Список фракталов по размерности Хаусдорфа - List of fractals by Hausdorff dimension

Бенуа Мандельброт заявил, что « фрактал по определению - это множество, для которого размерность Хаусдорфа-Безиковича строго превышает топологическую размерность ». Здесь представлен список фракталов, упорядоченных по возрастанию размерности Хаусдорфа, с целью визуализации, что значит для фрактала иметь низкую или высокую размерность.

Детерминированные фракталы

Размерность Хаусдорфа (точное значение)	Размер Хаусдорфа (прибл.)	Имя	Иллюстрация	Замечания
Рассчитано	0,538	Аттрактор Фейгенбаума		Аттрактор Фейгенбаума (см. Между стрелками) - это набор точек, генерируемых последовательными итерациями логистической функции для критического значения параметра , где удвоение периода бесконечно. Это измерение одинаково для любой дифференцируемой и унимодальной функции. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ lambda _ {\ infty} = 3,570}}$
${\ Displaystyle \ журнал _ {3} (2)}$	0,6309	Набор кантора		Построен путем удаления центральной трети на каждой итерации. Нигде не плотное и несчетное множество .
${\ displaystyle \ log _ {2} (\ varphi) = \ log _ {2} (1 + {\ sqrt {5}}) - 1}$	0,6942	Ассиметричный набор Кантора		Измерение не , который является обобщенным канторовым множество с у = 1/4, который имеет ту же длину , на каждом этапе. ${\ displaystyle {\ frac {\ ln 2} {\ ln {\ frac {8} {3}}}}}$ Построен путем удаления второй четверти на каждой итерации. Нигде не плотное и несчетное множество . ( золотая резка ). ${\ displaystyle \ scriptstyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$
${\ Displaystyle \ журнал _ {10} (5) = 1- \ журнал _ {10} (2)}$	0,69897	Вещественные числа с четными десятичными знаками		Подобно набору Кантора .
${\ displaystyle \ log (1 + {\ sqrt {2}})}$	0,88137	Спектр гамильтониана Фибоначчи		Исследование спектра гамильтониана Фибоначчи доказывает верхнюю и нижнюю границы его фрактальной размерности в режиме большой связи. Эти оценки показывают, что спектр сходится к явной константе.
${\ displaystyle {\ frac {- \ log (2)} {\ log \ left (\ displaystyle {\ frac {1- \ gamma} {2}} \ right)}}}$	0 <D <1	Обобщенное множество Кантора		Построен путем удаления на ^й итерации центрального отрезка длины из каждого оставшегося отрезка (длины ). При этом получается обычное канторовское множество . Значение от 0 до 1 дает любую фрактальную размерность . ${\ displaystyle m}$ ${\ Displaystyle \ гамма \, l_ {м-1}}$ ${\ Displaystyle l_ {м-1} = (1- \ гамма) ^ {м-1} / 2 ^ {м-1}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ gamma = 1/3}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle 0 \, <\, D \, <\, 1}$
${\ displaystyle 1}$	1	Множество Смита – Вольтерры – Кантора		Построен путем удаления центрального интервала длины каждого оставшегося интервала на n- й итерации. Нигде не плотно, но имеет меру Лебега 1/2. ${\ displaystyle 2 ^ {- 2n}}$
${\ displaystyle 2+ \ log _ {2} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = 1}$	1	Кривая Такаги или Бланманже		На единичном интервале определяется как , где - волновая функция треугольника . Частный случай кривой Такахи-Ландсберга: с . Размерность Хаусдорфа равна для в . (Хант, цит. По Мандельброту). ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {- n} s (2 ^ {n} x)}$ ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} w ^ {n} s (2 ^ {n} x)}$ ${\ displaystyle w = 1/2}$ ${\ displaystyle 2+ \ log _ {2} (ш)}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ Displaystyle \ влево [1/2,1 \ вправо]}$
Рассчитано	1.0812	Юля набор z² + 1/4		Юля поставила на c = 1/4.
Решение S из ${\ Displaystyle 2 \| \ альфа \| ^ {3s} + \| \ альфа \| ^ {4s} = 1}$	1.0933	Граница фрактала Рози		Фрактальная представление вводится G.Rauzy динамики , связанной с морфизмом Tribonacci: , и . является одним из сопряженных корней . ${\ Displaystyle 1 \ mapsto 12}$ ${\ displaystyle 2 \ mapsto 13}$ ${\ Displaystyle 3 \ mapsto 1}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle z ^ {3} -z ^ {2} -z-1 = 0}$
${\ Displaystyle 2 \ журнал _ {7} (3)}$	1,12915	контур острова Госпер		Термин, использованный Мандельбротом (1977). Остров Госпера - это предел кривой Госпера .
