Классификация ADE - ADE classification
В математике , то ADE классификация (первоначально ADE классификация ) является ситуацией , когда некоторые виды объектов в соответствии с просто пронизаны диаграммами Дынкина . Вопрос об установлении общего происхождения этих классификаций, а не апостериорной проверке параллелизма, был поставлен в ( Arnold 1976 ). Полный список просто зашнурованных диаграмм Дынкина включает
Здесь «просто зашнуровано» означает, что нет нескольких ребер, что соответствует всем простым корням в корневой системе, образующим углы (без ребра между вершинами) или (единственное ребро между вершинами). Это два из четырех семейств диаграмм Дынкина (без и ) и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (без и ).
Этот список не является избыточным , если один берет на Если один расширяет семьи включают избыточные термины, один получает исключительные изоморфизмы
и соответствующие изоморфизмы классифицированных объектов.
, Д , Е номенклатура также дает просто зашнурованные конечные группы кокстеровской , одним и тем же схемы: в этом случае Дынкин точно совпадает с диаграммами Кокстера, так как нет кратных ребер.
Алгебры Ли
В терминах комплексных полупростых алгебр Ли:
- соответствует в специальную линейную алгебру Ли из бесшпуровых операторов,
- соответствует четной специальной ортогональной алгебре Ли четномерных кососимметрических операторов, а
- три из пяти исключительных алгебр Ли.
В терминах компактных алгебр Ли и соответствующих односвязных групп Ли :
- соответствует алгебре специальной унитарной группы
- соответствует алгебре четной проективной специальной ортогональной группы , а
- три из пяти исключительных компактных алгебр Ли .
Бинарные полиэдральные группы
Же относится и к классификации дискретных подгрупп , в бинарных полиэдральных групп ; собственно, бинарные полиэдральные группы соответствуют просто зашнурованным аффинным диаграммам Дынкина, и представления этих групп могут быть поняты в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как Переписка Маккея послеДжона Маккея. Связь сплатоновыми теламиописана в (Dickson 1959). В переписке используется конструкцияграфа Маккея.
Обратите внимание, что соответствие ADE не является соответствием Платоновых тел их группе отражений симметрий: например, в соответствии ADE тетраэдр , куб / октаэдр и додекаэдр / икосаэдр соответствуют, в то время как группы отражений тетраэдра, куба / октаэдра соответствуют , а додекаэдр / икосаэдр - вместо этого представления групп Кокстера и
Орбиобразие из построены с использованием каждой дискретной подгруппы приводит к АДЭ-типа особенности в начале координат, называется дювалевская особенность .
Соответствие Маккея может быть расширено до кратно зашнурованных диаграмм Дынкина с помощью пары бинарных полиэдральных групп. Это известно как Словая переписка , названная в честь Петра Слодового - см. ( Стекольщик, 2008 ).
Помеченные графики
Графы ADE и расширенные (аффинные) графы ADE также могут быть охарактеризованы в терминах разметки с определенными свойствами, которые могут быть сформулированы в терминах дискретных операторов Лапласа или матриц Картана . Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в ( Kac 1990 , стр. 47–54).
Аффинные графы ADE - единственные графы, которые допускают положительную маркировку (маркировку узлов положительными действительными числами) со следующим свойством:
- Дважды любая метка - это сумма меток на соседних вершинах.
То есть это единственные положительные функции с собственным значением 1 для дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение вершины) - положительные решения однородного уравнения:
Эквивалентно, положительные функции в ядре Результирующей нумерации уникальны до масштаба, и если они нормализованы так, что наименьшее число равно 1, они состоят из небольших целых чисел - от 1 до 6, в зависимости от графика.
Обычные графы ADE - единственные графы, которые допускают положительную разметку со следующим свойством:
- Дважды любая метка минус два является суммой меток на соседних вершинах.
В терминах лапласиана положительные решения неоднородного уравнения:
Полученная нумерация уникальна (масштаб указывается цифрой «2») и состоит из целых чисел; для E 8 они колеблются от 58 до 270 и наблюдались еще ( Бурбаки, 1968 ).
