Логарифмическое дифференцирование - Logarithmic differentiation

В исчислении , логарифмическое дифференцирование или дифференцировка логарифмируя является метод , используемый для дифференцируемых функций посредством использования логарифмической производной от функции F ,

${\ displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad \ подразумевает \ quad f '= f \ cdot (\ ln f)'.}$

Этот метод часто используется в тех случаях, когда легче дифференцировать логарифм функции, чем саму функцию. Обычно это происходит в тех случаях, когда интересующая функция состоит из произведения нескольких частей, так что логарифмическое преобразование превратит ее в сумму отдельных частей (которую намного легче дифференцировать). Это также может быть полезно при применении к функциям, возведенным в степень переменных или функций. Логарифмическое дифференцирование опирается на правило цепочки, а также свойства логарифмов (в частности, натуральный логарифм или логарифм с основанием е ) для преобразования продуктов в суммы и деления в вычитания. Этот принцип может быть реализован, по крайней мере частично, в дифференцировании почти всех дифференцируемых функций при условии, что эти функции не равны нулю.

Обзор

Для функции

${\ Displaystyle у = е (х) \, \!}$

Логарифмическое дифференцирование обычно начинается с натурального логарифма или логарифма по основанию e с обеих сторон, не забывая принимать абсолютные значения:

${\ Displaystyle \ пер | у | = \ пер | е (х) |. \, \!}$

После неявной дифференциации :

${\ displaystyle {\ frac {1} {y}} {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {f '(x)} {f (x)}}.}$

Затем выполняется умножение на y , чтобы исключить 1 / y и оставить только dy / dx в левой части :

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = y \ times {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = f' (x).}$

Этот метод используется потому, что свойства логарифмов позволяют быстро упростить дифференциацию сложных функций. Этими свойствами можно манипулировать после взятия натуральных логарифмов с обеих сторон и до предварительного дифференцирования. Наиболее часто используемые законы логарифмирования:

${\ Displaystyle \ пер (ab) = \ пер (а) + \ пер (б), \ qquad \ пер \ влево ({\ гидроразрыва {а} {б}} \ вправо) = \ пер (а) - \ пер (b), \ qquad \ ln (a ^ {n}) = n \ ln (a).}$

Общий случай

Используя обозначение прописной буквы Пи ,

${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {\ alpha _ {i} (x)}.}$

Применение натуральных логарифмов приводит к (с прописной сигма-записью )

${\ Displaystyle \ пер (е (х)) = \ сумма _ {я} \ альфа _ {я} (х) \ CDOT \ пер (е_ {я} (х)),}$

и после дифференцирования

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = \ sum _ {i} \ left [\ alpha _ {i}' (x) \ cdot \ ln (f_ {i} ( x)) + \ alpha _ {i} (x) \ cdot {\ frac {f_ {i} '(x)} {f_ {i} (x)}} \ right].}$

Переставьте, чтобы получить производную исходной функции,

${\ displaystyle f '(x) = \ overbrace {\ prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {\ alpha _ {i} (x)}} ^ {f (x)} \ times \ overbrace {\ sum _ {i} \ left \ {\ alpha _ {i} '(x) \ cdot \ ln (f_ {i} (x)) + \ alpha _ {i} (x) \ cdot {\ frac {f_ {i} '(x)} {f_ {i} (x)}} \ right \}} ^ {[\ ln (f (x))]'}.}$

Производные высшего порядка

Используя формулу Фаа ди Бруно , логарифмическая производная n-го порядка равна,

${\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} \ ln f (x) = \ sum _ {m_ {1} + 2m_ {2} + \ cdots + nm_ {n} = n} {\ гидроразрыв {n!} {m_ {1}! \, m_ {2}! \, \ cdots \, m_ {n}!}} \ cdot {\ frac {(-1) ^ {m_ {1} + \ cdots + m_ {n} -1} (m_ {1} + \ cdots + m_ {n} -1)!} {f (x) ^ {m_ {1} + \ cdots + m_ {n}}}} \ cdot \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {f ^ {(j)} (x)} {j!}} \ right) ^ {m_ {j}}.}$

Используя это, первые четыре производные:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' (x)} {f (x)}} - \ left ( {\ frac {f '(x)} {f (x)}} \ right) ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' '(x)} {f (x)}} - 3 { \ frac {f '(x) f' '(x)} {f (x) ^ {2}}} + 2 \ left ({\ frac {f' (x)} {f (x)}} \ right ) ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {4}} {dx ^ {4}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' '' (x)} {f (x)}} - 4 {\ frac {f '(x) f' '' (x)} {f (x) ^ {2}}} - 3 \ left ({\ frac {f '' (x)} {f (x)} } \ right) ^ {2} +12 {\ frac {f '(x) ^ {2} f' '(x)} {f (x) ^ {3}}} - 6 \ left ({\ frac { f '(x)} {f (x)}} \ right) ^ {4}}$

Приложения

Продукты

Натуральный логарифм применяются к произведению двух функций

${\ Displaystyle е (х) = г (х) час (х) \, \!}$

преобразовать произведение в сумму

${\ Displaystyle \ пер (е (х)) = \ пер (г (х) час (х)) = \ пер (г (х)) + \ пер (ч (х)). \, \!}$

Дифференцирование путем применения цепочки и правил сумм дает

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {g' (x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} { h (x)}},}$

и после перестановки дает

${\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g' (x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} { h (x)}} {\ Bigg \}} = g (x) h (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g '(x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} {h (x)}} {\ Bigg \}}.}$

Коэффициенты

Натуральный логарифм применяется к фактору двух функций

${\ Displaystyle е (х) = {\ гидроразрыва {г (х)} {ч (х)}} \, \!}$

преобразовать деление в вычитание

${\ Displaystyle \ пер (е (х)) = \ пер {\ Bigg (} {\ гидроразрыва {г (х)} {ч (х)}} {\ Bigg)} = \ пер (г (х)) - \ ln (h (x)) \, \!}$

Дифференцирование путем применения цепочки и правил сумм дает

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {g' (x)} {g (x)}} - {\ frac {h '(x)} { h (x)}},}$

и после перестановки дает

${\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g' (x)} {g (x)}} - {\ frac {h '(x)} { h (x)}} {\ Bigg \}} = {\ frac {g (x)} {h (x)}} \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g '(x)} {g ( x)}} - {\ frac {h '(x)} {h (x)}} {\ Bigg \}}.}.$

После умножения и использования формулы общего знаменателя результат будет таким же, как после применения правила частного непосредственно к . ${\ displaystyle f (x)}$

Составная экспонента

Для функции вида

${\ Displaystyle е (х) = г (х) ^ {ч (х)} \, \!}$

Натуральный логарифм превращает возведение в степень в продукт

${\ Displaystyle \ пер (е (х)) = \ пер \ влево (г (х) ^ {ч (х)} \ справа) = час (х) \ пер (г (х)) \, \!}$

Дифференциация путем применения цепочки и правил продукта дает

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = h' (x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} { g (x)}},}$

и после перестановки дает

${\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} h' (x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} { g (x)}} {\ Bigg \}} = g (x) ^ {h (x)} \ times {\ Bigg \ {} h '(x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} {g (x)}} {\ Bigg \}}.}$

Тот же результат можно получить, переписав f в терминах exp и применив цепное правило.

Смотрите также

• Производная Дарбу
• Форма Маурера – Картана
• Группа Ли
• Список тем логарифмирования
• Список логарифмических тождеств

Заметки