Теорема Ван Ситтерта – Цернике - Van Cittert–Zernike theorem

Теорема Ван Читтерта-Цернике , названная в честь физиков Питера Хендрика ван Читтерта и Фрица Цернике , представляет собой формулу теории когерентности, которая утверждает, что при определенных условиях преобразование Фурье функции распределения интенсивности удаленного некогерентного источника равно его комплексной видимости. . Это означает, что волновой фронт от некогерентного источника будет казаться когерентным на больших расстояниях. Интуитивно это можно понять, рассмотрев волновые фронты, создаваемые двумя некогерентными источниками. Если мы измеряем волновой фронт непосредственно перед одним из источников, в нашем измерении будет преобладать ближайший источник. Если мы проведем такое же измерение вдали от источников, наши измерения больше не будут зависеть от одного источника; оба источника будут вносить почти равный вклад в волновой фронт на больших расстояниях.

Это рассуждение легко наглядно представить, бросив два камня в центр спокойного пруда. Возле центра пруда помехи, создаваемые двумя камнями, будут очень сложными. Однако по мере того, как возмущение распространяется к краю пруда, волны будут сглаживаться и будут казаться почти круглыми.

Теорема ван Читтерта – Цернике имеет важное значение для радиоастрономии . За исключением пульсаров и мазеров , все астрономические источники пространственно некогерентны. Тем не менее, поскольку они наблюдаются на достаточно больших расстояниях, чтобы удовлетворять теореме Ван Циттерта – Цернике, эти объекты демонстрируют ненулевую степень когерентности в разных точках плоскости изображения. Измеряя степень когерентности в различных точках плоскости изображения (так называемая « функция видимости ») астрономического объекта, радиоастроном может таким образом восстановить распределение яркости источника и составить двумерную карту внешнего вида источника.

Формулировка теоремы

Рассмотрим два очень далеких параллельных плоскостях, и перпендикулярно к линии зрения, и давайте называть их исходный самолет и самолет наблюдения ; Если - функция взаимной когерентности между двумя точками в плоскости наблюдения, то ${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0)}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0) = \ iint I (l, m) e ^ {- 2 \ pi i (ul + vm)} \, dl \, dm}$

где и - направляющие косинусы точки на удаленном источнике в плоскости источника, и - соответственно x-расстояние и y-расстояние между двумя точками наблюдения на плоскости наблюдения в единицах длины волны и - интенсивность источника . Эта теорема была впервые получена Питером Хендриком ван Читтертом в 1934 году с более простым доказательством, предоставленным Фрицем Цернике в 1938 году. ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle I}$

Эта теорема будет по-прежнему сбивать с толку некоторых инженеров или ученых из-за ее статистической природы и отличия от простых методов корреляции или даже методов обработки ковариаций. Хорошим справочником (который все еще может не прояснить проблему для некоторых пользователей, но у него есть отличный набросок, чтобы понять метод) является Goodman, начиная со страницы 207.

Функция взаимной когерентности

Функция взаимной когерентности пространства-времени для некоторого электрического поля, измеренного в двух точках в плоскости наблюдения (назовем их 1 и 2), определяется как ${\ displaystyle E (t)}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (\ tau) = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} E_ {1} ( t) E_ {2} ^ {*} (t- \ tau) dt}$

где - временной сдвиг между измерениями в точках наблюдения 1 и 2. Взаимную когерентность между двумя точками можно представить как усредненную по времени взаимную корреляцию между электрическими полями в двух точках, разделенных во времени на . Таким образом, если мы наблюдаем два полностью некогерентных источника, мы должны ожидать, что функция взаимной когерентности будет относительно небольшой между двумя случайными точками в плоскости наблюдения, потому что источники будут мешать как деструктивно, так и конструктивно. Однако вдали от источников следует ожидать, что функция взаимной когерентности будет относительно большой, поскольку сумма наблюдаемых полей будет почти одинаковой в любых двух точках. ${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle E (t)}$${\ Displaystyle \ тау}$

Нормализация функции взаимной когерентности к произведению квадратных корней напряженности двух электрических полей дает комплексную степень (второго порядка) когерентности (функция коэффициента корреляции):

