Курносый додекаэдр - Snub dodecahedron
Курносый додекаэдр | |
---|---|
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) |
|
Тип |
Архимедово твердое тело Однородный многогранник |
Элементы | F = 92, E = 150, V = 60 (χ = 2) |
Лица по сторонам | (20 + 60) {3} +12 {5} |
Обозначение Конвея | sD |
Символы Шлефли | sr {5,3} или |
ht 0,1,2 {5,3} | |
Символ Wythoff | | 2 3 5 |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | Я , 1/2H 3 , [5,3] + , (532), порядок 60 |
Группа вращения | I , [5,3] + , (532), порядок 60 |
Двугранный угол | 3-3: 164 ° 10′31 ″ (164,18 °) 3-5: 152 ° 55′53 ″ (152,93 °) |
использованная литература | U 29 , C 32 , W 18 |
Характеристики | Полуправильная выпуклая киральная |
Цветные лица |
3.3.3.3.5 ( фигура вершины ) |
Пятиугольный гексеконтаэдр ( двойственный многогранник ) |
Сеть |
В геометрии , в курносом додекаэдре , или курносого икосододекаэдре , является архимедовым твердым веществом , один из тринадцати выпуклых изогонального nonprismatic твердых веществ построены два или более типов правильных многоугольника граней .
Курносый додекаэдр имеет 92 грани (большинство из 13 архимедовых тел): 12 - пятиугольники, а остальные 80 - равносторонние треугольники . Он также имеет 150 ребер и 60 вершин.
Он имеет две различные формы, которые являются зеркальным отображением (или « энантиоморфами ») друг друга. Объединение обеих форм представляет собой соединение двух курносых додекаэдров , а выпуклая оболочка обеих форм представляет собой усеченный икосододекаэдр .
Кеплер впервые назвал его на латыни как dodecahedron simum в 1619 году в своей книге «Harmonices Mundi» . HSM Coxeter , отметив, что он может быть получен в равной степени как от додекаэдра, так и от икосаэдра, назвал его курносым икосододекаэдром с вертикально вытянутым символом Шлефли и плоским символом Шлефли sr {5,3}.
Декартовы координаты
Пусть ξ ≈0,943 151 259 24 - действительный ноль кубического многочлена x 3 + 2 x 2 - φ 2 , где φ - золотое сечение . Пусть точка p задается формулой
- .
Пусть матрицы вращения M 1 и M 2 задаются формулами
а также
M 1 представляет собой поворот вокруг оси (0,1, φ ) на угол2 π/5против часовой стрелки, в то время как M 2 , представляющий циклический сдвиг ( x , y , z ), представляет вращение вокруг оси (1,1,1) на угол2 π/3. Тогда 60 вершин курносого додекаэдра являются 60 образами точки p при многократном умножении на M 1 и / или M 2 , итерациях до сходимости. (Матрицы M 1 и М 2 генерируют матрицы поворота на 60 , соответствующие 60 - вращательных симметрий одного икосаэдра .) Координаты вершин являются целыми линейными комбинациями 1, ф , £ , , φξ , £ , 2 и φξ 2 . Длина кромки равна
Отрицание всех координат дает зеркальное отображение этого пренебрежительного додекаэдра.
В целом курносый додекаэдр состоит из 80 треугольных и 12 пятиугольных пирамид. Объем V 3 одной треугольной пирамиды определяется выражением:
и объем V 5 одной пятиугольной пирамиды:
Общий объем составляет
Радиус описанной окружности равен
Midradius равна ξ . Это дает интересную геометрическую интерпретацию числа ξ . 20 «икосаэдрических» треугольников курносого додекаэдра, описанного выше, копланарны граням правильного икосаэдра. Средний радиус этого «описанного» икосаэдра равен 1. Это означает, что ξ - это отношение между средними радиусами курносого додекаэдра и икосаэдра, в который он вписан.
Двугранный угол треугольник-треугольник определяется выражением
Двугранный угол треугольник-пятиугольник определяется выражением
Метрические свойства
Для курносого додекаэдра с длиной ребра 1 площадь поверхности равна
Его объем
Его окружной радиус
Его средний радиус
Есть две вписанные сферы: одна касается треугольных граней, а другая, немного меньшего размера, касается пятиугольных граней. Их радиусы соответственно составляют:
а также
Четыре положительных действительных корня шестого уравнения в R 2
- окружные радиусы курносого додекаэдра ( U 29 ), большого курносого икосододекаэдра ( U 57 ), большого перевернутого курносого икосододекаэдра ( U 69 ) и большого ретроснубового икосододекаэдра ( U 74 ).
Курносый додекаэдр имеет самую высокую сферичность из всех архимедовых тел. Если сферичность определяется как отношение объема в квадрате к площади поверхности в кубе, умноженное на константу 36 π (где эта константа делает сферичность сферы равной 1), сферичность курносого додекаэдра составляет около 0,947.
Ортогональные проекции
Плосконосый додекаэдр имеет два симметричных особенно ортогональные проекции , как показано ниже, в центре двух типов граней: треугольники и пятиугольники, соответствующих А 2 и Н 2 плоскостях кокстеровских .
В центре | Лицо Треугольник |
Лицо Пентагона |
Край |
---|---|---|---|
Твердый | |||
Каркас | |||
Проективная симметрия |
[3] | [5] + | [2] |
Двойной |
Геометрические отношения
Вздернутый додекаэдр может быть сгенерирован с двенадцатью пятиугольные грани додекаэдра и вытаскивать их наружу , чтобы они больше не прикасаться. На надлежащем расстоянии это может создать ромбикосододекаэдр , заполняя квадратные грани между разделенными ребрами и треугольные грани между разделенными вершинами. Но для курносой формы вытяните пятиугольные грани немного меньше, добавьте только треугольные грани и оставьте другие зазоры пустыми (остальные зазоры в этой точке прямоугольные). Затем примените равное вращение к центрам пятиугольников и треугольников, продолжая вращение до тех пор, пока промежутки не будут заполнены двумя равносторонними треугольниками. (Тот факт, что правильная величина для вытягивания граней меньше в случае курносого додекаэдра, можно увидеть двумя способами: радиус описанной окружности курносого додекаэдра меньше, чем у икосододекаэдра; или длина ребра равносторонние треугольники, образованные разделенными вершинами, увеличиваются при повороте пятиугольных граней.)
Курносый додекаэдр также может быть получен из усеченного икосододекаэдра путем чередования . Шестьдесят вершин усеченного икосододекаэдра образуют многогранник, топологически эквивалентный одному курносому додекаэдру; остальные шестьдесят образуют его зеркальное отражение. Полученный многогранник вершинно-транзитивен, но не однороден.
Связанные многогранники и мозаики
Семейство однородных икосаэдрических многогранников | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | т {5,3} | г {5,3} | т {3,5} | {3,5} | рр {5,3} | tr {5,3} | ср {5,3} |
Двойники к однородным многогранникам | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Этот полуправильный многогранник является членом последовательности курносых многогранников и мозаик с вершинной фигурой (3.3.3.3. N ) и диаграммой Кокстера – Дынкина . Эти фигуры и их двойники имеют ( n 32) вращательную симметрию , находясь в евклидовой плоскости для n = 6 и гиперболической плоскости для любого большего n . Можно считать, что серия начинается с n = 2, причем один набор граней вырождается в двуугольники .
n 32 мутации симметрии курносых мозаик: 3.3.3.3.n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия n 32 |
Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Курносые фигуры |
||||||||
Конфиг. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Гироскопические фигуры |
||||||||
Конфиг. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Плосконосый додекаэдрический граф
Плосконосый додекаэдрический граф | |
---|---|
Вершины | 60 |
Края | 150 |
Автоморфизмы | 60 |
Характеристики | Гамильтониан , регулярный |
Таблица графиков и параметров |
В математической области теории графов , А вздернутый додекаэдрической график является графиком вершин и ребер в курносом додекаэдре, одного из Архимеда твердых веществ . Он имеет 60 вершин и 150 ребер и является архимедовым графом .
Смотрите также
- Анимация преобразования плоского многоугольника в многогранник
- ccw и cw вращающийся курносый додекаэдр
использованная литература
- Джаятилаке, Удая (март 2005 г.). «Вычисления на правильных многогранниках с гранями и вершинами». Математический вестник . 89 (514): 76–81. DOI : 10.1017 / S0025557200176818 . S2CID 125675814 .
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
- Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.
внешние ссылки
- Эрик В. Вайсштейн , Курносый додекаэдр ( архимедово твердое тело ) в MathWorld .
- Клитцинг, Ричард. "3D выпуклые равномерные многогранники s3s5s - снид" .
- Редактируемая сетка для печати курносого додекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
- Равномерные многогранники
- Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
- Марк С. Адамс и Менно Т. Костерс. Объемные решения плоского додекаэдра.