Последовательность Майера – Виеториса - Mayer–Vietoris sequence

В математике , особенно алгебраическая топология и гомология теория , то последовательность Майер-Виторис является алгебраическим инструментом помощи вычислительные алгебраические инварианты из топологических пространств , известных как их гомологии и когомологий групп . Результатом стали два австрийских математика, Вальтер Майер и Леопольд Виеторис . Метод состоит в разбиении пространства на подпространства , для которых группы гомологий или когомологий может быть легче вычислить. Последовательность связывает группы (ко) гомологий пространства с группами (ко) гомологий подпространств. Это естественная длинная точная последовательность , элементами которой являются группы (ко) гомологий всего пространства, прямая сумма групп (ко) гомологий подпространств и группы (ко) гомологий пересечения подпространств.

Последовательность Майера – Виеториса верна для множества теорий когомологий и гомологий , включая симплициальные гомологии и сингулярные когомологии . В общем, последовательность верна для тех теорий, удовлетворяющих аксиомам Эйленберга – Стинрода , и имеет вариации как для приведенных, так и для относительных (ко) гомологий. Поскольку (ко) гомологии большинства пространств не могут быть вычислены непосредственно из их определений, в надежде получить частичную информацию используются такие инструменты, как последовательность Майера – Виеториса. Многие пространства, встречающиеся в топологии, создаются путем объединения очень простых участков. Тщательный выбор двух покрывающих подпространств так, чтобы вместе с их пересечением они имели более простые (ко) гомологии, чем гомология всего пространства, может позволить полностью вывести (ко) гомологии пространства. В этом отношении последовательность Майера – Виеториса аналогична теореме Зейферта – ван Кампена для фундаментальной группы , и точное соотношение существует для гомологий размерности один.

Предпосылки, мотивация и история

Леопольд Виеторис к 110-летию со дня рождения

Подобно фундаментальной группе или высшим гомотопическим группам пространства, группы гомологий являются важными топологическими инвариантами. Хотя некоторые теории (ко) гомологий вычислимы с использованием инструментов линейной алгебры , многие другие важные теории (ко) гомологий, особенно сингулярные (ко) гомологии, не вычисляются непосредственно из их определения для нетривиальных пространств. Для сингулярных (ко) гомологий группы особых (ко) цепей и (ко) циклов часто слишком велики, чтобы обращаться с ними напрямую. Необходимы более тонкие и косвенные подходы. Последовательность Майера – Виеториса является таким подходом, дающим частичную информацию о группах (ко) гомологий любого пространства, связывая его с группами (ко) гомологий двух его подпространств и их пересечением.

Наиболее естественный и удобный способ выразить свое отношение предполагает алгебраическое понятие точных последовательностей : последовательности объектов (в данном случае группах ) и морфизмы (в данном случае группы гомоморфизмах ) между ними таким образом, что изображение одного морфизма равно ядром из следующий. В общем, это не позволяет полностью вычислить группы (ко) гомологий пространства. Однако, поскольку многие важные пространства, встречающиеся в топологии, представляют собой топологические многообразия , симплициальные комплексы или CW-комплексы , которые строятся путем соединения вместе очень простых фрагментов, теорема, подобная теореме Майера и Виеториса, потенциально имеет широкое и глубокое применение.

Майера познакомил с топологией его коллега Виеторис, когда он посещал свои лекции в 1926 и 1927 годах в местном университете в Вене . Ему рассказали о предполагаемом результате и способе его решения, и он решил вопрос для чисел Бетти в 1929 году. Он применил свои результаты к тору, который рассматривается как объединение двух цилиндров. Позднее Вьеторис доказал полный результат для групп гомологий в 1930 году, но не выразил его в виде точной последовательности. Концепция точной последовательности появилась в печати только в 1952 году в книге Сэмюэля Эйленберга и Нормана Стинрода « Основы алгебраической топологии », где результаты Майера и Виеториса были выражены в современной форме.