Измерено (подсчет коробок)	1.2	Набор Дендрита Юлия		Юля установила параметры: Real = 0 и Imaginary = 1.
${\ displaystyle 3 {\ frac {\ log (\ varphi)} {\ log \ left (\ displaystyle {\ frac {3 + {\ sqrt {13}}} {2}} \ right)}}}$	1,2083	Слово Фибоначчи фрактал 60 °		Постройте из слова Фибоначчи . См. Также стандартный фрактал слова Фибоначчи. ${\ displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}$ ( золотое сечение ).
${\ displaystyle {\ begin {align} & 2 \ log _ {2} \ left (\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt [{3}] {27-3 {\ sqrt {78}}}}} + {\ sqrt [{3}] {27 + 3 {\ sqrt {78}}}}} {3}} \ right), \\ & {\ text {или корень}} 2 ^ {x} -1 = 2 ^ { (2-х) / 2} \ конец {выровнено}}}$	1,2108	Граница ручного двойного дракона		Одна из шести двухповторных плиток на плоскости (может быть выложена двумя своими копиями одинакового размера).
	1,26	Карта Энона		Каноническое отображение Энона (с параметрами a = 1,4 и b = 0,3) имеет размерность Хаусдорфа 1,261 ± 0,003. Разные параметры дают разные значения размеров.
${\ Displaystyle \ журнал _ {3} (4)}$	1,2619	Triflake		Три антиснежинки расположены так, что между антиснежинками образуется коч-снежинка.
${\ Displaystyle \ журнал _ {3} (4)}$	1,2619	Кривая Коха		3 кривые Коха образуют снежинку Коха или антиснежинку.
${\ Displaystyle \ журнал _ {3} (4)}$	1,2619	граница кривой Тердрагона		L-система: такая же, как кривая дракона с углом = 30 °. Fudgeflake основан на 3 начальных сегментах, помещенных в треугольник.
${\ Displaystyle \ журнал _ {3} (4)}$	1,2619	2D канторовская пыль		Установлен Кантор в 2-х измерениях.
${\ Displaystyle \ журнал _ {3} (4)}$	1,2619	2D L-система ветвь		Шаблон разветвления L-Systems с 4 новыми частями, увеличенными на 1/3. Создание паттерна с использованием статистических данных вместо точного самоподобия дает такую же фрактальную размерность.
Рассчитано	1,2683	Юля набор z ² - 1		Множество Жюли при c = −1.
	1,3057	Аполлонийская прокладка		Начиная с 3 касательных кругов, многократно упаковывая новые круги в дополнительные промежутки. Также установлен предел, порожденный отражениями в 4-х касательных друг к другу окружностях. Видеть
	1,328	5 кругов инверсия фрактал		Множество пределов, порожденное повторными инверсиями по отношению к 5 касательным друг к другу окружностям (красным). Также аполлоническая упаковка. Видеть
${\ displaystyle \ log _ {5} (9)}$	1,36521	Квадратичный остров фон Коха с использованием кривой типа 1 в качестве генератора		Также известна как колбаса Минковского
Рассчитано	1,3934	Кролик дуади		Набор Джулии для c = −0,123 + 0,745i.
${\ Displaystyle \ журнал _ {3} (5)}$	1,4649	Фрактал Вичека		Построен путем итеративного обмена каждого квадрата крестиком из 5 квадратов.
${\ Displaystyle \ журнал _ {3} (5)}$	1,4649	Квадратичная кривая фон Коха (тип 1)		Можно распознать образец фрактала Вичека (вверху).
${\ displaystyle \ log _ {\ sqrt {5}} \ left ({\ frac {10} {3}} \ right)}$	1,4961	Квадрический крест		Квадратичный крест создается путем масштабирования 3-сегментного блока генератора на 5 ^1/2, затем добавления 3 полноразмерных блоков, по одному на каждый исходный сегмент, плюс треть масштабированного блока (синий), чтобы увеличить длину пьедестала стартовый 3-сегментный блок (фиолетовый). Построен путем замены каждого конечного сегмента на поперечный сегмент с коэффициентом 5 ^1/2 , состоящий из 3 1/3 новых сегментов, как показано на вставке. Изображения, созданные с помощью Fractal Generator для ImageJ.
