Интегральный тест на сходимость - Integral test for convergence

Интегральный тест, применяемый к гармоническому ряду . Поскольку площадь под кривой y = 1 / x для x ∈ [1, ∞) бесконечна, общая площадь прямоугольников также должна быть бесконечной.

В математике , то интегральный признак сходимости является методом , используемым для проверки бесконечной серии из однообразных условий для сходимости . Он был разработан Колином Маклореном и Огюстэном-Луи Коши и иногда известен как тест Маклорена – Коши .

Заявление об испытании

Рассмотрим целое число N и функцию f, определенную на неограниченном интервале [ N , ∞) , на котором она монотонно убывает . Тогда бесконечный ряд

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = N} ^ {\ infty} е (п)}$

сходится к действительному числу тогда и только тогда, когда несобственный интеграл

${\ Displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} е (х) \, dx}$

конечно. В частности, если интеграл расходится, то расходится и ряд .

Замечание

Если несобственный интеграл конечен, то доказательство дает также нижнюю и верхнюю оценки

${\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} е (х) \, dx \ leq \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}$

( 1 )

для бесконечной серии.

Обратите внимание, что если функция возрастает, то функция убывает и применима вышеупомянутая теорема. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle -f}$

Доказательство

Доказательство в основном использует сравнительный тест , сравнивая член f ( n ) с интегралом от f по интервалам [ n - 1, n ) и [ n , n + 1) , соответственно.

Монотонная функция является непрерывной почти всюду . Чтобы показать это, позвольте . Для каждого , существует по плотности в виде , так что . Обратите внимание, что это множество содержит открытый непустой интервал, если он разрывен в точке . Мы можем однозначно идентифицировать как рациональное число, которое имеет наименьший индекс в перечислении и удовлетворяет вышеуказанному свойству. Поскольку оно монотонно , оно определяет инъективное отображение и, следовательно , счетно . Отсюда следует , что является непрерывной почти всюду . Этого достаточно для интегрируемости по Риману . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle D = \ {x \ in [N, \ infty) \ mid f {\ text {прерывается в точке}} x \}}$${\ displaystyle x \ in D}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle с (х) \ в \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle c (x) \ in \ left [\ lim _ {y \ downarrow x} f (y), \ lim _ {y \ uparrow x} f (y) \ right]}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle с (х)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ to \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle c: D \ to \ mathbb {Q}, x \ mapsto c (x)}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle f}$

Поскольку f - монотонно убывающая функция, мы знаем, что

${\ displaystyle f (x) \ leq f (n) \ quad {\ text {для всех}} x \ in [n, \ infty)}$

а также

${\ displaystyle f (n) \ leq f (x) \ quad {\ text {для всех}} x \ in [N, n].}$

Следовательно, для любого целого n ≥ N ,

${\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx \ leq \ int _ {n} ^ {n + 1} f (n) \, dx = f (n)}$

( 2 )

и для любого целого п ≥ N + 1 ,

${\ displaystyle f (n) = \ int _ {n-1} ^ {n} f (n) \, dx \ leq \ int _ {n-1} ^ {n} f (x) \, dx.}$

( 3 )

Суммируя по всем n от N до некоторого большего целого M , получаем из ( 2 )

${\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx = \ sum _ {n = N} ^ {M} \ underbrace {\ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx} _ {\ leq \, f (n)} \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n)}$

и из ( 3 )

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = N} ^ {M} е (п) \ Leq е (N) + \ сумма _ {п = N + 1} ^ {M} \ underbrace {\ int _ {п-1 } ^ {n} f (x) \, dx} _ {\ geq \, f (n)} = f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}$

Объединение этих двух оценок дает

${\ Displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} е (х) \, dx \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}$

Устремляя M к бесконечности, следуют оценки в ( 1 ) и результат.

Приложения

Гармонический ряд

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {1} {п}}}$

расходится, потому что, используя натуральный логарифм , его первообразную и основную теорему исчисления , мы получаем

${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {M} {\ frac {1} {n}} \, dn = \ ln n {\ Bigr |} _ {1} ^ {M} = \ ln M \ to \ infty \ quad {\ text {for}} M \ to \ infty.}$

Напротив, сериал

${\ displaystyle \ zeta (1+ \ varepsilon) = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}}}$

(см. дзета-функцию Римана ) сходится для любого ε > 0 , потому что по правилу мощности

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {M} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}} \, dx = \ left .- {\ frac {1} {\ varepsilon x ^ { \ varepsilon}}} \ right | _ {1} ^ {M} = {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ left (1 - {\ frac {1} {M ^ {\ varepsilon}}} \ right ) \ leq {\ frac {1} {\ varepsilon}} <\ infty \ quad {\ text {для всех}} M \ geq 1.}$

Из ( 1 ) получаем оценку сверху

${\ displaystyle \ zeta (1+ \ varepsilon) = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}} \ leq {\ frac {1+ \ varepsilon} {\ varepsilon}},}$

которые можно сравнить с некоторыми конкретными значениями дзета-функции Римана .