Основные версии сингулярных гомологий

Пусть X является топологическим пространством и , B два подпространства , чьи интерьеры покрывают X . (Внутренности A и B не обязательно должны быть непересекающимися.) Последовательность Майера – Вьеториса в сингулярных гомологиях для триады ( X , A , B ) - это длинная точная последовательность, связывающая группы особых гомологий (с группой коэффициентов - целые числа Z ) пространства Х , , B , и пересечение ∩ B . Есть нередуцированная и сокращенная версия.

Нередуцированная версия

Для нередуцированной гомологии последовательность Майера – Виеториса утверждает, что следующая последовательность является точной:

${\ displaystyle \ cdots \ to H_ {n + 1} (X) \, {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H_ {n} (A \ cap B) \, {\ xrightarrow {(i_ {*}, j _ {*})}} \, H_ {n} (A) \ oplus H_ {n} (B) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ { n} (X) \, {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H_ {n-1} (A \ cap B) \ to \ cdots}$

${\ displaystyle \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ cdots \ к H_ {0} (A) \ oplus H_ {0} (B) \, { \ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ {0} (X) \ to 0.}$

Здесь i  : A ∩ B ↪ A , j  : A ∩ B ↪ B , k  : A ↪ X и l  : B ↪ X - отображения включения и обозначают прямую сумму абелевых групп . ${\ displaystyle \ oplus}$

Граничная карта

Иллюстрация граничного отображения ∂ _* на торе , где 1-цикл х = у + v является суммой двух 1-цепей, граница которых лежит в пересечении A и B .

Граничные карты ∂ _∗, понижающие размерность, можно определить следующим образом. Элемент в H _n ( X ) - это класс гомологии n -цикла x, который, например , путем барицентрического подразделения может быть записан как сумма двух n -цепей u и v , образы которых полностью лежат в A и B соответственно . Таким образом, ∂ x = ∂ ( u + v ) = 0, так что ∂ u = −∂ v . Это означает , что образы обоих этих граничных ( п - 1) -циклов содержатся в пересечении ∩ B . Тогда ∂ _∗ ([ x ]) можно определить как класс ∂ u в H _{n −1} ( A ∩ B ). Выбор другого разложения x = u ′ + v ′ не влияет на [∂ u ], поскольку ∂ u + ∂ v = ∂ x = ∂ u ′ + ∂ v ′ , откуда следует ∂ u - ∂ u ′ = ∂ ( v ′ - v ), поэтому ∂ u и ∂ u ′ принадлежат одному классу гомологий; а также не выбрать другой репрезентативной х ' , так как тогда ∂ х' = ∂ х = 0. Отметим , что карты в последовательности Майера-Виеториса зависит от выбора порядка для A и B . В частности, карта границ меняет знак, если местами A и B поменять местами.

Уменьшенная версия

Для редуцированных гомологий также существует последовательность Майера – Виеториса в предположении, что A и B имеют непустое пересечение. Последовательность идентична для положительных размеров и заканчивается следующим образом:

${\ displaystyle \ cdots \ to {\ tilde {H}} _ {0} (A \ cap B) \, {\ xrightarrow {(i _ {*}, j _ {*})}} \, {\ tilde {H }} _ {0} (A) \ oplus {\ tilde {H}} _ {0} (B) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, {\ tilde {H} } _ {0} (X) \ до 0.}$

Аналогия с теоремой Зейферта – ван Кампена.