Другие классификации
В элементарных катастрофах также классифицируются по классификации ADE.
Диаграммы ADE - это в точности колчаны конечного типа, согласно теореме Габриэля .
Также существует связь с обобщенными четырехугольниками , поскольку три невырожденных GQ с тремя точками на каждой прямой соответствуют трем исключительным системам корней E 6 , E 7 и E 8 . Классы A и D соответствуют вырожденным случаям, когда набор прямых пуст или все прямые проходят через фиксированную точку соответственно.
Между этими объектами существуют глубокие связи, на которые указывает классификация; некоторые из этих связей можно понять с помощью теории струн и квантовой механики .
Было высказано предположение, что симметрии небольших кластеров капель могут подпадать под классификацию ADE.
В минимальные модели из двумерной конформной теории поля имеют классификацию ADE.
Четырехмерные суперконформные калибровочные теории колчана с унитарными калибровочными группами имеют классификацию ADE.
Троицы
Арнольд впоследствии предложил множество дальнейших связей в этом ключе под рубрикой «математических троиц», а Маккей расширил свою переписку по параллельным, а иногда и перекрывающимся линиям. Арнольд называет эти « троицы », чтобы вызвать религию, и предполагает, что (в настоящее время) эти параллели больше полагаются на веру, чем на строгие доказательства, хотя некоторые параллели уточняются. Другие авторы предлагали и другие троицы. Троицы Арнольда начинаются с R / C / H (действительные числа, комплексные числа и кватернионы), которые он отмечает, что «все знают», и продолжает представлять другие троицы как «комплексификации» и «кватернификации» классической (реальной) математики. по аналогии с поиском симплектических аналогов классической римановой геометрии, которую он ранее предложил в 1970-х годах. Помимо примеров из дифференциальной топологии (например, характеристических классов ), Арнольд рассматривает три платоновых симметрии (тетраэдрическую, октаэдрическую, икосаэдрическую) как соответствующие действительным числам, комплексам и кватернионам, которые затем связаны с более алгебраическими соответствиями Маккея, приведенными ниже.
Соответствия Маккея описать проще. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина (соответствующие тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрии) имеют группы симметрии соответственно, а соответствующие свертки представляют собой диаграммы (обратите внимание, что при менее тщательном написании расширенный квалификатор (тильда) часто опускается). Что еще более важно, Маккей предполагает соответствие между узлами диаграммы и определенными классами сопряженности группы монстров , что известно как наблюдение Маккея E 8 ; см. также чудовищный самогон . Маккей далее связывает узлы с классами сопряженности в 2. B (расширение второго порядка группы маленьких монстров ), а узлы с классами сопряженности в 3. Fi 24 '(расширение третьего порядка группы Фишера ) - примечание что это три самые большие спорадические группы , и что порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.
Переходя от больших простых групп к малым, соответствующие Платоновы группы связаны с проективными специальными линейными группами PSL (2,5), PSL (2,7) и PSL (2,11) (порядки 60, 168 и 660). ), что считается «перепиской Маккея». Эти группы являются единственными (простыми) значениями для p, такими, что PSL (2, p ) действует нетривиально на p точек - факт, восходящий к Эваристу Галуа в 1830-х годах. Фактически, группы распадаются как продукты множеств (а не как продукты групп) следующим образом: и Эти группы также связаны с различными геометриями, что восходит к Феликсу Клейну в 1870-х годах; см. симметрию икосаэдра: связанные геометрии для исторического обсуждения и ( Kostant 1995 ) для более позднего изложения. Ассоциированные геометрии (мозаики на римановых поверхностях ), в которых можно увидеть действие на p точек, следующие: PSL (2,5) - это симметрии икосаэдра (род 0) с соединением пяти тетраэдров в виде 5-элементного множества. , PSL (2,7) квартики Клейна (род 3) с вложенной (дополнительной) плоскостью Фано как 7-элементное множество (биплан 2-го порядка), а PSL (2,11) - Бакминстерфуллереновая поверхность (род 70) с внедреннымбипланом Пэлив виде набора из 11 элементов (биплан3-го порядка). Из них икосаэдр относится к античности, квартика Клейна - к Кляйну в 1870-х годах, а поверхность бакибола - к Пабло Мартину и Дэвиду Зингерману в 2008 году.
Алгебро-геометрически Маккей также связывает E 6 , E 7 , E 8 соответственно с: 27 линиями на кубической поверхности , 28 касательными к плоскости плоской кривой четвертой степени и 120 плоскостями тритангенса канонической шестнадцатой кривой рода 4. первая из них хорошо известна, а вторая связана следующим образом: проецирование кубики из любой точки, не лежащей на прямой, дает двойное покрытие плоскости, разветвленное по кривой квартики, с 27 линиями, соответствующими 27 из 28. касательные к битам, а 28-я строка - изображение исключительной кривой раздутия. Обратите внимание, что основные представления E 6 , E 7 , E 8 имеют размерности 27, 56 (28 · 2) и 248 (120 + 128), в то время как количество корней составляет 27 + 45 = 72, 56 + 70 = 126. , и 112 + 128 = 240. Это также должно соответствовать схеме соотнесения E 8,7,6 с самыми большими тремя из спорадических простых групп, Monster, Baby и Fischer 24 ', ср. Чудовищный самогон .
Смотрите также
Рекомендации
Источники
- Бурбаки, Николя (1968), «Главы 4–6», Groupes et algebres de Lie , Париж: Герман
- Арнольд, Владимир (1976), «Проблемы современной математики», в Феликсе Э. Браудере (ред.), Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта , Труды симпозиумов по чистой математике, 28 , Американское математическое общество , с. 46 , проблема VIII. В ADE классификации (В. Арнольд).CS1 maint: postscript ( ссылка )
- Диксон, Леонард Э. (1959), «XIII: Группы правильных тел; уравнения пятого порядка» , Алгебраические теории , Нью-Йорк: Dover Publications
- Hazewinkel, Michiel ; Хесселинг; Siersma, JD .; Велдкамп, Ф. (1977), «Повсеместность диаграмм Кокстера-Дынкина. (Введение в проблему ADE)» (PDF) , Nieuw Archief v. Wiskunde , 35 (3): 257–307
- Маккей, Джон (1980), "Графы, особенности и конечные группы", Proc. Symp. Чистая математика. , Амер. Математика. Soc., 37 : 183– и 265–
- Маккей, Джон (1982), «Представления и графы Кокстера», «Геометрическая вена», Coxeter Festschrift , Берлин: Springer-Verlag , стр. 549–
- Кац, Виктор Г. (1990), Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-46693-8
- Маккей, Джон (1 января 2001 г.), Быстрое введение в теорию ADE
- Proctor, RA (декабрь 1993), "Два Дынкина Диаграмма Забавные Graph Классификации", Американский Математический Месячный , 100 (10): 937-941, DOI : 10,2307 / 2324217 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2324217
- McKay, J .; Себбар, Абделлах (2007). «Воспроизводимые функции: введение». Границы теории чисел, физики и геометрии, II . Springer. С. 373–386. DOI : 10.1007 / 978-3-540-30308-4_10 .
- Стекольщик, Р. (2008), Заметки о преобразованиях Кокстера и соответствие Маккея , Монографии Спрингера по математике, DOI : 10.1007 / 978-3-540-77398-3 , ISBN 978-3-540-77398-6
- ван Хобокен, Йорис (2002), Платоновы тела, бинарные полиэдральные группы, клейновы особенности и алгебры Ли типов A, D, E (PDF) , магистерская работа, Амстердамский университет, заархивировано из оригинала (PDF) на 2012-04- 26 , дата обращения 23.11.2011.
Внешние ссылки
- Джон Баэз , Результаты этой недели по математической физике : неделя 62 , неделя 63 , неделя 64 , неделя 65 , 28 августа 1995 г., по 3 октября 1995 г. и неделя 230 , 4 мая 2006 г.
- Переписка Маккея , Тони Смит
- Классификация ADE, соответствие Маккея и теория струн , Любош Мотль , Система отсчета , 7 мая 2006 г.