K-стабильность - K-stability

В математике , и особенно в дифференциальной и алгебраической геометрии , K-устойчивость - это алгебро-геометрическое условие устойчивости для комплексных многообразий и комплексных алгебраических многообразий . Понятие K-устойчивости было впервые введено Ганг Тианом, а позднее переформулировано в более алгебраической форме Саймоном Дональдсоном . Это определение было основано на сравнении с устойчивостью геометрической теории инвариантов (GIT). В частном случае многообразий Фано K-устойчивость в точности характеризует существование метрик Кэлера – Эйнштейна . В более общем смысле, на любом компактном комплексном многообразии K-устойчивость, как предполагается, эквивалентна существованию кэлеровых метрик постоянной скалярной кривизны ( метрики cscK ).

История

В 1954 году Эухенио Калаби сформулировал гипотезу о существовании кэлеровых метрик на компактных кэлеровых многообразиях , теперь известную как гипотеза Калаби . Одна из формулировок гипотезы состоит в том, что компактное кэлерово многообразие допускает единственную метрику Кэлера – Эйнштейна в своем классе . В частном случае, когда такая метрика Кэлера – Эйнштейна будет плоской Риччи , что делает многообразие многообразием Калаби – Яу . Гипотеза Калаби была решена в случае , когда от Thierry Aubin и Яу Шинтуна , и когда Яу. В случае , когда является многообразием Фано , метрика Кэлера – Эйнштейна не всегда существует. А именно, он был известен работой Йозо Matsushima и Андре Лихнеровича что кэлерово многообразие с банкой только допускает метрику кэлерового-Эйнштейн , если алгебра Ли является восстановительной . Тем не менее, можно легко показать , что раздутие в комплексной проективной плоскости в одной точке, является Фано, но не имеет восстановительную алгебры Ли. Таким образом, не все многообразия Фано могут допускать метрики Кэлера – Эйнштейна. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle c_ {1} (X)}$${\ displaystyle c_ {1} (X) = 0}$${\ displaystyle c_ {1} (X) <0}$${\ displaystyle c_ {1} (X) = 0}$${\ displaystyle c_ {1} (X)> 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle c_ {1} (X)> 0}$ ${\ displaystyle H ^ {0} (X, TX)}$${\ displaystyle {\ text {Bl}} _ {p} \ mathbb {CP} ^ {2}}$

После разрешения гипотезы Калаби внимание обратилось к слабо связанной проблеме нахождения канонических метрик на векторных расслоениях над комплексными многообразиями. В 1983 году Дональдсон представил новое доказательство теоремы Нарасимхана – Сешадри . Как доказано Donaldson, теорема гласит , что голоморфное векторное расслоение над компактной римановой поверхностью является стабильным , если и только если оно соответствует неприводимой унитарному Янг-Миллс связи . То есть унитарная связность, являющаяся критической точкой функционала Янга – Миллса ${\ Displaystyle c_ {1} (Х) \ leq 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {YM} (\ nabla) = \ int _ {X} \ | F _ {\ nabla} \ | ^ {2} \, d \ operatorname {vol}.}$

На римановой поверхности такая связность проективно плоская, и ее голономия дает проективное унитарное представление фундаментальной группы римановой поверхности, тем самым восстанавливая исходное утверждение теоремы М. С. Нарасимхана и К. С. Сешадри . В течение 1980-х годов эта теорема была обобщена в работах Дональдсона, Карен Уленбек и Яу, а также Джун Ли и Яу на соответствие Кобаяши – Хитчина , которое связывает стабильные голоморфные векторные расслоения со связностями Эрмитова – Эйнштейна над произвольными компактными комплексными многообразиями. Ключевое наблюдение в случае голоморфных векторных расслоений состоит в том, что, как только голоморфная структура зафиксирована, любой выбор эрмитовой метрики порождает унитарную связность, связность Черна . Таким образом, можно искать либо эрмитову связность Эйнштейна, либо соответствующую ей эрмитову метрику Эйнштейна.

Вдохновленный решением проблемы существования канонических метрик на векторных расслоениях, в 1993 году Яу был мотивирован предположить, что существование метрики Кэлера – Эйнштейна на многообразии Фано должно быть эквивалентно некоторой форме условия алгебро-геометрической устойчивости самого многообразия. , так же как существование метрики Эрмита – Эйнштейна на голоморфном векторном расслоении равносильно ее устойчивости. Яу предположил, что это условие устойчивости должно быть аналогом устойчивости по наклону векторных расслоений.