${\ displaystyle \ gamma _ {12} (\ tau) = {\ frac {\ Gamma _ {12} (\ tau)} {{\ sqrt {I_ {1}}} {\ sqrt {I_ {2}}} }}}$

Доказательство теоремы

Позвольте и быть соответственно декартовыми координатами плоскости источника и плоскости наблюдения. Предположим, что электрическое поле, создаваемое некоторой точкой источника в плоскости источника, измеряется в двух точках и в плоскости наблюдения. Положение точки в источнике может быть обозначено ее направляющими косинусами . (Поскольку источник находится на большом расстоянии, его направление должно быть таким же, как и в точке .) Электрическое поле, измеренное в точке, может быть записано с использованием векторов : ${\ displaystyle XY}$${\ displaystyle xy}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ Displaystyle (л, м)}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ Displaystyle P_ {1}}$

Источник находится в плоскости XY , показанной вверху рисунка, а детектор находится в плоскости xy , показанной внизу рисунка. Рассмотрим электрическое поле в двух точках, а в плоскости обнаружения из-за некоторой точки в источнике, координаты которой задаются направляющими косинусами и ${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle E_ {1} (l, m, t) = A \ left (l, m, t - {\ frac {R_ {1}} {c}} \ right) {\ frac {e ^ {- i \ omega \ left (t - {\ frac {R_ {1}} {c}} \ right)}} {R_ {1}}}}$

где это расстояние от источника до , является угловой частотой от света , и это комплексная амплитуда электрического поля. Точно так же электрическое поле, измеренное при, может быть записано как ${\ displaystyle R_ {1}}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P_ {2}}$

${\ displaystyle E_ {2} (l, m, t) = A \ left (l, m, t - {\ frac {R_ {2}} {c}} \ right) {\ frac {e ^ {- i \ omega \ left (t - {\ frac {R_ {2}} {c}} \ right)}} {R_ {2}}}}$

Теперь вычислим усредненную по времени взаимную корреляцию между электрическим полем при и : ${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$

${\ displaystyle {\ big \ langle} E_ {1} (l, m, t) E_ {2} ^ {*} (l, m, t) {\ big \ rangle} = {\ Bigg \ langle} A \ left (l, m, t - {\ frac {R_ {1}} {c}} \ right) A ^ {*} \ left (l, m, t - {\ frac {R_ {2}} {c}) } \ right) {\ Bigg \ rangle} \ times {\ frac {e ^ {i \ omega {\ frac {R_ {1}} {c}}}} {R_ {1}}} \ times {\ frac { e ^ {- i \ omega {\ frac {R_ {2}} {c}}}} {R_ {2}}}}$

Поскольку величина в угловых скобках является усредненной по времени, можно добавить произвольное смещение к временному члену амплитуд, если к обоим добавляется одно и то же смещение. Теперь добавим к временному члену обеих амплитуд. Таким образом, усредненная по времени взаимная корреляция электрического поля в двух точках упрощается до ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1}} {c}}}$

${\ displaystyle {\ big \ langle} E_ {1} (l, m, t) E_ {2} ^ {*} (l, m, t) {\ big \ rangle} = {\ Bigg \ langle} A ( l, m, t) A ^ {*} \ left (l, m, t - {\ frac {R_ {2} -R_ {1}} {c}} \ right) {\ Bigg \ rangle} \ times { \ frac {e ^ {i \ omega \ left ({\ frac {R_ {1} -R_ {2}} {c}} \ right)}} {R_ {1} R_ {2}}}}$

Но если источник находится в дальнем поле, тогда разница между и будет небольшой по сравнению с расстоянием, которое свет проходит во времени . ( имеет тот же порядок, что и обратная ширина полосы .) Таким образом, этой небольшой поправкой можно пренебречь, что еще больше упрощает наше выражение для взаимной корреляции электрического поля при и до ${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle R_ {2}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$

${\ displaystyle \ langle E_ {1} (l, m, t) E_ {2} ^ {*} (l, m, t) \ rangle = \ langle A (l, m, t) A ^ {*} ( l, m, t) \ rangle \ times {\ frac {e ^ {i \ omega \ left ({\ frac {R_ {1} -R_ {2}} {c}} \ right)}} {R_ {1 } R_ {2}}}}$

Теперь это просто интенсивность источника в определенной точке . Таким образом, наше выражение для взаимной корреляции упрощается до ${\ displaystyle \ langle A (l, m, t) A ^ {*} (l, m, t) \ rangle}$${\ Displaystyle I (л, м)}$

${\ Displaystyle \ langle E_ {1} (l, m, t) E_ {2} ^ {*} (l, m, t) \ rangle = I (l, m) {\ гидроразрыва {е ^ {я \ омега \ left ({\ frac {R_ {1} -R_ {2}} {c}} \ right)}} {R_ {1} R_ {2}}}}$

Чтобы вычислить функцию взаимной когерентности из этого выражения, просто проинтегрируйте по всему источнику.

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0) = \ iint _ {\ textrm {source}} I (l, m) {\ frac {e ^ {i \ omega \ left ({\ frac { R_ {1} -R_ {2}} {c}} \ right)}} {R_ {1} R_ {2}}} \, dS}$

Обратите внимание, что перекрестные члены формы не включены из-за предположения, что источник несогласован. Таким образом, усредненная по времени корреляция между двумя разными точками от источника будет равна нулю. ${\ displaystyle \ langle A_ {1} (l, m, t) A_ {2} ^ {*} (l, m, t) \ rangle}$

Затем перепишите термин, используя и . Для этого пусть и . Это дает ${\ displaystyle R_ {2} -R_ {1}}$${\ displaystyle u, v, l}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1})}$${\ Displaystyle P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})}$

${\ Displaystyle R_ {1} = {\ sqrt {R ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2}}} \,}$

${\ displaystyle R_ {2} = {\ sqrt {R ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2}}} \,}$

где - расстояние между центром плоскости наблюдения и центром источника. Разница между и, таким образом, становится ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle R_ {2}}$

${\ Displaystyle R_ {2} -R_ {1} = R {\ sqrt {1 + {\ frac {x_ {2} ^ {2}} {R ^ {2}}} + {\ frac {y_ {2}) ^ {2}} {R ^ {2}}}}} - R {\ sqrt {1 + {\ frac {x_ {1} ^ {2}} {R ^ {2}}} + {\ frac {y_) {1} ^ {2}} {R ^ {2}}}}}}$

Но поскольку и все намного меньше , квадратные корни могут быть расширены по Тейлору , давая до первого порядка: ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}}$${\ displaystyle y_ {2}}$${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle R_ {2} -R_ {1} = R \ left (1 + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) \ right) -R \ left (1 + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {x_ {1} ^ {2}) + y_ {1} ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) \ right)}$

который после некоторых алгебраических манипуляций упрощается до

${\ displaystyle R_ {2} -R_ {1} = {\ frac {1} {2R}} \ left ((x_ {2} -x_ {1}) (x_ {2} + x_ {1}) + ( y_ {2} -y_ {1}) (y_ {2} + y_ {1}) \ right)}$

Теперь это середина оси -оси между и , что дает нам один из направляющих косинусов к источникам. Аналогично . Более того, напомним, что это было определено как количество длин волн вдоль оси -оси между и . Так ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (x_ {2} + x_ {1})}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2R}} (x_ {2} + x_ {1})}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m = {\ frac {1} {2R}} (y_ {2} + y_ {1})}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$

${\ displaystyle u = {\ frac {\ omega} {2 \ pi c}} (x_ {1} -x_ {2})}$

Точно так же - это количество длин волн между осью и вдоль оси, поэтому ${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle v = {\ frac {\ omega} {2 \ pi c}} (y_ {1} -y_ {2})}$

Следовательно

${\ displaystyle R_ {2} -R_ {1} = {\ frac {2 \ pi c} {\ omega}} (ul + vm)}$

Потому и все гораздо меньше , чем , . Элемент дифференциала области, может быть затем записан в виде дифференциального элемента телесного угла с . Наше выражение для функции взаимной когерентности становится ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y_ {1},}$${\ displaystyle y_ {2}}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle R_ {1} \ simeq R_ {2} \ simeq R}$${\ displaystyle dS}$${\ Displaystyle R ^ {2} \, dl \, dm}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0) = \ iint _ {\ textrm {source}} I (l, m) e ^ {- {\ frac {i \ omega} {c}} { \ frac {2 \ pi c} {\ omega}} (ul + vm)} \, dl \, dm}$

Что сводится к

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0) = \ iint _ {\ textrm {source}} I (l, m) e ^ {- 2 \ pi i (ul + vm)} \, dl \, dm}$

Но пределы этих двух интегралов могут быть расширены, чтобы покрыть всю плоскость источника, если функция интенсивности источника установлена ​​равной нулю в этих областях. Следовательно,

${\ Displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0) = \ iint I (l, m) e ^ {- 2 \ pi i (ul + vm)} \, dl \, dm}$

которое является двумерным преобразованием Фурье функции интенсивности. Это завершает доказательство.

Предположения теоремы

Теорема ван Читтерта – Цернике основана на ряде предположений, все из которых приблизительно верны почти для всех астрономических источников. Здесь обсуждаются наиболее важные предположения теоремы и их отношение к астрономическим источникам.

Несвязность источника

Пространственно когерентный источник не подчиняется теореме ван Циттерта – Цернике. Чтобы понять, почему это так, предположим, что мы наблюдаем источник, состоящий из двух точек, и . Вычислим функцию взаимной когерентности между и в плоскости наблюдения. Из принципа суперпозиции , электрическое поле на это ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ Displaystyle P_ {1}}$

${\ displaystyle E_ {1} = E_ {a1} + E_ {b1}}$

и в это ${\ displaystyle P_ {2}}$

${\ displaystyle E_ {2} = E_ {a2} + E_ {b2}}$

так что функция взаимной когерентности

${\ Displaystyle \ langle E_ {1} (t) E_ {2} ^ {*} (t- \ tau) \ rangle = \ langle (E_ {a1} (t) + E_ {b1} (t)) (E_ {a2} ^ {*} (t- \ tau) + E_ {b2} ^ {*} (t- \ tau)) \ rangle}$

Что становится

${\ Displaystyle \ langle E_ {1} (t) E_ {2} ^ {*} (t- \ tau) \ rangle = \ langle E_ {a1} (t) E_ {a2} ^ {*} (t- \ tau) \ rangle + \ langle E_ {a1} (t) E_ {b2} ^ {*} (t- \ tau) \ rangle + \ langle E_ {b1} (t) E_ {a2} ^ {*} (t - \ tau) \ rangle + \ langle E_ {b1} (t) E_ {b2} ^ {*} (t- \ tau) \ rangle}$

Если точки и согласованы, то перекрестные члены в приведенном выше уравнении не обращаются в нуль. В этом случае, когда мы вычисляем функцию взаимной когерентности для протяженного когерентного источника, мы не сможем просто интегрировать по функции интенсивности источника; наличие ненулевых перекрестных членов не придало бы функции взаимной когерентности простой формы. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Это предположение справедливо для большинства астрономических источников. Пульсары и мазеры - единственные астрономические источники, демонстрирующие когерентность.

Расстояние до источника

При доказательстве теоремы предполагается, что и . То есть мы предполагаем, что расстояние до источника намного больше размера зоны наблюдения. Точнее, теорема ван Читтерта – Цернике требует, чтобы мы наблюдали источник в так называемом дальнем поле. Следовательно, если это характерный размер зоны наблюдения (например, в случае радиотелескопа с двумя тарелками , длина базовой линии между двумя телескопами), то ${\ Displaystyle R \ gg x_ {1} -x_ {2}}$${\ displaystyle R \ gg y_ {1} -y_ {2}}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle R \ gg {\ frac {D ^ {2}} {\ lambda}}}$

При разумной базовой линии 20 км для сверхбольшой антенной решетки на длине волны 1 см расстояние в дальней зоне будет порядка m. Следовательно, любой астрономический объект дальше, чем парсек, находится в дальней зоне. Однако объекты в Солнечной системе не обязательно находятся в дальнем поле, поэтому теорема ван Циттерта – Цернике к ним не применима. ${\ displaystyle 4 \ times 10 ^ {10}}$

Угловой размер источника

При выводе теоремы Ван Циттерта – Цернике мы записываем направляющие косинусы и как и . Однако существует третий направляющий косинус, которым пренебрегают, поскольку и ; при этих предположениях она очень близка к единице. Но если источник имеет большую угловую протяженность, мы не можем пренебрегать этим третьим направляющим косинусом, и теорема ван Циттерта – Цернике больше не выполняется. ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (x_ {1} + x_ {2}) / R}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (y_ {1} + y_ {2}) / R}$${\ Displaystyle R \ gg {\ гидроразрыва {1} {2}} (x_ {1} + x_ {2})}$${\ displaystyle R \ gg {\ frac {1} {2}} (y_ {1} + y_ {2})}$

Поскольку большинство астрономических источников имеют очень малые углы на небе (обычно намного меньше градуса), это предположение теоремы легко выполняется в области радиоастрономии.

Квазимонохроматические волны

Теорема ван Циттерта – Цернике предполагает, что источник является квазимонохроматическим. То есть, если источник излучает свет в диапазоне частот , со средней частотой , то он должен удовлетворять ${\ displaystyle \ Delta \ nu}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta \ nu} {\ nu}} \ lesssim 1}$

Кроме того, полоса пропускания должна быть достаточно узкой, чтобы

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta \ nu} {\ nu}} \ ll {\ frac {1} {lu}}}$

где - снова направляющий косинус, указывающий размер источника, и - количество длин волн между одним концом апертуры и другим. Без этого предположения нельзя пренебрегать по сравнению с ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle (R_ {2} -R_ {1}) / c}$${\ displaystyle t}$

Это требование подразумевает, что радиоастроном должен ограничивать сигналы с помощью полосового фильтра . Поскольку радиотелескопы почти всегда пропускают сигнал через относительно узкий полосовой фильтр, это предположение обычно выполняется на практике.

Двумерный источник

Мы предполагаем, что наш источник лежит в двумерной плоскости. На самом деле астрономические источники трехмерны. Однако, поскольку они находятся в дальней зоне, их угловое распределение не меняется с расстоянием. Поэтому, когда мы измеряем астрономический источник, его трехмерная структура проецируется на двумерную плоскость. Это означает, что теорема ван Киттерта – Цернике может быть применена к измерениям астрономических источников, но мы не можем определить структуру вдоль луча зрения с помощью таких измерений.

Однородность среды

Теорема Ван Циттерта – Цернике предполагает, что среда между источником и плоскостью изображения однородна. Если среда неоднородна, то свет из одной области источника будет по-разному преломляться относительно других областей источника из-за разницы во времени прохождения света через среду. В случае неоднородной среды необходимо использовать обобщение теоремы ван Циттерта – Цернике, называемое формулой Хопкинса.

Поскольку волновой фронт не проходит через идеально однородную среду, когда он движется через межзвездную (и, возможно, межгалактическую ) среду в атмосферу Земли , теорема Ван Циттерта – Цернике не выполняется в точности для астрономических источников. На практике, однако, вариации показателя преломления межзвездных и межгалактических сред и атмосферы Земли достаточно малы, поэтому теорема приблизительно верна с точностью до разумной экспериментальной ошибки. Такие изменения показателя преломления среды приводят лишь к небольшим возмущениям в случае распространения волнового фронта через однородную среду.

Формула Хопкинса

Предположим, у нас есть ситуация, идентичная той, которая рассматривалась при выводе теоремы Ван Циттерта – Цернике, за исключением того, что теперь среда неоднородна. Поэтому мы вводим передаточную функцию среды . Следуя аналогичному выводу, что и ранее, мы находим, что ${\ Displaystyle К (л, м, п, \ ню)}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (l, m, 0) = \ lambda ^ {2} \ iint I (l, m) K (l, m, P_ {1}, \ nu) K ^ {*} (l, m, P_ {2}, \ nu) \, dS}$

Если мы определим

${\ Displaystyle U (l, м, P_ {1}) \ Equiv i \ lambda K (l, m, P_ {1}, \ nu) {\ sqrt {I (l, m)}}}$

тогда функция взаимной когерентности принимает вид

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (l, m, 0) = \ iint U (l, m, P_ {1}) U ^ {*} (l, m, P_ {2}) \, dS}$

которое является обобщением Хопкинса теоремы ван Циттерта – Цернике. В частном случае однородной среды передаточная функция принимает вид

${\ displaystyle K (l, m, P, \ nu) = - {\ frac {т.е. ^ {ikR}} {\ lambda R}}}$

в этом случае функция взаимной когерентности сводится к преобразованию Фурье распределения яркости источника. Основное преимущество формулы Хопкинса состоит в том, что можно вычислить функцию взаимной когерентности источника косвенно, измеряя его распределение яркости.