Граница между расхождением и конвергенцией

В приведенных выше примерах с использованием гармонических рядов возникает вопрос, существуют ли такие монотонные последовательности, что f ( n ) убывает до 0 быстрее, чем 1 / n, но медленнее, чем 1 / n ^{1+ ε} в том смысле, что

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {f (n)} {1 / n}} = 0 \ quad {\ text {and}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty } {\ гидроразрыва {f (n)} {1 / n ^ {1+ \ varepsilon}}} = \ infty}$

для любого ε > 0 и будет ли по- прежнему расходиться соответствующий ряд функции f ( n ) . Как только такая последовательность найдена, можно задать аналогичный вопрос с f ( n ), играющим роль 1 / n , и так далее. Таким образом можно исследовать границу между расхождением и сходимостью бесконечных рядов.

Используя интегральный критерий сходимости, можно показать (см. Ниже), что для любого натурального числа k ряд

${\ Displaystyle \ sum _ {N = N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ ln (n) \ ln _ {2} (n) \ cdots \ ln _ {k-1 } (п) \ ln _ {k} (n)}}}$

( 4 )

все еще расходится (см. доказательство того, что сумма обратных простых чисел расходится при k = 1 ), но

${\ Displaystyle \ sum _ {N = N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ ln (n) \ ln _ {2} (n) \ cdots \ ln _ {k-1 } (п) (\ ln _ {k} (n)) ^ {1+ \ varepsilon}}}}$

( 5 )

сходится для любого ε > 0 . Здесь ln _k обозначает k -кратную композицию натурального логарифма, рекурсивно определяемую формулой

${\ displaystyle \ ln _ {k} (x) = {\ begin {case} \ ln (x) & {\ text {for}} k = 1, \\\ ln (\ ln _ {k-1} ( x)) & {\ text {for}} k \ geq 2. \ end {case}}}$

Кроме того, N _k обозначает наименьшее натуральное число такое, что k -кратная композиция определена корректно и ln _k ( N _k ) ≥ 1 , т. Е.

${\ displaystyle N_ {k} \ geq \ underbrace {e ^ {e ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {e}}}}} _ {k \ e '{\ text {s}}} = e \ uparrow \ uparrow k}$

с использованием тетрации или нотации Кнута со стрелкой вверх .

Чтобы увидеть расходимость ряда ( 4 ) с помощью интегрального теста, заметим, что при повторном применении цепного правила

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k + 1} (x) = {\ frac {d} {dx}} \ ln (\ ln _ {k} (x)) = { \ frac {1} {\ ln _ {k} (x)}} {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k} (x) = \ cdots = {\ frac {1} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k} (x)}},}$

следовательно

${\ displaystyle \ int _ {N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k} (x)}} = \ ln _ {k + 1} (x) {\ bigr |} _ {N_ {k}} ^ {\ infty} = \ infty.}$

Чтобы увидеть сходимость ряда ( 5 ), обратите внимание, что по правилу степеней, правилу цепочек и приведенному выше результату

${\ displaystyle - {\ frac {d} {dx}} {\ frac {1} {\ varepsilon (\ ln _ {k} (x)) ^ {\ varepsilon}}} = {\ frac {1} {( \ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}} {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k} (x) = \ cdots = {\ frac {1} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k-1} (x) (\ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}},}$

следовательно

${\ Displaystyle \ int _ {N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k-1} (x) (\ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}} = - {\ frac {1} {\ varepsilon (\ ln _ {k} (x)) ^ {\ varepsilon}}} {\ biggr |} _ {N_ {k}} ^ {\ infty} <\ infty}$

а ( 1 ) дает оценки для бесконечного ряда в ( 5 ).

Смотрите также

• Тесты сходимости
• Сходимость (математика)
• Тест прямого сравнения
• Теорема о доминирующей сходимости
• Формула Эйлера-Маклорена
• Предел сравнительного теста
• Теорема о монотонной сходимости

Рекомендации

• Кнопп, Конрад , «Бесконечные последовательности и серии», Dover Publications , Inc., Нью-Йорк, 1956. (§ 3.3) ISBN  0-486-60153-6
• Уиттакер, ET, и Уотсон, GN, Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN  0-521-58807-3
• Феррейра, Хайме Кампос, Эд Калуст Гюльбенкян, 1987, ISBN  972-31-0179-3