В 1997 году Тиан предложил такое условие устойчивости, которое он назвал K-стабильностью в честь функционала K-энергии, введенного Тошики Мабучи . K первоначально обозначал кинетические из - за схожесть K-функционал энергии с кинетической энергией, и для немецкого kanonisch для канонического расслоения . Определение Тиана было аналитическим по своей природе и относилось к случаю многообразий Фано. Несколькими годами позже Дональдсон ввел описанное в этой статье алгебраическое условие, называемое K-стабильностью , которое имеет смысл на любом поляризованном многообразии и эквивалентно аналитическому определению Тиана в случае поляризованного многообразия, где - Фано. ${\ displaystyle (X, -K_ {X})}$${\ displaystyle X}$

Определение

В этом разделе мы работаем с комплексными числами , но основные положения определения применимы к любому полю. Поляризованное многообразие представляет собой пару , где представляет собой сложное алгебраическое многообразие и является обильным линейным расслоением на . Такое поляризованное многообразие оснащено вложением в проективное пространство с помощью конструкции Proj , ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle (X, L)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X \ cong \ operatorname {Proj} \ bigoplus _ {r \ geq 0} H ^ {0} \ left (X, L ^ {kr} \ right) \ hookrightarrow \ mathbb {P} \ left (H ^ {0} \ left (X, L ^ {k} \ right) ^ {*} \ right)}$

где любое положительное целое число достаточно велико , что является очень обильным , и поэтому каждое поляризованным разнообразие проективное . Изменение выбора обильного линейного расслоения на приводит к новому вложению в, возможно, другое проективное пространство. Следовательно, поляризованное многообразие можно рассматривать как проективное многообразие вместе с фиксированным вложением в некоторое проективное пространство . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle L ^ {k}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {N}}$

Критерий Гильберта-Мамфорда

K-устойчивость определяется по аналогии с критерием Гильберта – Мамфорда из конечномерной геометрической теории инвариантов . Эта теория описывает устойчивость точек на поляризованных многообразиях, тогда как K-устойчивость касается устойчивости самого поляризованного многообразия.

Критерий Гильберта – Мамфорда показывает, что для проверки устойчивости точки в проективном алгебраическом многообразии под действием редуктивной алгебраической группы достаточно рассмотреть однопараметрические подгруппы ( 1-PS ) группы . Чтобы продолжить, нужно взять 1-PS , скажем , и посмотреть на предельную точку. ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle X \ подмножество \ mathbb {CP} ^ {N}}$ ${\ Displaystyle G \ подмножество \ OperatorName {GL} (N + 1, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ lambda: \ mathbb {C} ^ {*} \ hookrightarrow G}$

${\ displaystyle x_ {0} = \ lim _ {t \ to 0} \ lambda (t) \ cdot x.}$

Это неподвижная точка действия 1-PS , поэтому прямая в аффинном пространстве сохраняется действием . Действие мультипликативной группы в одномерном векторном пространстве имеет вес , целое число, которое мы обозначаем , со свойством, что ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {N + 1}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ му (х, \ лямбда)}$

${\ Displaystyle \ лямбда (т) \ cdot {\ тильда {х}} = т ^ {\ му (х, \ лямбда)} {\ тильда {х}}}$

для любого волокна в конце . Критерий Гильберта-Мамфорда гласит: ${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

• Дело в полустабильно если для всех 1-PS .${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ му (х, \ лямбда) \ leq 0}$${\ displaystyle \ lambda <G}$
• Точка является устойчивым , если для всех 1-PS .${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ му (х, \ лямбда) <0}$${\ displaystyle \ lambda <G}$
• Точка является неустойчивой , если для любого 1-PS .${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ му (х, \ лямбда)> 0}$${\ displaystyle \ lambda <G}$

Если кто-то хочет определить понятие устойчивости для многообразий, критерий Гильберта-Мамфорда предполагает, что достаточно рассматривать однопараметрические деформации многообразия. Это приводит к понятию тестовой конфигурации.

Тестовые конфигурации

Тестовая конфигурация для поляризованного многообразия является парой , где это схема с плоским морфизмом и является относительно обильным линейным расслоением для морфизма , таким образом, что: ${\ displaystyle (X, L)}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle \ pi: {\ mathcal {X}} \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle \ pi}$

1. Для каждого , то многочлен Гильберта волокна равен многочленом Гильберта от . Это следствие плоскостности .${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {C}}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {t}, {\ mathcal {L}} _ {t})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (к)}$${\ displaystyle (X, L)}$${\ displaystyle \ pi}$
2. Существует действие on для семейства, охватывающее стандартное действие on .${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$
3. Для любых (а значит, и всяких) , как поляризованных разновидностей. В частности, вдали от семьи тривиально: где проекция на первый фактор.${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {t}, {\ mathcal {L}} _ {t}) \ cong (X, L)}$${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {t \ neq 0}, {\ mathcal {L}} _ {t \ neq 0}) \ cong (X \ times \ mathbb {C} ^ {*}, \ operatorname {pr} _ {1} ^ {*} L)}$${\ displaystyle \ operatorname {pr} _ {1}: X \ times \ mathbb {C} ^ {*} \ to X}$

Мы говорим, что тестовая конфигурация - это конфигурация продукта, если , и тривиальная конфигурация, если действие по первому фактору тривиально. ${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} \ cong X \ times \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {X}} \ cong X \ times \ mathbb {C}}$

Инвариант Дональдсона – Футаки.