Приложения теоремы

Синтез апертуры

Теорема ван Циттерта – Цернике имеет решающее значение для измерения распределения яркости источника. С двумя телескопами радиоастроном (или астроном инфракрасного или субмиллиметрового диапазона) может измерить корреляцию между электрическим полем на двух тарелках, возникающим в некоторой точке от источника. Измеряя эту корреляцию для многих точек источника, астроном может восстановить функцию видимости источника. Применяя теорему ван Читтерта-Цернике, астроном может затем применить обратное преобразование Фурье функции видности, чтобы обнаружить распределение яркости источника. Этот метод известен как синтез апертуры или синтез изображения.

На практике радиоастрономы редко восстанавливают распределение яркости источника, непосредственно выполняя обратное преобразование Фурье измеренной функции видимости. Такой процесс потребовал бы достаточного количества выборок, чтобы удовлетворить теорему выборки Найквиста ; это намного больше наблюдений, чем необходимо для приближенного восстановления распределения яркости источника. Поэтому астрономы используют преимущества физических ограничений на распределение яркости астрономических источников, чтобы сократить количество наблюдений, которые необходимо провести. Поскольку распределение яркости должно быть действительным и положительным везде, функция видимости не может принимать произвольные значения в областях без выборки. Таким образом, алгоритм нелинейной деконволюции, такой как CLEAN или Maximum Entropy, может использоваться для приближенного восстановления распределения яркости источника из ограниченного числа наблюдений.

Адаптивная оптика

Теорема ван Циттерта – Цернике также накладывает ограничения на чувствительность системы адаптивной оптики . В системе адаптивной оптики (AO) имеется искаженный волновой фронт, который должен быть преобразован в волновой фронт без искажений. Система AO должна внести ряд различных поправок, чтобы удалить искажения волнового фронта. Одна из таких поправок включает разделение волнового фронта на два идентичных волновых фронта и сдвиг одного на некоторое физическое расстояние в плоскости волнового фронта. Затем два волновых фронта накладываются друг на друга, создавая узор бахромы. Измеряя размер и расстояние между полосами, система АО может определять разность фаз вдоль волнового фронта. Этот метод известен как «стрижка». ${\ displaystyle s}$

Чувствительность этого метода ограничена теоремой Ван Циттерта – Цернике. Если отображается протяженный источник, контраст между полосами будет уменьшен на коэффициент, пропорциональный преобразованию Фурье распределения яркости источника. Теорема ван Читтерта – Цернике подразумевает, что взаимная когерентность протяженного источника, отображаемого системой AO, будет преобразованием Фурье его распределения яркости. Таким образом, протяженный источник изменит взаимную когерентность полос, уменьшив их контраст.

Лазер на свободных электронах

Теорема Ван Циттерта – Цернике может быть использована для расчета частичной пространственной когерентности излучения лазера на свободных электронах .

Смотрите также

• Степень согласованности
• Теория когерентности
• Видимость
• Эффект Хэнбери Брауна и Твисса
• Корреляции Бозе – Эйнштейна

Рекомендации

Библиография

• Борн М. и Вольф Э .: Принципы оптики , Pergamon Press, Oxford, 1987, p. 510
• Кляйн, Майлз В. и Фуртак, Томас Э .: Оптика , John Wiley & Sons, Нью-Йорк, 1986, 2-е издание, с. 544-545

Внешние ссылки

• Лекция по теореме Ван Читтерта-Цернике с приложениями. Университет Беркли, проф. Дэвид Т. Эттвуд на YouTube (AST 210 / EE 213, лекция 23)]