${\ displaystyle 2- \ log _ {2} ({\ sqrt {2}}) = {\ frac {3} {2}}}$	1,5000	функция Вейерштрасса : ${\ displaystyle \ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (2 ^ {k} x)} {{\ sqrt {2}} ^ {k} }}}$		Размерность Хаусдорфа функции Вейерштрасса, определяемая с помощью и есть . ${\ displaystyle f: [0,1] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a ^ {- k} \ sin (b ^ {k} x)}$ ${\ Displaystyle 1 <а <2}$ ${\ displaystyle b> 1}$ ${\ displaystyle 2- \ log _ {b} (а)}$
${\ displaystyle \ log _ {4} (8) = {\ frac {3} {2}}}$	1,5000	Квадратичная кривая фон Коха (тип 2)		Также называется «колбаса Минковского».
${\ displaystyle \ log _ {2} \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt [{3}] {73-6 {\ sqrt {87}}}}} + {\ sqrt [{3}] {73) +6 {\ sqrt {87}}}}} {3}} \ right)}$	1,5236	Граница кривой Дракона		ср. Чанг и Чжан.
${\ displaystyle \ log _ {2} \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt [{3}] {73-6 {\ sqrt {87}}}}} + {\ sqrt [{3}] {73) +6 {\ sqrt {87}}}}} {3}} \ right)}$	1,5236	Граница кривой двойного дракона		Может быть построен с двумя кривыми дракона. Одна из шести двухповторных плиток на плоскости (может быть выложена двумя своими копиями одинакового размера).
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (3)}$	1,5850	3-ветвевое дерево		Каждая ветвь имеет 3 ветви (здесь 90 ° и 60 °). Фрактальная размерность всего дерева - это фрактальная размерность конечных ветвей. NB: дерево с двумя ветвями имеет фрактальную размерность только 1.
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (3)}$	1,5850	Треугольник Серпинского		Также треугольник Паскаля по модулю 2.
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (3)}$	1,5850	Кривая наконечника стрелы Серпинского		Тот же предел, что и у треугольника (см. Выше), но построенный с помощью одномерной кривой.
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (3)}$	1,5850	Граница фрактала Т-квадрат		Размерность самого фрактала (не границы) равна ${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (4) = 2}$
${\ Displaystyle \ журнал _ {\ sqrt [{\ varphi}] {\ varphi}} (\ varphi) = \ varphi}$	1,61803	золотой дракон		Построен из двух одинаковых соотношений и , с . Его размер равен, потому что . С ( Золотое число ). ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r ^ {2}}$ ${\ Displaystyle г = 1 / \ varphi ^ {1 / \ varphi}}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle ({г ^ {2}}) ^ {\ varphi} + г ^ {\ varphi} = 1}$ ${\ displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}$
${\ displaystyle 1+ \ log _ {3} (2)}$	1,6309	Треугольник Паскаля по модулю 3		Для треугольника по модулю k , если k простое число, фрактальная размерность равна (см. Стивен Вольфрам ). ${\ displaystyle \ scriptstyle {1+ \ log _ {k} \ left ({\ frac {k + 1} {2}} \ right)}}$
${\ displaystyle 1+ \ log _ {3} (2)}$	1,6309	Шестиугольник Серпинского		Встроенный в манере ковра Серпинского , на гексагональной сетке, с 6 гомотетиями соотношения 1/3. Снежинки Коха присутствует во всех масштабах.
${\ displaystyle 3 {\ frac {\ log (\ varphi)} {\ log (1 + {\ sqrt {2}})}}}$	1,6379	Фибоначчи слово фрактал		Фрактал на основе слова Фибоначчи (или последовательности Кролика) Sloane A005614. Иллюстрация: фрактальная кривая после 23 шагов ( F ₂₃ = 28657 сегментов). ( золотое сечение ). ${\ displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}$
Решение ${\ Displaystyle (1/3) ^ {s} + (1/2) ^ {s} + (2/3) ^ {s} = 1}$	1,6402	Аттрактор IFS с 3 подобиями соотношений 1/3, 1/2 и 2/3		Обобщение: Обеспечение открытого множества условия выполнено, аттрактор из итерированной системы функции , состоящая из сходства соотношений , имеет размерность Хаусдорфа , решение уравнения , совпадающее с функцией итерации евклидова фактора сжатия: . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {k} ^ {s} = 1}$
${\ displaystyle \ log _ {8} (32) = {\ frac {5} {3}}}$	1,6667	32-сегментный квадратичный фрактал (правило масштабирования 1/8)	см. также: File: 32 Segment One Eighth Scale Quadric Fractal.jpg	Генератор 32-сегментного квадратичного фрактала 1/8 масштаба. Построен путем масштабирования 32-сегментного генератора (см. Вставку) на 1/8 для каждой итерации и замены каждого сегмента предыдущей структуры масштабированной копией всего генератора. Показанная конструкция состоит из 4-х генераторных блоков и повторяется 3 раза. Фрактальная размерность теоретической структуры составляет log 32 / log 8 = 1,6667. Изображения, созданные с помощью Fractal Generator для ImageJ.
${\ displaystyle 1+ \ log _ {5} (3)}$	1,6826	Треугольник Паскаля по модулю 5		Для треугольника по модулю k , если k простое число, фрактальная размерность равна (см. Стивен Вольфрам ). ${\ displaystyle \ scriptstyle {1+ \ log _ {k} \ left ({\ frac {k + 1} {2}} \ right)}}$
Измерено (подсчет коробок)	1,7	Аттрактор карты Икеда		Для параметров a = 1, b = 0.9, k = 0.4 и p = 6 на карте Ikeda . Он основан на модели поля взаимодействия плоских волн в оптическом кольцевом лазере. Разные параметры дают разные значения. ${\ displaystyle z_ {n + 1} = a + bz_ {n} \ exp \ left [я \ left [kp / \ left (1+ \ lfloor z_ {n} \ rfloor ^ {2} \ right) \ right] \Правильно]}$
${\ displaystyle 1+ \ log _ {10} (5)}$	1,6990	50-сегментный квадратичный фрактал (правило масштабирования 1/10)		Построен путем масштабирования генератора из 50 сегментов (см. Вставку) на 1/10 для каждой итерации и замены каждого сегмента предыдущей структуры масштабированной копией всего генератора. Показанная конструкция состоит из 4-х генераторных блоков и повторяется 3 раза. Фрактальная размерность теоретической структуры составляет log 50 / log 10 = 1,6990. Изображения, созданные с помощью Fractal Generator для ImageJ . Генератор для 50-сегментного фрактала.
${\ Displaystyle 4 \ журнал _ {5} (2)}$	1,7227	Вертушка фрактал		Построен из плитки Вертушка Конвея.
${\ displaystyle \ log _ {3} (7)}$	1,7712	Сфинкс фрактал		Построен с использованием шестиугольной плитки Сфинкса, удаляющей двух из девяти суб-сфинксов.
${\ displaystyle \ log _ {3} (7)}$	1,7712	Hexaflake		Построен путем итеративного обмена каждого шестиугольника на пластинку из 7 шестиугольников. Его граница - чешуйка фон Коха и содержит бесконечное количество снежинок Коха (черных или белых).
${\ displaystyle \ log _ {3} (7)}$	1,7712	Фрактал HI de Rivera		Начиная с единичного квадрата, делящего его размеры на три равные части, чтобы образовать девять самоподобных квадратов с первым квадратом, два средних квадрата (тот, который находится выше, и тот, что ниже центрального квадрата) удаляются в каждом из семи квадратов. исключено, процесс повторяется, так что он продолжается бесконечно.
${\ displaystyle {\ frac {\ log (4)} {\ log (2 + 2 \ cos (85 ^ {\ circ}))}}}$	1,7848	Кривая фон Коха 85 °		Обобщение кривой фон Коха с углом a, выбранным от 0 до 90 °. Тогда фрактальная размерность . ${\ displaystyle {\ frac {\ log (4)} {\ log (2 + 2 \ cos (a))}} \ in [1,2]}$
${\ displaystyle \ log _ {2} \ left (3 ^ {0,63} + 2 ^ {0,63} \ right)}$	1,8272	Самосогласован- аффинное фрактальное множество		Построить итеративно из массива на квадрате с . Его размерность Хаусдорфа равна с , и это количество элементов в ^й колонке. Размер коробки подсчета дает другую формулу, следовательно, различное значение. В отличие от самоподобных множеств, хаусдорфова размерность самоаффинных множеств зависит от положения повторяемых элементов, и пока нет формулы для общего случая. ${\ displaystyle p \ times q}$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ displaystyle \ log _ {p} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {p} n_ {k} ^ {a} \ right)}$ ${\ Displaystyle а = \ журнал _ {д} (р)}$ ${\ displaystyle n_ {k}}$ ${\ displaystyle k}$
${\ displaystyle {\ frac {\ log (6)} {\ log (1+ \ varphi)}}}$	1,8617	Пентафлейк		Построен путем итеративного обмена каждого пятиугольника на пластинку из 6 пятиугольников. ( золотое сечение ). ${\ displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}$
решение ${\ displaystyle 6 (1/3) ^ {s} +5 {(1/3 {\ sqrt {3}})} ^ {s} = 1}$	1,8687	Дерево обезьян		Эта кривая появилась в «Фрактальной геометрии природы» Бенуа Мандельброта (1983). Он основан на 6 сходствах соотношения и 5 подобиях соотношения . ${\ displaystyle 1/3}$ ${\ displaystyle 1/3 {\ sqrt {3}}}$
${\ Displaystyle \ журнал _ {3} (8)}$	1,8928	Ковер Серпинского		Каждая поверхность губки Менгера представляет собой ковер Серпинского, как и нижняя поверхность трехмерной квадратичной поверхности Коха (тип 1).