Существует аналогия между последовательностью Майера – Виеториса (особенно для групп гомологий размерности 1) и теоремой Зейферта – ван Кампена . Всякий раз, когда она линейно связна , редуцированная последовательность Майера – Виеториса дает изоморфизм ${\ displaystyle A \ cap B}$

${\ displaystyle H_ {1} (X) \ cong (H_ {1} (A) \ oplus H_ {1} (B)) / {\ text {Ker}} (k _ {*} - l _ {*})}$

где по точности

${\ displaystyle {\ text {Ker}} (k _ {*} - l _ {*}) \ cong {\ text {Im}} (i _ {*}, j _ {*}).}$

Это в точности абелианизированная формулировка теоремы Зейферта – ван Кампена. Сравните с фактом абелианизации фундаментальной группы, когда она линейно связна. ${\ displaystyle H_ {1} (X)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle X}$

Основные приложения

k- сфера

Разложение для X = S ²

Чтобы полностью вычислить гомологии k -сферы X = S ^k , пусть A и B - две полусферы X с гомотопией пересечения, эквивалентные ( k - 1) -мерной экваториальной сфере. Так как K - мерное полушария гомеоморфное к K -Дисков, которые являются сжимаемыми , группа гомологии для A и B является тривиальной . Тогда последовательность Майера – Виеториса для редуцированных групп гомологии дает

${\ displaystyle \ cdots \ longrightarrow 0 \ longrightarrow {\ tilde {H}} _ {n} \! \ left (S ^ {k} \ right) \, {\ xrightarrow {\ overset {} {\ partial _ {* }}}} \, {\ tilde {H}} _ {n-1} \! \ left (S ^ {k-1} \ right) \ longrightarrow 0 \ longrightarrow \ cdots}$

Из точности сразу следует, что отображение ∂ _* является изоморфизмом. Используя приведенные гомологии в 0-области (две точки) в качестве базового варианта , следует

${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {n} \! \ left (S ^ {k} \ right) \ cong \ delta _ {kn} \, \ mathbb {Z} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ mbox {if}} n = k \\ 0 & {\ mbox {if}} n \ neq k \ end {case}}}$

где δ - символ Кронекера . Такое полное понимание гомологических групп сфер резко контрастирует с нынешними знаниями о гомотопических группах сфер , особенно для случая n > k, о котором мало что известно.

Бутылка Клейна

Бутылка Клейна ( фундаментальный многоугольник с соответствующими обозначениями краев) разложена на две полосы Мёбиуса A (синим цветом) и B (красным).

Несколько более сложно применение последовательности Майера-Виеториса является вычисление групп гомологии бутылки Клейна X . Один использует разложение X как объединение двух лент Мёбиуса A и B, приклеенных вдоль их граничной окружности (см. Иллюстрацию справа). Тогда , В и их пересечение ∩ B являются гомотопически эквивалентны окружностям, поэтому нетривиальной части выходов последовательностей

${\ displaystyle 0 \ rightarrow {\ тильда {H}} _ {2} (X) \ rightarrow \ mathbb {Z} \ {\ xrightarrow {\ overset {} {\ alpha}}} \ \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ rightarrow \, {\ tilde {H}} _ {1} (X) \ rightarrow 0}$

а тривиальная часть подразумевает исчезающие гомологии для размерностей больше 2. Центральное отображение α переводит 1 в (2, −2), поскольку граничная окружность ленты Мёбиуса дважды оборачивается вокруг сердцевинной окружности. В частности, α инъективен, поэтому гомологии размерности 2 также равны нулю. Наконец, выбирая (1, 0) и (1, −1) в качестве основы для Z ² , получаем

${\ Displaystyle {\ тильда {H}} _ {n} \ влево (X \ вправо) \ cong \ delta _ {1n} \, (\ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2} & {\ mbox {if}} n = 1 \\ 0 & {\ mbox {if}} n \ neq 1 \ end { случаи}}}$

Суммы клина

Это разложение клина сумма X два 2-сфер K и L дает все группы гомологии X .