Чтобы определить понятие устойчивости, аналогичное критерию Гильберта – Мамфорда, необходимо понятие веса на слое над тестовой конфигурацией поляризованного многообразия . По определению это семейство оснащено действием покрытия действия на основе, поэтому волокно тестовой конфигурации над фиксировано. То есть мы имеем действие на центральное волокно . В общем, это центральное волокно не гладкое или даже неоднородное. Есть несколько способов определить вес центрального волокна. Первое определение было дано с использованием версии Дин-Тиана обобщенного инварианта Футаки. Это определение является дифференциально-геометрическим и напрямую связано с проблемами существования в кэлеровой геометрии. Алгебраические определения были даны с использованием инвариантов Дональдсона-Футаки и CM-весов, определенных формулой пересечения. ${\ Displaystyle \ му ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle (X, L)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}} _ {0}, {\ mathcal {L}} _ {0})}$

По определению действие на поляризованной схеме сопровождается действием на обильном линейном расслоении и, следовательно, индуцирует действие на векторных пространствах для всех целых чисел . Действие функции на комплексном векторном пространстве индуцирует разложение прямой суммы на весовые пространства , каждое из которых является одномерным подпространством , а действие функции при ограничении на имеет вес . Определите общий вес действия как целое число . Это то же самое, что и вес индуцированного действия на одномерном векторном пространстве, где . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {0}}$${\ displaystyle H ^ {0} ({\ mathcal {X}} _ {0}, {\ mathcal {L}} _ {0} ^ {k})}$${\ Displaystyle к \ geq 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V = V_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus V_ {n}}$${\ displaystyle V_ {i}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle V_ {i}}$${\ displaystyle w_ {i}}$${\ Displaystyle ш = ш_ {1} + \ cdots + ш_ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ textstyle \ bigwedge ^ {n} V}$${\ Displaystyle п = \ тусклый V}$

Определите весовую функцию тестовой конфигурации как функцию, где - общий вес действия в векторном пространстве для каждого неотрицательного целого числа . Хотя функция в общем случае не является полиномом, она становится полиномом степени для всех некоторого фиксированного целого числа , где . В этом можно убедиться, используя эквивариантную теорему Римана-Роха. Напомним, что многочлен Гильберта удовлетворяет равенству для всех для некоторого фиксированного целого числа и является многочленом степени . Для таких напишем ${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ Displaystyle ш (к)}$${\ Displaystyle ш (к)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle H ^ {0} ({\ mathcal {X}} _ {0}, {\ mathcal {L}} _ {0} ^ {k})}$${\ Displaystyle к \ geq 0}$${\ Displaystyle ш (к)}$${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle k> k_ {0} \ gg 0}$${\ displaystyle k_ {0}}$${\ Displaystyle п = \ тусклый X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (к)}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (k) = \ dim H ^ {0} (X, L ^ {k}) = \ dim H ^ {0} ({\ mathcal {X}} _ {0} , {\ mathcal {L}} _ {0} ^ {k})}$${\ displaystyle k> k_ {1} \ gg 0}$${\ displaystyle k_ {1}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle к \ gg 0}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (k) = a_ {0} k ^ {n} + a_ {1} k ^ {n-1} + O (k ^ {n-2}), \ quad w (k) = b_ {0} k ^ {n + 1} + b_ {1} k ^ {n} + O (k ^ {n-1}).}$

Donaldson-Футаки инвариант в тестовой конфигурации является рациональным числом ${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$

${\ displaystyle \ operatorname {DF} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) = {\ frac {b_ {0} a_ {1} -b_ {1} a_ {0}} {a_ {0} ^ {2}}}.}$

В частности, где - член первого порядка в разложении ${\ displaystyle \ operatorname {DF} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) = - f_ {1}}$${\ displaystyle f_ {1}}$

${\ displaystyle {\ frac {w (k)} {k {\ mathcal {P}} (k)}} = f_ {0} + f_ {1} k ^ {- 1} + O (k ^ {- 2 }).}$

Инвариант Дональдсона-Футаки не меняется, если его заменить на положительную степень , поэтому в литературе K-устойчивость часто обсуждается с использованием -строчных расслоений . ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L ^ {r}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Инвариант Дональдсона-Футаки можно описать в терминах теории пересечений , и это был подход, использованный Тианом при определении CM-веса. Любая тестовая конфигурация допускает естественную компактификацию над (например, см.), Тогда CM-вес определяется как ${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ displaystyle ({\ bar {\ mathcal {X}}}, {\ bar {\ mathcal {L}}})}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$

${\ displaystyle CM ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) = {\ frac {1} {2 (n + 1) \ cdot L ^ {n}}} \ left (\ mu \ cdot n {({\ bar {\ mathcal {L}}})} ^ {n + 1} + (n + 1) {K} _ {{\ bar {\ mathcal {X}}} / {\ mathbb { P}} ^ {1}} \ cdot {({\ bar {\ mathcal {L}}})} ^ {n} \ right)}$

где . Это определение по формуле пересечения теперь часто используется в алгебраической геометрии. ${\ Displaystyle \ му = {\ гидроразрыва {L ^ {n-1} \ cdot K_ {X}} {L ^ {n}}}}$

Известно, что совпадает с , поэтому мы можем принять вес как или . Вес также может быть выражен в терминах формы Чоу и гипердискриминанта. В случае многообразий Фано существует интерпретация веса в терминах новой -инвариантности оценок, найденных Чи Ли и Кенто Фудзита. ${\ displaystyle \ operatorname {DF} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ Displaystyle \ OperatorName {CM} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ Displaystyle \ му ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ displaystyle \ operatorname {DF} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ Displaystyle \ OperatorName {CM} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ Displaystyle \ му ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ displaystyle \ beta}$

K-стабильность

Чтобы определить K-стабильность, нам нужно сначала исключить определенные тестовые конфигурации. Первоначально предполагалось, что следует просто игнорировать тривиальные тестовые конфигурации, как определено выше, чей инвариант Дональдсона-Футаки всегда равен нулю, но Ли и Сюй заметили, что при определении требуется больше внимания. Один изящный способ определения K-стабильности дал Секелихиди с использованием нормы тестовой конфигурации, которую мы сначала опишем.

Для тестовой конфигурации определите норму следующим образом. Позвольте быть бесконечно малым генератором действия на векторном пространстве . Тогда . Подобно многочленам и , функция является многочленом для достаточно больших целых чисел , в данном случае степени . Запишем его разложение в виде ${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ displaystyle A_ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle H ^ {0} (X, L ^ {k})}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Tr} (A_ {k}) = w (k)}$${\ Displaystyle ш (к)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (к)}$${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (A_ {k} ^ {2})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n + 2}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (A_ {k} ^ {2}) = c_ {0} k ^ {n + 2} + O (k ^ {n + 1}).}$

Норма конфигурации тестовой определяется выражением

${\ displaystyle \ | ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) \ | ^ {2} = c_ {0} - {\ frac {b_ {0} ^ {2}} {a_ { 0}}}.}$

По аналогии с критерием Гильберта-Мамфорда, если у человека есть понятие деформации (тестовая конфигурация) и веса на центральном слое (инвариант Дональдсона-Футаки), можно определить условие устойчивости, называемое K-устойчивостью .

Позвольте быть поляризованным алгебраическим многообразием. Мы говорим, что это: ${\ displaystyle (X, L)}$${\ displaystyle (X, L)}$

• K-полустабильно, если для всех тестовых конфигураций для .${\ Displaystyle \ OperatorName {\ mu} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) \ geq 0}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ displaystyle (X, L)}$
• К-устойчивым , если для всех тестовых конфигураций для , и , кроме того , когда .${\ Displaystyle \ OperatorName {\ mu} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) \ geq 0}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ displaystyle (X, L)}$${\ displaystyle \ operatorname {\ mu} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})> 0}$${\ Displaystyle \ | ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) \ |> 0}$
• K-полистабильный, если является K-полустабильным, и, кроме того, всякий раз , когда тестовая конфигурация является конфигурацией продукта.${\ displaystyle (X, L)}$${\ displaystyle \ operatorname {\ mu} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) = 0}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$
• K-нестабильно, если оно не K-полустабильно.

Гипотеза Яу – Тиан – Дональдсона.

K-устойчивость была первоначально введена как алгебро-геометрическое условие, которое должно характеризовать существование метрики Кэлера – Эйнштейна на многообразии Фано. Эта гипотеза стала известна как гипотеза Яу – Тиан – Дональдсона (для многообразий Фано) и была положительно разрешена в 2012 году Сюксюн Ченом , Саймоном Дональдсоном и Сон Сун , следуя стратегии, основанной на методе непрерывности в отношении угол конуса метрики Кэлера – Эйнштейна с коническими особенностями вдоль фиксированного антиканонического дивизора, а также углубленное использование теории Чигера – Колдинга – Тиана пределов Громова – Хаусдорфа кэлеровых многообразий с границами Риччи. Доказательство, основанное на той же технике, было предоставлено одновременно Тианом. Вскоре после этого, в 2015 году, доказательство, основанное на «классическом» методе непрерывности, было предоставлено Датаром и Секелихиди, за которым последовало еще одно доказательство Чена – Сан – Ванга, основанное на потоке Келера – Риччи. Берман-Буксом-Йонссон также представил доказательство с помощью вариационного подхода. Премия Веблена 2019 года была присуждена Чену, Дональдсону и Сан за их работу. Дональдсон был удостоен премии 2015 года за прорыв в математике частично за его вклад в доказательство, а Сон Сан был награжден премией за открытие новых горизонтов 2021 года частично за свой вклад. Они утверждали, что работа Тиана, опубликованная одновременно с их собственной, содержит некоторые математические ошибки и материал, который следует приписать им; Тиан оспорил их претензии.

Теорема (Чен – Дональдсон – Сан, Тиан, Датар – Секелихиди, Чен – Сан – Ван и Берман – Буксом – Йонссон) : многообразие Фано допускает метрику Кэлера – Эйнштейна в классе тогда и только тогда, когда пара является K- полистабильный.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle c_ {1} (X)}$${\ displaystyle (X, -K_ {X})}$

Расширение келерова метрики постоянной скалярной кривизны

Ожидается, что гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона должна применяться в более общем смысле к метрикам cscK над произвольными гладкими поляризованными многообразиями. Фактически, гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона относится к этой более общей ситуации, причем случай многообразий Фано является частным случаем, о котором ранее предположили Яу и Тиан. Дональдсон построил гипотезу Яу и Тиана из случая Фано после того, как было введено его определение K-устойчивости для произвольных поляризованных многообразий.

Гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона : гладкое поляризованное многообразие допускает кэлерову метрику постоянной скалярной кривизны в классе тогда и только тогда, когда пара K-полистабильна.${\ displaystyle (X, L)}$${\ displaystyle c_ {1} (L)}$${\ displaystyle (X, L)}$

Как уже говорилось, гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона была разрешена в условиях Фано. В 2009 году Дональдсон доказал, что гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона верна для торических многообразий комплексной размерности 2. Для произвольных поляризованных многообразий Стоппа, также используя работы Ареццо и Пакарда, доказал, что существование метрики cscK влечет К-полистабильность. Это в некотором смысле легкое направление гипотезы, поскольку оно предполагает существование решения сложного уравнения в частных производных и приводит к сравнительно легкому алгебраическому результату. Существенная проблема состоит в том, чтобы доказать обратное направление, что чисто алгебраическое условие подразумевает существование решения для уравнения в частных производных.

Примеры

Гладкие кривые

Со времен оригинальной работы Пьера Делиня и Дэвида Мамфорда известно, что гладкие алгебраические кривые асимптотически устойчивы в смысле геометрической теории инвариантов и, в частности, являются K-устойчивыми. В этом случае гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона эквивалентна теореме униформизации . А именно, каждая гладкая кривая допускает метрику Кэлера – Эйнштейна постоянной скалярной кривизны либо в случае проективной прямой , либо в случае эллиптических кривых , либо в случае компактных римановых поверхностей рода . ${\ displaystyle +1}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle g> 1}$

Торические разновидности

K-стабильность была первоначально введена Дональдсоном в контексте торических многообразий . В торической постановке многие сложные определения K-устойчивости упрощаются до данных о многограннике моментов поляризованного торического многообразия . Во-первых, известно, что для проверки K-устойчивости достаточно рассматривать торические тестовые конфигурации , где все пространство тестовой конфигурации также является торической разновидностью. Любая такая торическая тестовая конфигурация может быть элегантно описана выпуклой функцией на многограннике моментов, и Дональдсон первоначально определил K-устойчивость для таких выпуклых функций. Если торическая тестовая конфигурация для задается выпуклой функцией на , то инвариант Дональдсона-Футаки можно записать как ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle (X_ {P}, L_ {P})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}})}$${\ displaystyle (X_ {P}, L_ {P})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ operatorname {DF} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) = {\ frac {1} {2}} {\ mathcal {L}} (f) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ int _ {\ partial P} f \, d \ sigma -a \ int _ {P} f \, d \ mu \ right),}$

где - мера Лебега на , - каноническая мера на границе, возникающая из ее описания как многогранника моментов (если ребро задается линейным неравенством для некоторого аффинного линейного функционала h на с целыми коэффициентами, то ), и . Дополнительно норма тестовой конфигурации может быть выражена следующим образом: ${\ displaystyle d \ mu}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle d \ sigma}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle ч (х) \ Leq а}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle d \ mu = \ pm dh \ wedge d \ sigma}$${\ displaystyle a = \ operatorname {Vol} (\ partial P, d \ sigma) / \ operatorname {Vol} (P, d \ mu)}$

${\ displaystyle \ left \ | ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) \ right \ | = \ left \ | f - {\ bar {f}} \ right \ | _ {L ^ {2}},}$

где - среднее значение по отношению к . ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle d \ mu}$

Дональдсон показал, что для торических поверхностей достаточно проверить выпуклые функции особенно простого вида. Мы говорим, что функция выпукла на это кусочно-линейной , если она может быть записана как максимум для некоторых аффинных линейных функционалов . Обратите внимание, что по определению константы инвариант Дональдсона-Футаки инвариантен относительно добавления аффинного линейного функционала, поэтому мы всегда можем принять одну из констант в качестве функции . Мы говорим, что функция выпукла является простым кусочно-линейной , если она не более двух функций, и поэтому дается для некоторой аффинной линейной функции и простой рациональные кусочно-линейной , если имеют рациональные cofficients. Дональдсон показал, что для торических поверхностей достаточно проверить K-устойчивость только на простых рациональных кусочно-линейных функциях. Такой результат силен, поскольку можно легко вычислить инварианты Дональдсона-Футаки таких простых тестовых конфигураций и, следовательно, вычислить, когда данная торическая поверхность является K-стабильной. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle f = \ max (h_ {1}, \ dots, h_ {n})}$${\ displaystyle h_ {1}, \ dots, h_ {n}}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (е)}$${\ displaystyle h_ {i}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle f = \ max (0, h)}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h}$

Пример K-неустойчивое многообразие задается торической поверхностью , первые Хирцебруха поверхность , которая является взрывает в комплексной проективной плоскости в точке, по отношению к поляризации , заданной , где это раздутие и исключительное делитель. ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {1} = \ operatorname {Bl} _ {0} \ mathbb {CP} ^ {2}}$${\ textstyle L = {\ гидроразрыва {1} {2}} (\ pi ^ {*} {\ mathcal {O}} (2) -E)}$${\ displaystyle \ pi: \ mathbb {F} _ {1} \ to \ mathbb {CP} ^ {2}}$${\ displaystyle E}$

Мера на горизонтальной и вертикальной граничных гранях многогранника равна и . На диагональной грани мера равна . Рассмотрим выпуклую функцию на этом многограннике. потом ${\ displaystyle d \ sigma}$${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle dy}$${\ Displaystyle х + у = 2}$${\ displaystyle (dx-dy) / 2}$${\ Displaystyle е (х, у) = х + у}$

${\ Displaystyle \ int _ {P} е \, d \ mu = {\ frac {11} {6}}, \ qquad \ int _ {\ partial P} f \, d \ sigma = 6,}$

а также

${\ displaystyle \ operatorname {Vol} (P, d \ mu) = {\ frac {3} {2}}, \ qquad \ operatorname {Vol} (\ partial P, d \ sigma) = 5,}$

Таким образом

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (f) = 6 - {\ frac {55} {9}} = - {\ frac {1} {9}} <0,}$

и поэтому первая поверхность Хирцебруха является K-неустойчивой. ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {1}}$

Альтернативные понятия

Стабильность Гильберта и Чоу

K-устойчивость возникает из аналогии с критерием Гильберта-Мамфорда для конечномерной геометрической теории инвариантов. Можно напрямую использовать геометрическую теорию инвариантов для получения других понятий устойчивости для многообразий, которые тесно связаны с K-стабильностью.

Возьмем поляризованное многообразие с многочленом Гильберта и зафиксируем такое, которое очень обильно с исчезающими высшими когомологиями. Затем пара может быть отождествлена ​​с точкой в схеме Гильберта подсхем с полиномом Гильберта . ${\ displaystyle (X, L)}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle L ^ {r}}$${\ displaystyle (X, L ^ {r})}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {{\ mathcal {P}} (г) -1}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} '(K) = {\ mathcal {P}} (Kr)}$

Эта схема Гильберта может быть вложена в проективное пространство как подсхема грассманиана (который проективен через вложение Плюккера ). Общая линейная группа действует на этой схеме Гильберта, и две точки в схеме Гильберта эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие поляризованные многообразия изоморфны. Таким образом, можно использовать геометрическую теорию инвариантов для действия этой группы, чтобы дать понятие устойчивости. Эта конструкция зависит от выбора , поэтому говорят, что поляризованное многообразие асимптотически гильбертово устойчиво, если оно устойчиво относительно этого вложения для всех достаточно больших и некоторых фиксированных . ${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} ({\ mathcal {P}} (г), \ mathbb {C})}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle r> r_ {0} \ gg 0}$${\ displaystyle r_ {0}}$

