Усеченный додекаэдр - Truncated dodecahedron

Усеченный додекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Однородный многогранник
Элементы	F = 32, E = 90, V = 60 (χ = 2)
Лица по сторонам	20 {3} +12 {10}
Обозначение Конвея	tD
Символы Шлефли	т {5,3}
	т 0,1 {5,3}
Символ Wythoff	2 3 | 5
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	I h , H 3 , [5,3], (* 532), заказ 120
Группа вращения	I , [5,3] + , (532), порядок 60
Двугранный угол	10-10: 116,57 ° 3-10: 142,62 °
Ссылки	U 26 , C 29 , W 10
Свойства	Полурегулярно выпуклый
Цветные лица	3.10.10 ( Вершинная фигура )
Триакис икосаэдр ( двойной многогранник )	Сеть

В геометрии , то усеченный додекаэдр является архимедовым твердым веществом . У него 12 правильных десятиугольных граней, 20 правильных треугольных граней, 60 вершин и 90 ребер.

Геометрические отношения

Этот многогранник может быть образован из правильного додекаэдра путем усечения (срезания) углов, так что грани пятиугольника становятся декагонами, а углы - треугольниками .

Он используется в переходной между ячейками гиперболической тесселяции, заполняющей пространство, в усеченных битами икосаэдрических сотах .

Площадь и объем

Площадь A и объем V усеченного додекаэдра с длиной ребра a равны:

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = 5 \ left ({\ sqrt {3}} + 6 {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ right) a ^ {2} && \ приблизительно 100.990 \, 76a ^ {2} \\ V & = {\ tfrac {5} {12}} \ left (99 + 47 {\ sqrt {5}} \ right) a ^ {3} && \ приблизительно 85.039 \, 6646a ^ {3} \ end {align}}}$

Декартовы координаты

Все декартовы координаты вершин усеченного додекаэдра с длиной ребра 2 φ  - 2 с центром в начале координат представляют собой четные перестановки:

(0, ±1/φ, ± (2 +  φ ))

(±1/φ, ± φ , ± 2 φ )

(± φ , ± 2, ± ( φ  + 1))

где φ  = 1 + √ 5/2это золотое сечение .

Ортогональные проекции

Усеченный додекаэдр имеет пять специальных ортогональные проекции , по центру, на вершине, на двух типах ребер и двух типов граней: гексагональной и пятиугольной. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера А ₂ и Н ₂ .

Ортогональные проекции

В центре	Вершина	Край 3-10	Край 10-10	Лицо треугольник	Лицо декагон
Твердый
Каркас
Проективная симметрия	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Двойной

Сферические мозаики и диаграммы Шлегеля

Усеченный додекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Диаграммы Шлегеля аналогичны, с перспективной проекцией и прямыми краями.

Ортографическая проекция	Стереографические проекции
	Десятиугольник -центрированный	Треугольник по центру

Расположение вершин

У него общее расположение вершин с тремя невыпуклыми однородными многогранниками :

Усеченный додекаэдр

Большой икосикосододекаэдр

Большой дитригональный додецикосододекаэдр

Большой додецикосаэдр

Связанные многогранники и мозаики

Это часть процесса усечения между додекаэдром и икосаэдром:

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3] , (* 532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности однородных усеченных многогранников с конфигурациями вершин (3.2 n .2 n ) и симметрией [ n , 3] группы Кокстера .

* n 32 мутация симметрии усеченных сферических мозаик: t { n , 3}
Симметрия * n 32 [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.
	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3] ...	* ∞32 [∞, 3]
Усеченные фигуры
Условное обозначение	т {2,3}	т {3,3}	т {4,3}	т {5,3}	т {6,3}	т {7,3}	т {8,3}	т {∞, 3}
Фигуры Триаки
Конфиг.	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Усеченный додекаэдрический граф

Усеченный додекаэдрический граф
Диаграмма Шлегеля с 5-кратной симметрией
Вершины	60
Края	90
Автоморфизмы	120
Хроматическое число	2
Свойства	Кубическая , гамильтонова , регулярная , нуль-симметричная
Таблица графиков и параметров

В математической области теории графов , A усечен додекаэдрической график является графиком вершин и ребер из усеченного додекаэдра , одного из Архимеда твердых веществ . Он имеет 60 вершин и 90 ребер и является кубическим архимедовым графом .

Круговой

Ноты

Ссылки

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
• Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.

внешние ссылки

• Эрик В. Вайсштейн , Усеченный додекаэдр ( твердое тело Архимеда ) в MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик У. «Усеченный додекаэдрический граф» . MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. "3D выпуклые однородные многогранники o3x5x - tid" .
• Редактируемая печатная сетка усеченного додекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
• Равномерные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников