Теорема Бакингема π - Buckingham π theorem
В технике , прикладной математики и физики , то Букингемский тг теорема является ключевой теоремой в одномерном анализе . Это формализация метода анализа размерностей Рэлея . В общих чертах теорема утверждает, что если существует физически значимое уравнение, включающее определенное число n физических переменных, то исходное уравнение можно переписать в терминах набора p = n - k безразмерных параметров π 1 , π 2 , .. ., π p, построенные по исходным переменным. (Здесь k - количество задействованных физических измерений; оно получается как ранг конкретной матрицы .)
Теорема предоставляет метод для вычисления наборов безразмерных параметров из заданных переменных или обезразмеривания , даже если форма уравнения все еще неизвестна.
Теорема Бакингема π указывает, что действие законов физики не зависит от конкретной системы единиц . Утверждение этой теоремы состоит в том, что любой физический закон может быть выражен как тождество, включающее только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных законом (например, давление и объем связаны законом Бойля - они обратно пропорциональны ). Если бы значения безразмерных комбинаций менялись вместе с системами единиц, то уравнение не было бы тождественным, и теорема Бэкингема не выполнялась.
История
Хотя π- теорема названа в честь Эдгара Бэкингема , она была впервые доказана французским математиком Жозефом Бертраном в 1878 году. Бертран рассматривал только частные случаи задач электродинамики и теплопроводности, но его статья содержит, в различных терминах, все основные идеи современного доказательства. теоремы и ясно указывает на полезность теоремы для моделирования физических явлений. Техника использования теоремы («метод размерностей») стала широко известна благодаря работам Рэлея . Первое применение π- теоремы в общем случае к зависимости падения давления в трубе от управляющих параметров, вероятно, относится к 1892 году, эвристическое доказательство с использованием разложения в ряд - к 1894 году.
Формальное обобщение π- теоремы на случай произвольного числа величин было дано сначала А. Ваши в 1892 г., затем в 1911 г. - по-видимому, независимо - как А. Федерманом, так и Д. Рябушинским , и снова в 1914 г. Бекингемом. Именно в статье Бэкингема было введено использование символа « π i » для безразмерных переменных (или параметров), и это стало источником названия теоремы.
Заявление
Более формально, число безразмерных терминов , которые могут быть образованы, р , равно недействительности в одномерной матрице , и к является ранг . Для экспериментальных целей разные системы, которые имеют одно и то же описание в терминах этих безразмерных чисел , эквивалентны.
С математической точки зрения, если у нас есть физически значимое уравнение, такое как
где q i - n независимых физических переменных, и они выражаются через k независимых физических единиц, тогда приведенное выше уравнение можно переформулировать как
где π i - безразмерные параметры, построенные из q i с помощью p = n - k безразмерных уравнений - так называемых групп Pi - вида
где показатели a i являются рациональными числами (их всегда можно принять как целые числа, переопределив π i как возведенное в степень, очищающую все знаменатели).
Значение
Теорема Бакингема π обеспечивает метод вычисления наборов безразмерных параметров из заданных переменных, даже если форма уравнения остается неизвестной. Однако выбор безразмерных параметров не уникален; Теорема Бэкингема предоставляет только способ создания наборов безразмерных параметров и не указывает наиболее «физически значимые».
Две системы, у которых эти параметры совпадают, называются подобными (как и у одинаковых треугольников , они отличаются только масштабом); они эквивалентны для целей уравнения, и экспериментатор, который хочет определить форму уравнения, может выбрать наиболее удобный. Что наиболее важно, теорема Бэкингема описывает связь между числом переменных и фундаментальными измерениями.
Доказательство
Контур
Предполагается, что пространство фундаментальных и производных физических единиц образует векторное пространство над рациональными числами , с фундаментальными единицами в качестве базисных векторов и с умножением физических единиц в качестве операции «сложения векторов» и возведением в степень в качестве Операция «скалярного умножения»: представляет размерную переменную как набор показателей, необходимых для фундаментальных единиц (со степенью нуля, если конкретная фундаментальная единица отсутствует). Например, стандартная гравитация g имеет единицы измерения (расстояние во времени в квадрате), поэтому она представлена как вектор относительно основных единиц (расстояние, время).
Согласование физических единиц в наборах физических уравнений затем можно рассматривать как наложение линейных ограничений в векторном пространстве физических единиц.
Формальное доказательство
Дана система из n размерных переменных (с физическими измерениями) в k фундаментальных (базовых) измерениях, запишите размерную матрицу M , строки которой являются фундаментальными измерениями, а столбцы - измерениями переменных: ( i , j ) -я запись - степень i- го фундаментального измерения в j- й переменной. Матрицу можно интерпретировать как комбинацию размеров переменных величин и выдачу размеров этого продукта в основных измерениях. Так
это единицы
Безразмерная переменная - это величина с фундаментальными размерностями, возведенными в нулевую степень (нулевой вектор векторного пространства по фундаментальным измерениям), которая эквивалентна ядру этой матрицы.
По теореме о ранге-нуле , система из n векторов (матричных столбцов) в k линейно независимых измерениях (ранг матрицы - это количество фундаментальных измерений) оставляет нулевое значение p, удовлетворяющее ( p = n - k ), где ничтожество - это количество посторонних измерений, которые могут быть выбраны безразмерными.
Безразмерные переменные всегда можно принять как целочисленные комбинации размерных переменных ( очистив знаменатели ). Математически нет естественного выбора безразмерных переменных; некоторые варианты безразмерных переменных более значимы с физической точки зрения, и именно они используются в идеале.
Международная система единиц определяет K = 7 базовых величин, которые являются ампера , Кельвина , второй , метр , килограмм , кандела и моль . Иногда полезно вводить дополнительные базовые единицы и методы для уточнения техники анализа размеров (см. Ориентационный анализ и ссылки)
Примеры
Скорость
Этот пример является элементарным, но служит для демонстрации процедуры.
Предположим, автомобиль движется со скоростью 100 км / ч; сколько времени нужно, чтобы проехать 200 км?
В этом вопросе рассматриваются три размерных переменных: расстояние d , время t и скорость v , и мы ищем некий закон вида t = Продолжительность ( v , d ) . Эти переменные допускают базис из двух измерений: измерение времени T и расстояния измерения D . Таким образом получается 3 - 2 = 1 безразмерная величина.
Размерная матрица
в котором строки соответствуют базовым размерам D и T , а столбцы - рассматриваемым размерам D , T и V , где последнее обозначает размерность скорости. Элементы матрицы соответствуют степеням, до которых должны быть увеличены соответствующие размеры. Например, в третьем столбце (1, -1) указано, что V = D 0 T 0 V 1 , представленное вектором-столбцом , выражается в терминах размерностей базиса как , поскольку .
Для безразмерной константы мы ищем векторы, такие, что произведение матрицы на вектор M a равно нулевому вектору [0,0]. В линейной алгебре набор векторов с этим свойством известен как ядро (или пустое пространство) ( линейной карты, представленной) размерной матрицы. В этом частном случае его ядро одномерно. Размерная матрица, как написано выше, имеет сокращенную форму эшелона строк , поэтому можно считать ненулевой вектор ядра с точностью до мультипликативной константы:
Если бы размерная матрица еще не была уменьшена, можно было бы выполнить исключение Гаусса – Жордана на размерной матрице, чтобы упростить определение ядра. Отсюда следует, что безразмерную постоянную, заменяя размеры соответствующими размерными переменными, можно записать:
Поскольку ядро определяется только с точностью до мультипликативной константы, указанная выше безразмерная константа в произвольной степени дает другую (эквивалентную) безразмерную константу.
Таким образом, размерный анализ дал общее уравнение, связывающее три физические переменные:
или, обозначив нуль функции ,
что можно записать как
Фактическая связь между тремя переменными проста . Другими словами, в данном случае имеется один физически значимый корень, и это единица. Тот факт, что подойдет только одно значение C и что оно равно 1, не обнаруживается методом анализа размеров.
Простой маятник
Мы хотим определить период T малых колебаний простого маятника. Предполагается, что это функция длины L , массы M и ускорения свободного падения на поверхности Земли g , размерность которой равна длине, разделенной на квадрат времени. Модель имеет вид
(Обратите внимание, что это записано как отношение, а не как функция: T здесь не записывается как функция от M , L и g .)
В этом уравнении есть 3 основных физических измерения: время , масса и длина , а также 4 размерных переменных: T , M , L и g . Таким образом, нам нужно только 4 - 3 = 1 безразмерный параметр, обозначенный π, и модель может быть переформулирована как
где π задается формулой
для некоторых значений a 1 , ..., a 4 .
Размеры размерных величин:
Размерная матрица:
(Строки соответствуют размерам , и , а столбцы - размерным переменным T , M , L и g . Например, 4-й столбец (−2, 0, 1) утверждает, что переменная g имеет размеры . )
Мы ищем вектор ядра a = [ a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ] такой, что матричное произведение M на a дает нулевой вектор [0,0,0]. Размерная матрица, как написано выше, имеет сокращенную форму эшелона строк, поэтому можно считать вектор ядра в пределах мультипликативной константы:
Если бы он еще не был сокращен, можно было бы выполнить исключение Гаусса – Жордана на размерной матрице, чтобы упростить определение ядра. Отсюда следует, что безразмерную постоянную можно записать:
В фундаментальном плане:
который безразмерен. Поскольку ядро определяется только с точностью до мультипликативной константы, если вышеупомянутая безразмерная константа возводится в любую произвольную степень, это даст другую эквивалентную безразмерную константу.
Этот пример прост, потому что три размерные величины являются фундаментальными единицами, поэтому последняя ( g ) является комбинацией предыдущей. Обратите внимание, что если бы 2 было ненулевым, не было бы возможности отменить значение M ; Поэтому 2 должен быть равен нулю. Анализ размеров позволил нам сделать вывод, что период маятника не зависит от его массы. (В трехмерном пространстве степеней массы, времени и расстояния мы можем сказать, что вектор для массы линейно независим от векторов для трех других переменных. С точностью до коэффициента масштабирования это единственный нетривиальный способ построить вектор безразмерного параметра.)
Теперь модель можно выразить как:
Предполагая, что нули функции f дискретны, мы можем сказать, что gT 2 / L = C n , где C n - это n- й нуль функции f . Если имеется только один нуль, то дт 2 / л = С . Требуется больше физического понимания или эксперимента, чтобы показать, что на самом деле существует только один ноль и что константа на самом деле задается C = 4π 2 .
При больших колебаниях маятника анализ осложняется дополнительным безразмерным параметром - максимальным углом поворота. Приведенный выше анализ является хорошим приближением, поскольку угол приближается к нулю .
Охлаждение напитка кубиками льда
Напитки, охлажденные небольшими кубиками льда, остывают быстрее, чем напитки, охлажденные той же массой более крупных кубиков льда. Обычное объяснение этого явления состоит в том, что кубики меньшего размера имеют большую площадь поверхности, и эта большая площадь вызывает большую теплопроводность и, следовательно, более быстрое охлаждение. Для данного объема льда общая площадь поверхности льда пропорциональна (площадь поверхности одного куба) раз (количеству кубиков), где - длина ребер куба, а - объем льда. Если бы общее объяснение было правильным, то это означало бы, что для фиксированного объема льда скорость охлаждения должна быть пропорциональна , и, следовательно, время охлаждения напитка должно быть пропорционально . Фактически, анализ размеров показывает, что это распространенное объяснение неверно, и дает удивительный результат, которому пропорционально время охлаждения напитка .
Важными размерными величинами являются размер кубов (размер ), время (размер ), температура (размер ), теплопроводность (размеры ) и объемная теплоемкость (размеры ). Размерная матрица:
Другие примеры
Простой пример анализа размеров можно найти для случая механики тонкого, твердого и параллельного вращающегося диска. Есть пять переменных, которые сводятся к двум безразмерным группам. Связь между ними может быть определена численным экспериментом с использованием, например, метода конечных элементов.
Теорема также использовалась не только в физике, но и в других областях, например, в спорте. Металлургия и материаловедение, металлургия, технология вторичной стали, порошковая металлургия, реакторная техника для разработки математической модели и ее подтверждения в экспериментальных условиях.
Смотрите также
использованная литература
Примечания
Цитаты
- Перейти ↑ Bertrand, J. (1878). "Sur l'homogénéité dans les Formules de Physique" . Comptes Rendus . 86 (15): 916–920.
- ^ Рэлей (1892). «К вопросу об устойчивости течения жидкостей» . Философский журнал . 34 (206): 59–70. DOI : 10.1080 / 14786449208620167 .
-
^ Стратт, Джон Уильям (1896). Теория звука . Том II (2-е изд.). Макмиллан.
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - ^ Цитаты из статьи Ваши с его формулировкой теоремы о пи можно найти в: Macagno, EO (1971). «Историко-критический обзор размерного анализа» . Журнал Института Франклина . 292 (6): 391–402. DOI : 10.1016 / 0016-0032 (71) 90160-8 .
- ^ Федерман, А. (1911). "О некоторых методах интегрирования с частными производными порядками" . Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики . 16 (1): 97–155. (Федерман А., О некоторых общих методах интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, Труды Санкт-Петербургского политехнического института. Секция техники, естествознания и математики)
- ^ Рябушинским, D. (1911). «Методика переменных нулевого измерения и его применения в аэродинамике» . L'Aérophile : 407–408.
- Перейти ↑ Buckingham 1914 .
- ^ Шлик, R .; Ле Сержан, Т. (2006). «Проверка моделей SCADE на правильность использования физических единиц». Компьютерная безопасность, надежность и безопасность . Конспект лекций по информатике. Берлин: Springer. 4166 : 358–371. DOI : 10.1007 / 11875567_27 . ISBN 978-3-540-45762-6.
- ^ Рамзи, Ангус. "Анализ размеров и численные эксперименты для вращающегося диска" . Ramsay Maunder Associates . Проверено 15 апреля 2017 года .
- ^ Блондо, Дж. (2020). «Влияние размера поля, размера ворот и количества игроков на среднее количество голов, забитых за игру в вариантах футбола и хоккея: применение теоремы Пи к командным видам спорта» . Журнал количественного анализа в спорте . 17 (2): 145–154. DOI : 10.1515 / jqas-2020-0009 . S2CID 224929098 .
- ^ Джикар, Прашант; Дхоки, Северная Каролина (2020). «Влияние параметров процесса на противоточный реактор восстановления окисленных отходов окалины и его взаимосвязь с математической моделью» . Журнал устойчивой металлургии . Нью-Йорк: Springer Nature. 6 (4): 622–630. DOI : 10.1007 / s40831-020-00297-0 . S2CID 225097597 .
- ^ Джикар, Прашант; Sabban, R .; Tadwalkar, C .; Дхоки, Северная Каролина (2020). «Моделирование явления окисления прокатной окалины и анализ влияющих параметров» . Материалы сегодня: Материалы . Эльзевир. 44 : 4013–4019. DOI : 10.1016 / j.matpr.2020.10.212 .
Экспозиция
- Ханче-Ольсен, Харальд (2004). "Пи-теорема Бэкингема" (PDF) . NTNU . Проверено 9 апреля 2007 года .
- Харт, Джордж У. (1 марта 1995 г.). Многомерный анализ: алгебры и системы для науки и техники . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94417-3.
- Клайн, Стивен Дж. (1986). Теория подобия и приближения . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 978-0-387-16518-9.
- Хартке, Ян-Давид (2019). «О-теореме Бекингема». arXiv : 1912.08744 .
- Ван, Фредерик Ю.М. (1989). Математические модели и их анализ . Издательство Harper & Row, Нью-Йорк. ISBN 978-0-06-046902-3.
- Винно, Джорджия (1991). «Размерный анализ в моделировании данных» (PDF) . Университет Виктории в Веллингтоне . Проверено 15 декабря 2005 года .
- Майк Шеппард, 2007 Систематический поиск выражений безразмерных констант с использованием базы данных физических констант NIST
- Гиббингс, JC (2011). Размерный анализ . Springer. ISBN 978-1-84996-316-9.
Первоисточники
- Ващий, А. (1892). "Sur les lois de similitude en Physique" . Annales Télégraphiques . 19 : 25–28.
- Букингем, Э. (1914). «О физически подобных системах; иллюстрации использования размерных уравнений» . Физический обзор . 4 (4): 345–376. Полномочный код : 1914PhRv .... 4..345B . DOI : 10.1103 / PhysRev.4.345 . hdl : 10338.dmlcz / 101743 .
- Букингем, Э. (1915). «Принцип подобия» . Природа . 96 (2406): 396–397. Bibcode : 1915Natur..96..396B . DOI : 10.1038 / 096396d0 . S2CID 3956628 .
- Букингем, Э. (1915). «Модельные эксперименты и формы эмпирических уравнений» . Труды Американского общества инженеров-механиков . 37 : 263 -296.
- Тейлор, сэр Г. (1950). «Образование взрывной волны при очень сильном взрыве. I. Теоретическое обсуждение». Труды Королевского общества А . 201 (1065): 159–174. Bibcode : 1950RSPSA.201..159T . DOI : 10.1098 / RSPA.1950.0049 . S2CID 54070514 .
- Тейлор, сэр Г. (1950). «Образование взрывной волны при очень сильном взрыве. II. Атомный взрыв 1945 года» . Труды Королевского общества А . 201 (1065): 175–186. Bibcode : 1950RSPSA.201..175T . DOI : 10.1098 / RSPA.1950.0050 .