${\ Displaystyle \ журнал _ {3} (8)}$	1,8928	3D пыль Кантора		Кантор установлен в 3-х измерениях.
${\ displaystyle \ log _ {3} (4) + \ log _ {3} (2) = {\ frac {\ log (4)} {\ log (3)}} + {\ frac {\ log (2 )} {\ log (3)}} = {\ frac {\ log (8)} {\ log (3)}}}$	1,8928	Декартово произведение кривой фон Коха и множества Кантора		Обобщение: Пусть F × G - декартово произведение двух фрактальных множеств F и G. Тогда . Смотрите также 2D пыль Кантора и канторовский куб . ${\ displaystyle \ dim _ {H} (F \ times G) = \ dim _ {H} (F) + \ dim _ {H} (G)}$
${\ Displaystyle 2 \ журнал _ {2} (х)}$ куда ${\ displaystyle x ^ {9} -3x ^ {8} + 3x ^ {7} -3x ^ {6} + 2x ^ {5} + 4x ^ {4} -8x ^ {3} +}$ ${\ displaystyle 8x ^ {2} -16x + 8 = 0}$	1,9340	Граница кривой C Леви		По оценке Duvall and Keesling (1999). Сама кривая имеет фрактальную размерность 2.
	2	Плитка Пенроуза		См. Рамачандрарао, Синха и Саньял.
${\ displaystyle 2}$	2	Граница множества Мандельброта		Граница и само множество имеют одинаковую хаусдорфовую размерность.
${\ displaystyle 2}$	2	Юля набор		Для определенных значений c (включая c, принадлежащую границе множества Мандельброта), множество Жюлиа имеет размерность 2.
${\ displaystyle 2}$	2	Кривая Серпинского		Каждая кривая Пеано, заполняющая плоскость, имеет размерность Хаусдорфа, равную 2.
${\ displaystyle 2}$	2	Кривая Гильберта
${\ displaystyle 2}$	2	Кривая Пеано		И семейство кривых, построенных аналогичным образом, таких как кривые Вундерлиха .
${\ displaystyle 2}$	2	Кривая Мура		Может быть расширен в 3-х измерениях.
	2	Кривая Лебега или кривая z-порядка		В отличие от предыдущих, эта кривая заполнения пространства дифференцируема практически везде. Другой тип может быть определен в 2D. Как и кривая Гильберта, она может быть расширена в 3D.
${\ displaystyle \ log _ {\ sqrt {2}} (2) = 2}$	2	Кривая дракона		А его граница имеет фрактальную размерность 1,5236270862.
	2	Кривая Тердрагона		L-система: F → F + F - F, угол = 120 °.
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (4) = 2}$	2	Кривая госпера		Его граница - остров Госпер.
Решение ${\ displaystyle 7 ({1/3}) ^ {s} +6 ({1/3 {\ sqrt {3}}}) ^ {s} = 1}$	2	Кривая, заполняющая снежинку Коха		Предложенный Мандельбротом в 1982 году, он заполняет снежинку Коха . Он основан на 7 подобиях соотношения 1/3 и 6 подобиях соотношения . ${\ displaystyle 1/3 {\ sqrt {3}}}$
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (4) = 2}$	2	Тетраэдр Серпинского		Каждый тетраэдр заменен на 4 тетраэдра.
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (4) = 2}$	2	H-фрактал		Также дерево Мандельброта имеет похожий образец.
${\ displaystyle {\ frac {\ log (2)} {\ log (2 / {\ sqrt {2}})}} = 2}$	2	Дерево Пифагора (фрактал)		Каждый квадрат образует два квадрата с коэффициентом уменьшения . ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2}}}$
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (4) = 2}$	2	2D греческий крест фрактал		Каждый сегмент заменяется крестом, состоящим из 4 сегментов.
Измерено	2,01 ± 0,01	Аттрактор Рёсслера		Фрактальная размерность аттрактора Рёсслера немного больше 2. Для a = 0,1, b = 0,1 и c = 14 она оценивается между 2,01 и 2,02.