Пусть Х является клиновидной суммой двух пространств K и L , и , кроме того , предположим , что идентифицированный Basepoint является деформационным ретрактом из открытых окрестностей U ⊆ K и V ⊆ L . Полагая A = K ∪ V и B = U ∪ L, получаем, что A ∪ B = X и A ∩ B = U ∪ V , что стягиваемо по построению. Тогда сокращенная версия последовательности дает (по точности)

${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {n} (K \ vee L) \ cong {\ tilde {H}} _ {n} (K) \ oplus {\ tilde {H}} _ {n} ( L)}$

для всех размеров n . Иллюстрации справа показывает X в виде суммы двух 2- х сфер K и L . Для этого конкретного случая, используя результат выше для 2-сфер, мы имеем

${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {n} \ left (S ^ {2} \ vee S ^ {2} \ right) \ cong \ delta _ {2n} \, (\ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}) = \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} & {\ mbox {if}} n = 2 \\ 0 & {\ mbox {if}} n \ neq 2 \ end {matrix}} \ right.}$

Подвески

Это разложение подвески X от 0-сферы Y дает все группы гомологии X .

Если X - надстройка SY пространства Y , пусть A и B - дополнения в X верхней и нижней «вершин» двойного конуса соответственно. Тогда X - это объединение A ∪ B , причем A и B стягиваемы. Кроме того , пересечение ∩ B гомотопически эквивалентно Y . Следовательно , выходы последовательности Майера-Вьеторис, для всех п ,

${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {n} (SY) \ cong {\ tilde {H}} _ {n-1} (Y)}$

Иллюстрации справа показывает 1-сферу Х в виде суспензии в 0-сфере Y . Заметив в общем, что k- сфера является подвешиванием ( k - 1) -сферы, легко вывести группы гомологий k -сферы по индукции, как указано выше .

Дальнейшее обсуждение

Относительная форма

Относительная форма последовательности Майера-Виеториса также не существует. Если Y ⊂ X и является объединением C ⊂ A и D ⊂ B , то точная последовательность такова:

${\ displaystyle \ cdots \ to H_ {n} (A \ cap B, C \ cap D) \, {\ xrightarrow {(i _ {*}, j _ {*})}} \, H_ {n} (A, C) \ oplus H_ {n} (B, D) \, {\ xrightarrow {k _ {*} - l _ {*}}} \, H_ {n} (X, Y) \, {\ xrightarrow {\ partial _ {*}}} \, H_ {n-1} (A \ cap B, C \ cap D) \ to \ cdots}$

Натуральность

Группы гомологий естественны в том смысле, что если является непрерывным отображением, то существует каноническое прямое отображение групп гомологий, такое что композиция прямых поступлений является прямым направлением композиции: то есть последовательность Майера – Виеториса также естественна в смысл, что если ${\ displaystyle f: X_ {1} \ to X_ {2}}$${\ displaystyle f _ {*}: H_ {k} (X_ {1}) \ to H_ {k} (X_ {2})}$${\ displaystyle (g \ circ h) _ {*} = g _ {*} \ circ h _ {*}.}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} X_ {1} = A_ {1} \ cup B_ {1} \\ X_ {2} = A_ {2} \ cup B_ {2} \ end {matrix}} \ qquad { \ text {and}} \ qquad {\ begin {matrix} f (A_ {1}) \ subset A_ {2} \\ f (B_ {1}) \ subset B_ {2} \ end {matrix}}}$

то соединительный морфизм последовательности Майера – Виеториса коммутирует с . То есть коммутирует следующая диаграмма (горизонтальные карты - обычные): ${\ displaystyle \ partial _ {*},}$${\ displaystyle f _ {*}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ cdots & H_ {n + 1} (X_ {1}) & \ longrightarrow & H_ {n} (A_ {1} \ cap B_ {1}) & \ longrightarrow & H_ {n} ( A_ {1}) \ oplus H_ {n} (B_ {1}) & \ longrightarrow & H_ {n} (X_ {1}) & \ longrightarrow & H_ {n-1} (A_ {1} \ cap B_ {1} ) & \ longrightarrow & \ cdots \\ & f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} && f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} && f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} && f _ {*} {\ Bigg \ downarrow} && f_ {*} {\ Bigg \ downarrow} \\\ cdots & H_ {n + 1} (X_ {2}) & \ longrightarrow & H_ {n} (A_ {2} \ cap B_ {2}) & \ longrightarrow & H_ {n } (A_ {2}) \ oplus H_ {n} (B_ {2}) & \ longrightarrow & H_ {n} (X_ {2}) & \ longrightarrow & H_ {n-1} (A_ {2} \ cap B_ { 2}) & \ longrightarrow & \ cdots \\\ end {matrix}}}$

Когомологические версии

Майер-Виторис длинного точная последовательность для сингулярных когомологий групп с коэффициентом группы G является двойной гомологической версией. Это следующее:

${\ Displaystyle \ cdots \ к H ^ {n} (X; G) \ к H ^ {n} (A; G) \ oplus H ^ {n} (B; G) \ к H ^ {n} (A \ cap B; G) \ to H ^ {n + 1} (X; G) \ to \ cdots}$

где сохраняющие размерность отображения являются ограничивающими отображениями, индуцированными из включений, а (ко-) граничные отображения определены аналогично гомологической версии. Есть и относительная формулировка.

В качестве важного частного случая, когда G - группа действительных чисел R, а лежащее в основе топологическое пространство имеет дополнительную структуру гладкого многообразия , последовательность Майера – Виеториса для когомологий де Рама имеет вид

${\ Displaystyle \ cdots \ к H ^ {n} (X) \, {\ xrightarrow {\ rho}} \, H ^ {n} (U) \ oplus H ^ {n} (V) \, {\ xrightarrow {\ Delta}} \, H ^ {n} (U \ cap V) \, {\ xrightarrow {d ^ {*}}} \, H ^ {n + 1} (X) \ to \ cdots}$

где { U , V } является открытым покрытием из X, ρ обозначает карту рестрикции, и Δ разница. Карта определяется аналогично карте сверху. Кратко это можно описать следующим образом. Например, для класса когомологий [ ω ], представленного замкнутой формой ω в U ∩ V , выразим ω как разность форм через разбиение единицы, подчиненное открытому покрытию { U , V } . Внешняя производная д £ _U и д £ _V согласен на U П V и , следовательно , вместе определяют п + 1 вид сг на X . Тогда d ^∗ ([ ω ]) = [ σ ] . ${\ displaystyle d ^ {*}}$${\ displaystyle \ partial _ {*}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {U} - \ omega _ {V}}$

Для когомологий де Рама с компактными носителями существует "перевернутый" вариант указанной выше последовательности:

${\ displaystyle \ cdots \ to H_ {c} ^ {n} (U \ cap V) \, \ xrightarrow {\ delta} \, H_ {c} ^ {n} (U) \ oplus H_ {c} ^ { n} (V) \, \ xrightarrow {\ Sigma} \, H_ {c} ^ {n} (X) \, \ xrightarrow {d ^ {*}} \, H_ {c} ^ {n + 1} ( U \ cap V) \ to \ cdots}$

где , , являются , как указано выше, является подписанным отображением включения , где проходит форму с компактным носителем в форму на нуль, и это сумма. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta: \ omega \ mapsto (я _ {*} ^ {U} \ omega, -i _ {*} ^ {V} \ omega)}$${\ displaystyle i ^ {U}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ Sigma}$

Вывод

Рассмотрят длинную точную последовательность , связанную с самыми короткими точными последовательностями из цепных групп (составных группы цепных комплексов )

${\ Displaystyle 0 \ к C_ {n} (A \ cap B) \, {\ xrightarrow {\ alpha}} \, C_ {n} (A) \ oplus C_ {n} (B) \, {\ xrightarrow { \ beta}} \, C_ {n} (A + B) \ to 0}$

где α ( х ) = ( х , - х ), β ( х , у ) = х + у , а С _п ( + Б ) представляет собой цепь группа , состоящая из сумм цепей в А и цепей в B . Это факт, что особые n -симплексы X , образы которых содержатся либо в A, либо в B, порождают всю группу гомологий H _n ( X ). Другими словами, H _n ( A + B ) изоморфен H _n ( X ). Это дает последовательность Майера – Виеториса для сингулярных гомологий.

