. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Как и в случае риманова есть полупростые симметрические пространства с G = H × H . Любое полупростое симметрическое пространство является произведением симметрических пространств этой формы с симметрическими пространствами, такими, что это просто. Осталось описать последний случай. Для этого нужно классифицировать инволюции σ (вещественной) простой алгебры Ли . Если не просто, то является сложной простой алгеброй Ли, и соответствующие симметрические пространства имеют вид G / H , где H - вещественная форма G : это аналоги римановых симметрических пространств G / K с G комплексом простая группа Ли и K максимальная компактная подгруппа. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Таким образом, мы можем предположить, что это просто. Реальная подалгебру можно рассматривать как множество неподвижных точек комплексной антилинейный инволюции т из , в то время как сг продолжается до сложной антилинейной инволюции коммутирующего с т и , следовательно , также комплексной линейной инволюцией сг ∘ т . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {c}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {c}}$

Таким образом, классификация сводится к классификации коммутирующих пар антилинейных инволюций комплексной алгебры Ли. Композиция σ ∘ τ определяет комплексное симметричное пространство, а τ определяет вещественную форму. Отсюда легко построить таблицы симметрических пространств для любого заданного , и, более того, существует очевидная двойственность, которую дает перестановка σ и τ . Это расширяет двойственность компактный / некомпактный из риманова случая, когда либо σ, либо τ - инволюция Картана , т. Е. Ее множество неподвижных точек является максимальной компактной подалгеброй. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {c}}$

Столы

Следующая таблица индексирует вещественные симметрические пространства по комплексным симметрическим пространствам и вещественным формам для каждой классической и исключительной сложной простой группы Ли.

G ^c = SL ( n , C )	G ^c / SO ( n , C )	G ^c / S (GL ( k , C ) × GL ( ℓ , C )), k + ℓ = n	G ^c / Sp ( n , C ), n четный
G = SL ( n , R )	G / SO ( k , l )	G / S (GL ( k , R ) × GL ( l , R )) или G / GL ( n / 2, C ), n даже	G / Sp ( n , R ), n четное
G = SU ( p , q ), p + q = n	G / SO ( p , q ) или SU ( p , p ) / Sk ( p , H )	G / S (U ( k _p , k _q ) × U ( l _p , l _q )) или SU ( p , p ) / GL ( p , C )	G / Sp ( p / 2, q / 2), p , q четное или SU ( p , p ) / Sp (2 p , R )
G = SL ( n / 2, H ), n четное	G / Sk ( n / 2, H )	G / S (GL ( k / 2, H ) × GL ( ℓ / 2, H )), k , ℓ четное или G / GL ( n / 2, C )	G / Sp ( k / 2, ℓ / 2), k , ℓ четное, k + ℓ = n

G ^c = SO ( n , C )	G ^c / SO ( k , C ) × SO ( ℓ , C ), k + ℓ = n	G ^c / GL ( n / 2, C ), n четное
G = SO ( p , q )	G / SO ( k _p , k _q ) × SO ( ℓ _p , l _q ) или SO ( n , n ) / SO ( n , C )	G / U ( p / 2, q / 2), p , q даже или SO ( n , n ) / GL ( n , R )
G = Sk ( n / 2, H ), n четное	G / Sk ( k / 2, ℓ / 2), k , ℓ четное или G / SO ( n / 2, C )	G / U ( k / 2, ℓ / 2), k , ℓ даже или G / SL ( n / 4, H )

G ^c = Sp (2 n , C )	G ^c / Sp (2 k , C ) × Sp (2 ℓ , C ), k + ℓ = n	G ^c / GL ( n , C )
G = Sp ( p , q ), p + q = n	G / Sp ( k _p , k _q ) × Sp ( ℓ _p , ℓ _q ) или Sp ( n , n ) / Sp ( n , C )	G / U ( p , q ) или Sp ( p , p ) / GL ( p , H )
G = Sp (2 n , R )	G / Sp (2 k , R ) × Sp (2 l , R ) или G / Sp ( n , C )	G / U ( k , ℓ ), k + ℓ = n или G / GL ( n , R )

Для исключительных простых групп Ли риманов случай включен явно ниже, позволяя σ быть тождественной инволюцией (обозначенной тире). В приведенных выше таблицах это неявно покрывается случаем kl = 0.