Измерено	2,06 ± 0,01	Аттрактор Лоренца		Для параметров , = 16 и . См. McGuinness (1983). ${\ displaystyle \ rho = 40}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ beta = 4}$
${\ displaystyle 4 + c ^ {D} + d ^ {D} = (c + d) ^ {D}}$	2 <D <2.3	Поверхность пирамиды		Каждый треугольник заменен 6 треугольниками, из которых 4 идентичных треугольника образуют пирамиду на основе ромба, а оставшиеся два остаются плоскими с длиной и относительно треугольников пирамиды. Размерность является параметром, самопересечение происходит для значений больше 2,3. ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle d}$
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (5)}$	2,3219	Фрактальная пирамида		Каждая квадратная пирамида заменяется пятью квадратными пирамидами половинного размера. (В отличие от тетраэдра Серпинского, который заменяет каждую треугольную пирамиду четырьмя треугольными пирамидами половинного размера).
${\ displaystyle {\ frac {\ log (20)} {\ log (2+ \ varphi)}}}$	2,3296	Додекаэдр фрактал		Каждый додекаэдр заменен на 20 додекаэдров. ( золотое сечение ). ${\ displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}$
${\ displaystyle \ log _ {3} (13)}$	2,3347	3D квадратичная поверхность Коха (тип 1)		Продолжение в 3D квадратичной кривой Коха (тип 1). На иллюстрации показаны первая (синий блок), вторая (плюс зеленые блоки), третья (плюс желтые блоки) и четвертая (плюс чистые блоки) итерации.
	2,4739	Упаковка аполлонических сфер		Промежуток, оставленный Аполлоническими сферами. Аполлонийская прокладка в 3D. Размерность рассчитана М. Борковеком, В. Де Пари и Р. Пайкертом.
${\ displaystyle \ log _ {4} (32) = {\ frac {5} {2}}}$	2,50	3D квадратичная поверхность Коха (тип 2)		Продолжение в 3D квадратичной кривой Коха (тип 2). На иллюстрации показана вторая итерация.
${\ displaystyle {\ frac {\ log \ left ({\ frac {\ sqrt {7}} {6}} - {\ frac {1} {3}} \ right)} {\ log ({\ sqrt {2 }} - 1)}}}$	2,529	Иерусалимский куб		Итерация n состоит из 8 кубиков итерации n-1 (по углам) и 12 кубов итерации n-2 (связывание углов). Коэффициент сжатия . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} - 1}$
${\ displaystyle {\ frac {\ log (12)} {\ log (1+ \ varphi)}}}$	2,5819	Икосаэдр фрактал		Каждый икосаэдр заменен 12 икосаэдрами. ( золотое сечение ). ${\ displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}$
${\ displaystyle 1+ \ log _ {2} (3)}$	2,5849	3D греческий крест фрактал		Каждый сегмент заменен крестом, состоящим из 6 сегментов.
${\ displaystyle 1+ \ log _ {2} (3)}$	2,5849	Октаэдр фрактал		Каждый октаэдр заменен на 6 октаэдров.
${\ displaystyle 1+ \ log _ {2} (3)}$	2,5849	поверхность фон Коха		Каждая равносторонняя треугольная грань разрезается на 4 равных треугольника. Взяв за основу центральный треугольник, сформируйте тетраэдр. Замените треугольное основание четырехгранным «шатром».
${\ displaystyle {\ frac {\ log (3)} {\ log (3/2)}}}$	2,7095	Фон Кох в 3D		Начнет с 6-сторонним многогранником, грани которого равнобедренные треугольники со сторонами соотношении 2: 2: 3. Замените каждый многогранник на 3 копии самого себя, на 2/3 меньше.
${\ displaystyle \ log _ {3} (20)}$	2,7268	Губка менгера		А его поверхность имеет фрактальную размерность, равную объему. ${\ displaystyle \ log _ {3} (20)}$
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (8) = 3}$	3	3D кривая Гильберта		Кривая Гильберта расширена до 3-х измерений.
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (8) = 3}$	3	3D кривая Лебега		Кривая Лебега расширена до 3-х измерений.
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (8) = 3}$	3	3D кривая Мура		Кривая Мура расширилась до 3-х измерений.
${\ Displaystyle \ журнал _ {2} (8) = 3}$	3	3D H-фрактал		H-фрактал расширился до 3-х измерений.