Существует еще одно проективное вложение схемы Гильберта, называемое вложением Чоу, которое обеспечивает другую линеаризацию схемы Гильберта и, следовательно, другое условие устойчивости. Таким образом, аналогично можно определить асимптотическую устойчивость по Чжоу . Явно вес Чоу для фиксированного может быть вычислен как ${\ displaystyle r> 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {Chow} _ {r} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) = {\ frac {rb_ {0}} {a_ {0}}} - {\ frac {ш (г)} {{\ mathcal {P}} (г)}}}$

для достаточно больших. В отличие от инварианта Дональдсона-Футаки, вес Чоу изменяется, если линейный пучок заменяется некоторой степенью . Однако из выражения ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L ^ {k}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Chow} _ {rk} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L ^ {k}}}) = {\ frac {krb_ {0}} {a_ {0}}} - {\ frac {w (kr)} {{\ mathcal {P}} (kr)}}}$

можно заметить, что

${\ displaystyle \ operatorname {DF} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {L}}) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ operatorname {Chow} _ {rk} ({\ mathcal { X}}, {\ mathcal {L ^ {k}}}),}$

и поэтому K-стабильность в некотором смысле является пределом устойчивости по Чоу, поскольку размерность проективного пространства вложена в бесконечность. ${\ displaystyle X}$

Аналогичным образом можно определить асимптотическую полустабильность Чоу и асимптотическую полустабильность Гильберта, и различные понятия устойчивости связаны следующим образом:

Асимптотически устойчивый по Чоу Асимптотически устойчивый по Гильберту Асимптотически полустабильный по Гильберту Асимптотически полустабильный по Чжоу K-полустабильный ${\ displaystyle \ implies}$${\ displaystyle \ implies}$${\ displaystyle \ implies}$${\ displaystyle \ implies}$

Однако неизвестно, следует ли из K-устойчивости асимптотическую устойчивость по Чжоу.

Наклон K-стабильность

Первоначально Яу предсказал, что правильное понятие устойчивости для многообразий должно быть аналогично устойчивости по наклону для векторных расслоений. Джулиус Росс и Ричард Томас разработали теорию устойчивости склонов для разновидностей, известную как K-устойчивость уклона . Росс и Томас показали, что любая тестовая конфигурация по существу получается раздутием многообразия по последовательности инвариантных идеалов с носителями на центральном слое. Этот результат в основном принадлежит Дэвиду Мамфорду. Явно, в каждой тестовой конфигурации преобладает взлет идеала формы ${\ Displaystyle X \ раз \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ Displaystyle X \ раз \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle I = I_ {0} + tI_ {1} + t ^ {2} I_ {2} + \ cdots + t ^ {r-1} I_ {r-1} + (t ^ {r}) \ подмножество {\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes \ mathbb {C} [t],}$

где - координата на . Заручившись поддержкой идеалов, это соответствует взорванию флага подсхем ${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle Z_ {r-1} \ subset \ cdots \ subset Z_ {2} \ subset Z_ {1} \ subset Z_ {0} \ subset X}$

внутри копии с . Это разложение можно получить, по существу, взяв разложение инвариантного идеала в весовом пространстве под действием. ${\ Displaystyle Х \ раз \ {0 \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$

В частном случае, когда этот флаг подсхем имеет длину один, инвариант Дональдсона-Футаки может быть легко вычислен, и мы приходим к K-устойчивости наклона. Для подсхемы, определяемой идеальным пучком , тестовая конфигурация задается следующим образом: ${\ Displaystyle Z \ подмножество X}$ ${\ displaystyle I_ {Z}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {X}} = \ operatorname {Bl} _ {Z \ times \ {0 \}} (X \ times \ mathbb {C}),}$

что является деформацией нормального конуса вложения . ${\ Displaystyle Z \ hookrightarrow X}$

Если многообразие имеет многочлен Гильберта , определяет наклон от быть ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (k) = a_ {0} k ^ {n} + a_ {1} k ^ {n-1} + O (k ^ {n-2})}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ mu (X) = {\ frac {a_ {1}} {a_ {0}}}.}$

Чтобы определить наклон подсхемы , рассмотрим полином Гильберта-Самуэля подсхемы , ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle \ chi (L ^ {r} \ otimes I_ {Z} ^ {xr}) = a_ {0} (x) r ^ {n} + a_ {1} (x) r ^ {n-1} + O (г ^ {п-2}),}$

для и рациональное число такое, что . Коэффициенты являются полиномами от степени , а K-наклон по отношению к определяется выражением ${\ displaystyle r \ gg 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle xr \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle а_ {я} (х)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle ni}$${\ displaystyle I_ {Z}}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ mu _ {c} (I_ {Z}) = {\ frac {\ int _ {0} ^ {c} {\ big (} a_ {1} (x) + {\ frac {a_ {0) } '(x)} {2}} {\ big)} \, dx} {\ int _ {0} ^ {c} a_ {0} (x) \, dx}}.}.}$