То же самое вычисление применимо к коротким точным последовательностям векторных пространств дифференциальных форм

${\ Displaystyle 0 \ к \ Omega ^ {n} (X) \ к \ Omega ^ {n} (U) \ oplus \ Omega ^ {n} (V) \ к \ Omega ^ {n} (U \ cap V ) \ к 0}$

дает последовательность Майера – Виеториса для когомологий де Рама.

С формальной точки зрения последовательность Майера – Виеториса может быть получена из аксиом Эйленберга – Стинрода для теорий гомологии с использованием длинной точной последовательности в гомологиях .

Другие теории гомологии

Вывод последовательности Майера – Виеториса из аксиом Эйленберга – Стинрода не требует аксиомы размерности , поэтому в дополнение к существующим в обычных теориях когомологий , она выполняется в необычных теориях когомологий (таких как топологическая K-теория и кобордизм ).

Когомологии пучков

С точки зрения когомологий пучков последовательность Майера – Виеториса связана с когомологиями Чеха . В частности, она возникает из - за дегенерации в спектральной последовательности , которая относится к Чеху пучковых когомологий (иногда называемый Майер-Виеторис спектральной последовательности ) в случае , когда открытое покрытие используется для вычисления когомологий Чеха состоит из двух открытых множеств. Эта спектральная последовательность существует в произвольных топосах .

Смотрите также

• Теорема об удалении
• Зигзагообразная лемма

Заметки

Рекомендации

• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3.

• Корри, Лео (2004), Современная алгебра и рост математических структур , Биркхойзер, с. 345, ISBN 3-7643-7002-5.

• Дьедонне, Жан (1989), История алгебраической и дифференциальной топологии 1900–1960 гг. , Биркхойзер, с. 39 , ISBN 0-8176-3388-X.

• Димка, Александру (2004), Пучки в топологии , Universitext, Берлин: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-642-18868-8 , ISBN 978-3-540-20665-1, Руководство по ремонту  2050072

• Эйленберг, Самуэль ; Стинрод, Норман (1952), Основы алгебраической топологии , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07965-3.

• Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1, MR  1867354.

• Хирцебрух, Фридрих (1999), «Эмми Нётер и топология», в Тейхере, М. (ред.), «Наследие Эмми Нётер» , Труды Израильской математической конференции, Университет Бар-Илан / Американское математическое общество / Издательство Оксфордского университета , стр. 61–63, ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC  223099225.

• Коно, Акира; Тамаки, Дай (2006) [2002], Обобщенные когомологии , Серия Иванами в современной математике, Переводы математических монографий, 230 (перевод с японского издания 2002 г., изд. Тамаки), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3514-2, Руководство по ремонту  2225848

• Мэсси, Уильям (1984), Алгебраическая топология: введение , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90271-5.

• Майер, Вальтер (1929), "Убер abstrakte Topologie", Ежемесячник für Mathematik , 36 (1): 1-42, DOI : 10.1007 / BF02307601 , ISSN  0026-9255. (на немецком)

• Спаниер, Эдвин (1966), алгебраическая топология , Springer-Verlag , ISBN 0-387-94426-5.

• Вердье, Жан-Луи (1972), «Cohomologie dans les topos», у Артина, Майкла ; Гротендик, Александр ; Вердье, Жан-Луи (ред.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - Том 2 , Лекционные заметки по математике (на французском), 270 , Берлин; Гейдельберг: Springer-Verlag , стр. 1, DOI : 10.1007 / BFb0061320 , ISBN 978-3-540-06012-3

• Вьеторис, Leopold (1930), "Убер умереть Homologiegruppen дер Vereinigung zweier Komplexe", Ежемесячник für Mathematik , 37 : 159-62, DOI : 10.1007 / BF01696765. (на немецком)

дальнейшее чтение

• Рейтбергер, Генрих (2002), «Леопольд Вьеторис (1891–2002)» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 49 (20), ISSN  0002-9920.