${\ displaystyle 3}$ (предположительно)	3 (подлежит подтверждению)	Mandelbulb		Расширение множества Мандельброта (степень 8) в 3-х измерениях

Случайные и естественные фракталы

Размерность Хаусдорфа (точное значение)	Размер Хаусдорфа (прибл.)	Имя	Иллюстрация	Замечания
1/2	0,5	Нули винеровского процесса		Нули Винер процесса (броуновское движение) являются нигде не плотным множеством из меры Лебега 0 с фрактальной структурой.
Решение где и ${\ Displaystyle E (C_ {1} ^ {s} + C_ {2} ^ {s}) = 1}$ ${\ displaystyle E (C_ {1}) = 0,5}$ ${\ displaystyle E (C_ {2}) = 0,3}$	0,7499	случайный набор Кантора с 50% - 30%		Обобщение: на каждой итерации длина левого интервала определяется случайной величиной , изменяемым процентным соотношением длины исходного интервала. То же самое для правого интервала со случайной величиной . Его размерность Хаусдорфа удовлетворяет следующее условие: (где есть ожидаемое значение из ). ${\ displaystyle C_ {1}}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ Displaystyle E (C_ {1} ^ {s} + C_ {2} ^ {s}) = 1}$ ${\ Displaystyle E (X)}$ ${\ displaystyle X}$
Решение ${\ Displaystyle s + 1 = 12 \ cdot 2 ^ {- (s + 1)} - 6 \ cdot 3 ^ {- (s + 1)}}$	1.144 ...	кривая фон Коха со случайным интервалом		Длина среднего интервала - случайная величина с равномерным распределением на интервале (0,1 / 3).
Измерено	1,22 ± 0,02	Береговая линия Ирландии		Значения фрактальной размерности всего побережья Ирландии были определены Маккартни, Абернети и Голт из Ольстерского университета и студентами теоретической физики в Тринити-колледже в Дублине под руководством С. Хатцлера. Обратите внимание, что есть заметные различия между неровным западным побережьем Ирландии (фрактальная размерность около 1,26) и гораздо более гладким восточным побережьем (фрактальная размерность 1,10).
Измерено	1,25	Береговая линия Великобритании		Фрактальное измерение западного побережья Великобритании, измеренное Льюисом Фри Ричардсоном и приведенное Бенуа Мандельбротом .
${\ displaystyle {\ frac {\ log (4)} {\ log (3)}}}$	1,2619	кривая фон Коха со случайной ориентацией		Здесь вводится элемент случайности, который не влияет на размерность, выбирая на каждой итерации расположение равностороннего треугольника выше или ниже кривой.
${\ displaystyle {\ frac {4} {3}}}$	1,333	Граница броуновского движения		(ср. Мандельброт, Лоулер , Шрамм , Вернер ).
${\ displaystyle {\ frac {4} {3}}}$	1,333	Полимер в 2D		Подобно броуновскому движению в 2D с несамопересечением.
${\ displaystyle {\ frac {4} {3}}}$	1,333	Фронт перколяции в 2D, фронт коррозии в 2D		Фрактальная размерность фронта проникновения через проникновение (доступный периметр) на пороге перколяции (59,3%). Это также фрактальная размерность фронта остановленной коррозии.
	1,40	Кластеры кластеров 2D		При ограничении диффузией кластеры постепенно объединяются в уникальный кластер размером 1,4.
${\ displaystyle 2 - {\ frac {1} {2}}}$	1.5	График регулярной броуновской функции ( винеровский процесс )		График функции такой, что для любых двух положительных вещественных чисел и разность их изображений имеет центрированное гауссовское распределение с дисперсией . Обобщение: дробное броуновское движение индекса следует тому же определению, но с вариацией , в этом случае его размерностью Хаусдорфа . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x + h}$ ${\ Displaystyle f (х + ч) -f (х)}$ ${\ displaystyle = h}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle = h ^ {2 \ alpha}}$ ${\ displaystyle = 2- \ alpha}$
Измерено	1,52	Береговая линия Норвегии		См. J. Feder.
Измерено	1,55	Самопроизвольная прогулка		Случайное блуждание в квадратной решетке, избегает посещения же место дважды, с рутиной «идти обратно» для избежания тупиков.
${\ displaystyle {\ frac {5} {3}}}$	1,66	Полимер в 3D		Подобно броуновскому движению в кубической решетке, но без самопересечения.
	1,70	Кластер 2D DLA		В двух измерениях кластеры, образованные агрегацией, ограниченной диффузией, имеют фрактальную размерность около 1,70.