G ₂^c	-	G ₂^c / SL (2, C ) × SL (2, C )
G ₂	-	G ₂ / СУ (2) × СУ (2)
G _{2 (2)}	G _{2 (2)} / СУ (2) × СУ (2)	G _{2 (2)} / SL (2, R ) × SL (2, R )

F ₄^c	-	F ₄^c / Sp (6, C ) × Sp (2, C )	F ₄^c / SO (9, С )
П ₄	-	F ₄ / Sp (3) × Sp (1)	F ₄ / SO (9)
Ж _{4 (4)}	F _{4 (4)} / Sp (3) × Sp (1)	F _{4 (4)} / Sp (6, R ) × Sp (2, R ) или F _{4 (4)} / Sp (2,1) × Sp (1)	F _{4 (4)} / SO (5,4)
F _{4 (-20)}	F _{4 (−20)} / SO (9)	F _{4 (−20)} / Sp (2,1) × Sp (1)	F _{4 (−20)} / SO (8,1)

E ₆^c	-	E ₆^c / Sp (8, C )	E ₆^c / SL (6, C ) × SL (2, C )	E ₆^c / SO (10, C ) × SO (2, C )	E ₆^c / F ₄^c
E ₆	-	E ₆ / Sp (4)	E ₆ / SU (6) × SU (2)	E ₆ / SO (10) × SO (2)	E ₆ / F ₄
E _{6 (6)}	E _{6 (6)} / Sp (4)	E _{6 (6)} / Sp (2,2) или E _{6 (6)} / Sp (8, R )	E _{6 (6)} / SL (6, R ) × SL (2, R ) или E _{6 (6)} / SL (3, H ) × SU (2)	E _{6 (6)} / SO (5,5) × SO (1,1)	E _{6 (6)} / F _{4 (4)}
E _{6 (2)}	Е _{6 (2)} / СУ (6) × СУ (2)	E _{6 (2)} / Sp (3,1) или E _{6 (2)} / Sp (8, R )	E _{6 (2)} / SU (4,2) × SU (2) или E _{6 (2)} / SU (3,3) × SL (2, R )	E _{6 (2)} / SO (6,4) × SO (2) или E _{6 (2)} / Sk (5, H ) × SO (2)	E _{6 (2)} / F _{4 (4)}
E _{6 (−14)}	E _{6 (−14)} / SO (10) × SO (2)	E _{6 (−14)} / Sp (2,2)	E _{6 (−14)} / SU (4,2) × SU (2) или E _{6 (−14)} / SU (5,1) × SL (2, R )	E _{6 (−14)} / SO (8,2) × SO (2) или Sk (5, H ) × SO (2)	E _{6 (−14)} / F _{4 (−20)}
E _{6 (−26)}	E _{6 (−26)} / F ₄	E _{6 (−26)} / Sp (3,1)	E _{6 (−26)} / SL (3, H ) × Sp (1)	E _{6 (−26)} / SO (9,1) × SO (1,1)	E _{6 (−26)} / F _{4 (−20)}

E ₇^c	-	E ₇^c / SL (8, C )	E ₇^c / SO (12, C ) × Sp (2, C )	E ₇^c / E ₆^c × SO (2, C )
E ₇	-	E ₇ / SU (8)	E ₇ / SO (12) × Sp (1)	E ₇ / E ₆ × SO (2)
E _{7 (7)}	E _{7 (7)} / SU (8)	E _{7 (7)} / SU (4,4) или E _{7 (7)} / SL (8, R ) или E _{7 (7)} / SL (4, H )	E _{7 (7)} / SO (6,6) × SL (2, R ) или E _{7 (7)} / Sk (6, H ) × Sp (1)	E _{7 (7)} / E _{6 (6)} × SO (1,1) или E _{7 (7)} / E _{6 (2)} × SO (2)
E _{7 (−5)}	E _{7 (−5)} / SO (12) × Sp (1)	E _{7 (−5)} / SU (4,4) или E _{7 (−5)} / SU (6,2)	E _{7 (−5)} / SO (8,4) × SU (2) или E _{7 (−5)} / Sk (6, H ) × SL (2, R )	E _{7 (−5)} / E _{6 (2)} × SO (2) или E _{7 (−5)} / E _{6 (−14)} × SO (2)
E _{7 (−25)}	E _{7 (−25)} / E ₆ × SO (2)	E _{7 (−25)} / SL (4, H ) или E _{7 (−25)} / SU (6,2)	E _{7 (−25)} / SO (10,2) × SL (2, R ) или E _{7 (−25)} / Sk (6, H ) × Sp (1)	E _{7 (−25)} / E _{6 (−14)} × SO (2) или E _{7 (−25)} / E _{6 (−26)} × SO (1,1)

