Тетраэдрическое число - Tetrahedral number
Тетраэдрическое число , или треугольное пирамидальное число , это число фигурного , что представляет собой пирамиду с треугольным основанием и с трех сторон, называется тетраэдром . П е четырехгранного числа, Те п , является суммой первых п треугольных чисел , то есть,
Тетраэдрические числа:
Формула
Формула для п - го числа тетраэдрического представлена 3 - го роста факториала из п делится на факториале 3:
Тетраэдрические числа также можно представить в виде биномиальных коэффициентов :
Следовательно, тетраэдрические числа можно найти в четвертой позиции слева или справа в треугольнике Паскаля .
Доказательства формулы
В этом доказательстве используется тот факт, что n- е треугольное число задается формулой
Это происходит по индукции .
- Базовый вариант
- Индуктивный шаг
Формула также может быть доказана алгоритмом Госпера .
Геометрическая интерпретация
Тетраэдрические числа можно моделировать, складывая сферы. Например, пятое тетраэдрическое число ( Te 5 = 35 ) можно смоделировать с помощью 35 бильярдных шаров и стандартной треугольной рамки для бильярдного шара, которая удерживает 15 шаров на месте. Затем поверх них складываются еще 10 шаров, затем еще 6, затем еще три, и один шар наверху завершает тетраэдр.
Когда тетраэдры порядка n, построенные из Te n сфер, используются как единое целое, можно показать, что мозаика пространства с такими единицами может обеспечить наиболее плотную упаковку сфер до тех пор, пока n ≤ 4 .
Тетраэдрические корни и тесты на тетраэдрические числа
По аналогии с кубическим корнем из x , можно определить (действительный) тетраэдрический корень из x как число n такое, что Te n = x :
что следует из формулы Кардано . Эквивалентно, если действительный тетраэдрический корень n числа x является целым числом, то x является n- м тетраэдрическим числом.
Характеристики
- Te n + Te n −1 = 1 2 + 2 2 + 3 2 ... + n 2 , квадратные пирамидальные числа .
-
А. Дж. Мейл доказал в 1878 г., что только три тетраэдрических числа также являются полными квадратами , а именно:
- Те 1 = 1 2 = 1
- Те 2 = 2 2 = 4
- Те 48 = 140 2 = 19600 .
- Сэр Фредерик Поллок предположил, что каждое число является суммой не более 5 тетраэдрических чисел: см. Гипотезу Поллока о тетраэдрических числах .
- Единственное тетраэдрическое число, которое также является квадратно-пирамидальным числом, - 1 (Beukers, 1988), а единственное тетраэдрическое число, которое также является идеальным кубом, - 1.
- Бесконечная сумма из обратных тетраэдрических чисел является
3/2, который может быть получен с помощью телескопической серии :
- Четности из тетраэдрических чисел следует повторяющийся рисунок нечетно-четных четно-четных.
- Наблюдение за тетраэдрическими числами:
- Те 5 = Те 4 + Те 3 + Те 2 + Те 1
- Числа, которые являются как треугольными, так и тетраэдрическими, должны удовлетворять уравнению биномиальных коэффициентов :
- Единственные числа, которые одновременно являются тетраэдрическими и треугольными числами (последовательность A027568 в OEIS ):
- Те 1 = Т 1 = 1
- Те 3 = Т 4 = 10
- Те 8 = Т 15 = 120
- Те 20 = Т 55 = 1540
- Те 34 = Т 119 = 7140
Популярная культура
Te 12 = 364 - это общее количество подарков, которые «моя настоящая любовь послала мне» в течение всех 12 стихов гимны « Двенадцать дней Рождества ». Общее количество подарков после каждого стиха также равно Te n для стиха n .
Количество возможных комбинаций трех домов KeyForge также является тетраэдрическим числом Te n −2, где n - количество домов.