${\ displaystyle {\ frac {\ log (9 \ cdot 0.75)} {\ log (3)}}}$	1,7381	Фрактальная перколяция с вероятностью 75%		Модель фрактальной перколяции строится путем постепенной замены каждого квадрата сеткой, в которую помещается случайный набор подквадратов, причем каждый подквадрат сохраняется с вероятностью p . «Почти уверенная» размерность Хаусдорфа равна . ${\ displaystyle 3 \ times 3}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ log (9p)} {\ log (3)}}}$
7/4	1,75	Корпус 2D перколяционного кластера		Оболочка или граница перколяционного кластера. Также может быть сгенерирован обходом, генерирующим корпус, или с помощью Schramm-Loewner Evolution.
${\ displaystyle {\ frac {91} {48}}}$	1,8958	2D перколяционный кластер		В квадратной решетке ниже порога перколяции сайтов (59,3%) кластер перколяции вторжением имеет фрактальную размерность 91/48. За этим порогом кластер бесконечен, и 91/48 становится фрактальным измерением «просветов».
${\ displaystyle {\ frac {\ log (2)} {\ log ({\ sqrt {2}})}} = 2}$	2	Броуновское движение		Или случайное блуждание. Размерность Хаусдорфа равна 2 в 2D, в 3D и во всех больших измерениях (К. Фальконер «Геометрия фрактальных множеств»).
Измерено	Около 2	Распределение скоплений галактик		По результатам исследования Sloan Digital Sky Survey 2005 года.
	2,5	Шары из мятой бумаги		При смятии листов разных размеров, но сделанных из одного и того же типа бумаги и с одинаковым соотношением сторон (например, разных размеров в серии ISO 216 A), диаметр полученных таким образом шариков увеличивается до нецелого показателя степени между 2 и 3 будут приблизительно пропорциональны площади листов, из которых сделаны шары. Складки будут образовываться во всех масштабах (см. Универсальность (динамические системы) ).
	2,50	Кластер 3D DLA		В трехмерном пространстве кластеры, образованные агрегацией, ограниченной диффузией, имеют фрактальную размерность около 2,50.
	2,50	Фигура Лихтенберга		Их появление и рост, по-видимому, связаны с процессом агрегации, ограниченной диффузией, или DLA.
${\ displaystyle 3 - {\ frac {1} {2}}}$	2,5	правильная броуновская поверхность		Функция , дает высоту точки таким образом , что в течение двух заданных положительных приращений и , то имеет центрированный гауссово распределение с дисперсией = . Обобщение: дробное броуновское поверхность индекса следует такое же определение , но с дисперсией , в этом случае его размерности Хаусдорфа . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle (х, у)}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle е (х + ч, у + к) -f (х, у)}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {ч ^ {2} + к ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle = (час ^ {2} + к ^ {2}) ^ {\ альфа}}$ ${\ displaystyle = 3- \ alpha}$
Измерено	2,52	3D перколяционный кластер		В кубической решетке на пороге перколяции узлов (31,1%) кластер трехмерной перколяции вторжением имеет фрактальную размерность около 2,52. За пределами этого порога кластер бесконечен.
Измерено и рассчитано	~ 2,7	Поверхность брокколи		Сан-Хун Ким использовал метод прямого сканирования и анализ поперечного сечения брокколи, чтобы сделать вывод, что фрактальная размерность брокколи составляет ~ 2,7.
	2,79	Поверхность человеческого мозга
Измерено и рассчитано	~ 2,8	Цветная капуста		Сан-Хун Ким использовал метод прямого сканирования и математический анализ поперечного сечения цветной капусты, чтобы сделать вывод, что фрактальная размерность составляет ~ 2,8.
	2,97	Поверхность легких		Альвеолы легкого образуют фрактальную поверхность, близкую к 3.
Рассчитано	${\ displaystyle \ in (0,2)}$	Мультипликативный каскад	$3fractals2.jpg$	Это пример мультифрактального распределения. Однако, выбирая его параметры определенным образом, мы можем заставить распределение стать монофракталом.

Смотрите также

Примечания и ссылки

дальнейшее чтение

Мандельброт, Бенуа (1982). Фрактальная геометрия природы . WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9.
Пайтген, Хайнц-Отто (1988). Saupe, Дитмар (ред.). Наука о фрактальных изображениях . Springer Verlag. ISBN 0-387-96608-0.
Барнсли, Майкл Ф. (1 января 1993 г.). Фракталы везде . Морган Кауфманн. ISBN 0-12-079061-0.
Саповал, Бернард; Мандельброт, Бенуа Б. (2001). Universalités et фракталы: jeux d'enfant ou délits d'initié? . Фламмарион-Champs. ISBN 2-08-081466-4.

Languages

In other projects