E ₈^c	-	E ₈^c / SO (16, С )	E ₈^c / E ₇^c × Sp (2, C )
E ₈	-	E ₈ / SO (16)	E ₈ / E ₇ × Sp (1)
E _{8 (8)}	E _{8 (8)} / SO (16)	E _{8 (8)} / SO (8,8) или E _{8 (8)} / Sk (8, H )	E _{8 (8)} / E _{7 (7)} × SL (2, R ) или E _{8 (8)} / E _{7 (−5)} × SU (2)
E _{8 (−24)}	E _{8 (−24)} / E ₇ × Sp (1)	E _{8 (−24)} / SO (12,4) или E _{8 (−24)} / Sk (8, H )	E _{8 (−24)} / E _{7 (−5)} × SU (2) или E _{8 (−24)} / E _{7 (−25)} × SL (2, R )

Слабо симметрические римановы пространства

В 1950-х Атле Сельберг расширил определение симметрического пространства Картаном до определения слабо симметричного риманова пространства , или, в современной терминологии, слабо симметричного пространства . Они определены как римановы многообразия M с транзитивной связной группой Ли изометрий G и изометрией σ, нормализующей G, такой, что для заданных x , y в M существует изометрия s в G такая, что sx = σ y и sy = σ x . (Предположение Сельберга , что а ² должен быть элементом G позднее было показано, что ненужным Винберг .) Сельберг доказал , что слабо симметрические пространства порождают Гельфанд пар , так что , в частности , в единичном представлении из G на L ² ( M ) свободна от множественности.

Определение Сельберга также можно сформулировать эквивалентно в терминах обобщения геодезической симметрии. Требуется, чтобы для каждой точки x из M и касательного вектора X в x существовала изометрия s множества M , зависящая от x и X , такая, что

s исправляет x ;
производная s в точке x переводит X в -X .

Когда s не зависит от X , M - симметричное пространство.

Изложение слабо симметрических пространств и их классификация Ахиезером и Винбергом, основанная на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли , дана в Wolf (2007) .

Характеристики

Можно отметить некоторые свойства и формы симметричных пространств.

Поднятие метрического тензора

Метрический тензор на риманов многообразия можно поднять до скалярного произведения на его комбинации с формой Киллинга . Это делается путем определения ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle \ langle X, Y \ rangle _ {\ mathfrak {g}} = {\ begin {cases} \ langle X, Y \ rangle _ {p} \ quad & X, Y \ in T_ {p} M \ cong {\ mathfrak {m}} \\ - B (X, Y) \ quad & X, Y \ in {\ mathfrak {h}} \\ 0 & {\ mbox {иначе}} \ end {case}}}

Здесь - риманова метрика, определенная на , - форма Киллинга . Знак минус появляется потому, что форма убийства отрицательно-определенная, а делает положительно-определенную. ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {p}}$ ${\ displaystyle T_ {p} M}$ ${\ Displaystyle В (X, Y) = \ OperatorName {след} (\ OperatorName {ad} X \ circ \ OperatorName {ad} Y)}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} ~;}$ ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {\ mathfrak {g}}}$

Факторизация

Касательное пространство может быть далее разложено на собственные подпространства, классифицируемые с помощью формы Киллинга. Это достигается путем определения присоединенной карты взятия как ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} \ to {\ mathfrak {m}}}$ ${\ Displaystyle Y \ mapsto Y ^ {\ #}}$

{\ Displaystyle \ langle X, Y ^ {\ #} \ rangle = B (X, Y)}

где это риманова метрика на и является формой убийства. Это отображение иногда называют обобщенным транспонированием , поскольку оно соответствует транспонированию для ортогональных групп и эрмитово сопряженному для унитарных групп. Это линейный функционал, и он самосопряжен, и поэтому один приходит к выводу , что существует ортонормированный базис из с ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ Displaystyle В (\ cdot, \ cdot)}$ ${\ Displaystyle Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