Это определение имеет смысл при любом выборе действительного числа , где является постоянной Сешадри из . Обратите внимание, что при взятии мы восстанавливаем наклон . Пара является наклонной K-полустабильной, если для всех собственных подсхем , для всех (можно также определить наклонную K-устойчивость и наклонную K-полистабильность , требуя, чтобы это неравенство было строгим, с некоторыми дополнительными техническими условиями). ${\ displaystyle c \ in (0, \ epsilon (Z)]}$${\ displaystyle \ epsilon (Z)}$${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle Z = \ emptyset}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, L)}$${\ Displaystyle Z \ подмножество X}$${\ Displaystyle \ му _ {с} (I_ {Z}) \ leq \ mu (X)}$${\ displaystyle c \ in (0, \ epsilon (Z)]}$

Росс и Томас показали, что K-полустабильность влечет наклонную K-полустабильность. Однако, в отличие от векторных расслоений, K-устойчивость по наклону не означает K-устойчивость. В случае векторных расслоений достаточно рассматривать только отдельные подпучки, но для многообразий необходимо также учитывать флаги длины больше единицы. Несмотря на это, K-стабильность наклона все еще может использоваться для идентификации K-нестабильных разновидностей и, следовательно, по результатам Стоппы, препятствовать существованию метрик cscK. Например, Росс и Томас используют наклонную K-устойчивость, чтобы показать, что проективизация нестабильного векторного расслоения над K-стабильной базой является K-нестабильной и поэтому не допускает метрики cscK. Это противоположно результатам Хонга, которые показывают, что проективизация стабильного расслоения на базу, допускающую метрику cscK, также допускает метрику cscK и, следовательно, является K-стабильной.

Фильтрация K-стабильность

Работа Апостолова – Кальдербанка – Годюшона – Тоннесена-Фридмана показывает существование многообразия, которое не допускает какой-либо экстремальной метрики, но, по-видимому, не дестабилизируется какой-либо тестовой конфигурацией. Это говорит о том, что данное здесь определение K-устойчивости может быть недостаточно точным, чтобы в целом вытекала гипотеза Яу – Тиана – Дональдсона. Тем не менее, этот пример является дестабилизируются пределом тестовых конфигураций. Это уточнил Секелихиди , который ввел K-стабильность фильтрации . Фильтрация здесь - это фильтрация координатного кольца

${\ displaystyle R = \ bigoplus _ {k \ geq 0} H ^ {0} (X, L ^ {k})}$

поляризованного разнообразия . Фильтрации Рассмотренные должны быть совместимы с градуировкой на координатного кольца в следующем смысле: А filtation из представляет собой цепочку конечномерных подпространств ${\ displaystyle (X, L)}$ ${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} = F_ {0} R \ subset F_ {1} R \ subset F_ {2} R \ subset \ dots \ subset R}$

такие, что выполняются следующие условия:

1. Фильтрация мультипликативная . То есть для всех .${\ displaystyle (F_ {i} R) (F_ {j} R) \ subset F_ {i + j} R}$${\ displaystyle i, j \ geq 0}$
2. Фильтрация совместима с сортировкой по сортированным кускам . То есть, если , то каждый однородный кусок находится внутри .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R_ {k} = H ^ {0} (X, L ^ {k})}$${\ displaystyle f \ in F_ {i} R}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F_ {i} R}$
3. Выхлоп фильтрации . То есть у нас есть .${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle \ bigcup _ {я \ geq 0} F_ {я} R = R}$

Для данной фильтрации ее алгебра Риса определяется формулой ${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle \ operatorname {Rees} (\ chi) = \ bigoplus _ {i \ geq 0} (F_ {i} R) t ^ {i} \ subset R [t].}$

Мы говорим, что фильтрация конечно порождена, если ее алгебра Риса конечно порождена. Дэвид Витт Нистрем доказал, что фильтрация конечно порождена тогда и только тогда, когда она возникает из тестовой конфигурации, а Секелихиди доказал, что любая фильтрация является пределом конечно порожденных фильтраций. Объединив эти результаты, Секелихиди заметил, что пример Апостолова-Кальдербанка-Гаудюшона-Тоннесена-Фридмана не нарушил бы гипотезу Яу-Тиана-Дональдсона, если бы K-устойчивость была заменена фильтрационной K-устойчивостью. Это говорит о том, что определение K-стабильности может потребоваться отредактировать, чтобы учесть эти ограничивающие примеры.

Смотрите также

• Кэлерово многообразие
• Метрика Кэлера – Эйнштейна
• Геометрическая теория инвариантов
• Гипотеза Калаби
• Переписка Кобаяши – Хитчина
• Стабильная кривая

использованная литература

Примечания