{\ displaystyle Y_ {i} ^ {\ #} = \ lambda _ {i} Y_ {i}}

Они ортогональны относительно метрики в том смысле, что

{\ displaystyle \ langle Y_ {i} ^ {\ #}, Y_ {j} \ rangle = \ lambda _ {i} \ langle Y_ {i}, Y_ {j} \ rangle = B (Y_ {i}, Y_ {j}) = \ langle Y_ {j} ^ {\ #}, Y_ {i} \ rangle = \ lambda _ {j} \ langle Y_ {j}, Y_ {i} \ rangle}

так как форма Киллинга симметрична. Это разлагается на собственные пространства ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

{\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = {\ mathfrak {m}} _ {1} \ oplus \ cdots \ oplus {\ mathfrak {m}} _ {d}}

с участием

{\ displaystyle [{\ mathfrak {m}} _ {i}, {\ mathfrak {m}} _ {j}] = 0}

для . Для полупростого случая , когда форма Киллинга невырождена, метрика также факторизуется: ${\ displaystyle i \ neq j}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle = {\ frac {1} {\ lambda _ {1}}} \ left.B \ right | _ {{\ mathfrak {m}} _ {1}} + \ cdots + {\ frac {1} {\ lambda _ {d}}} \ left.B \ right | _ {{\ mathfrak {m}} _ {d}}}

В некоторых практических приложениях эту факторизацию можно интерпретировать как спектр операторов, например спектр атома водорода, с собственными значениями формы Киллинга, соответствующими различным значениям углового момента орбитали ( т.е. форма Киллинга является формой Казимира оператор, который может классифицировать различные представления, в которых преобразуются разные орбитали.)

Классификация симметричных пространств основывается на том, является ли форма Киллинга положительно / отрицательно определенной.

Приложения и особые случаи

Симметричные пространства и голономия

Если компонента единицы группы голономии риманова многообразия в точке действует неприводимо на касательном пространстве, то либо многообразие является локально римановым симметрическим пространством, либо принадлежит к одному из семи семейств .

Эрмитовы симметрические пространства

Риманово симметрическое пространство, которое дополнительно оснащено параллельной комплексной структурой, совместимой с римановой метрикой, называется эрмитовым симметрическим пространством . Некоторыми примерами являются комплексные векторные пространства и комплексные проективные пространства, как с их обычной римановой метрикой, так и комплексные единичные шары с подходящей метрикой, так что они становятся полными и римановыми симметричными.

Неприводимое симметрическое пространство G / K эрмитово тогда и только тогда, когда K содержит центральную окружность. Четверть оборота этой окружности действует как умножение на i в касательном пространстве в единичном смежном классе. Таким образом, эрмитовы симметрические пространства легко считываются из классификации. Как в компактном, так и в некомпактном случаях оказывается, что существует четыре бесконечных ряда, а именно AIII, BDI с p = 2 , DIII и CI, и два исключительных пространства, а именно EIII и EVII. Некомпактные эрмитовы симметрические пространства могут быть реализованы как ограниченные симметрические области в комплексных векторных пространствах.

Кватернион-кэлерово симметрические пространства

Риманово симметрическое пространство, которое дополнительно снабжено параллельным подрасслоением End (T M ), изоморфным мнимым кватернионам в каждой точке и совместимым с римановой метрикой, называется кватернионно-кэлеровым симметрическим пространством .

Неприводимое симметрическое пространство G / K является кватернионно-кэлеровым тогда и только тогда, когда изотропное представление K содержит слагаемое Sp (1), действующее как единичные кватернионы на кватернионном векторном пространстве . Таким образом, кватернионно-кэлеровы симметрические пространства легко считываются из классификации. И в компактном, и в некомпактном случаях оказывается, что существует ровно одна для каждой сложной простой группы Ли, а именно AI с p = 2 или q = 2 (они изоморфны), BDI с p = 4 или q = 4 , CII с p = 1 или q = 1, EII, EVI, EIX, FI и G.

Теорема периодичности Ботта

В теореме периодичности Ботт , в пространство петель стабильной ортогональной группы можно интерпретировать как редуктивные симметричные пространства.

Languages

In other projects