Правило власти - Power rule

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

В исчислении , то правило питания используется для дифференциации функций вида , когда вещественное число. Поскольку дифференцирование - это линейная операция на пространстве дифференцируемых функций, многочлены также можно дифференцировать с помощью этого правила. Правило питания лежит в ряд Тейлора , как он относится к степенному ряду с функцией в производных . ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {г}}$${\ displaystyle r}$

Утверждение правила власти

Позвольте быть функцией, удовлетворяющей для всех , с . Потом, ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle е (х) = х ^ {г}}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle г \ в \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle F '(х) = rx ^ {r-1} \ ,.}$

Правило власти для интеграции гласит, что

${\ displaystyle \ int \! x ^ {r} \, dx = {\ frac {x ^ {r + 1}} {r + 1}} + C}$

для любого реального числа . Его можно получить, инвертировав правило мощности для дифференцирования. ${\ displaystyle r \ neq -1}$

Доказательства

Доказательство для реальных показателей

Для начала следует выбрать рабочее определение значения , где - любое действительное число. Хотя возможно определить значение как предел последовательности рациональных способностей, которые приближаются к иррациональной мощности всякий раз, когда мы сталкиваемся с такой мощностью, или как наименьшую верхнюю границу набора рациональных способностей, меньших, чем данная мощность, этот тип определение не поддается дифференцированию. Поэтому предпочтительно использовать функциональное определение, которое обычно принимается для всех значений , где - естественная экспоненциальная функция, а - число Эйлера . Во-первых, мы можем продемонстрировать, что производная от is . ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {г}}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle х ^ {г} = \ ехр (г \ пер х) = е ^ {г \ пер х}}$${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle \ exp}$${\ displaystyle e}$${\ Displaystyle е (х) = е ^ {х}}$${\ Displaystyle F '(х) = е ^ {х}}$

Если , то , где - функция натурального логарифма, функция, обратная экспоненциальной функции, как продемонстрировал Эйлер. Поскольку последние две функции равны для всех значений , их производные также равны, когда либо производная существует, поэтому мы имеем, по правилу цепи , ${\ Displaystyle е (х) = е ^ {х}}$${\ Displaystyle \ пер (е (х)) = х}$${\ displaystyle \ ln}$${\ displaystyle x> 0}$

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {е (х)}} \ cdot f '(х) = 1}$

или , как требовалось. Следовательно, применяя цепное правило к , мы видим, что ${\ Displaystyle е '(х) = е (х) = е ^ {х}}$${\ Displaystyle е (х) = е ^ {г \ пер х}}$

${\ displaystyle f '(x) = {\ frac {r} {x}} e ^ {r \ ln x} = {\ frac {r} {x}} x ^ {r}}$

что упрощает до . ${\ displaystyle rx ^ {r-1}}$

Когда , мы можем использовать то же определение с , где сейчас . Это обязательно приводит к такому же результату. Обратите внимание, что поскольку не имеет общепринятого определения, когда не является рациональным числом, иррациональные степенные функции не определены для отрицательных оснований. Кроме того, поскольку рациональные степени -1 с четными знаменателями (в младших членах) не являются действительными числами, эти выражения имеют действительное значение только для рациональных степеней с нечетными знаменателями (в самых низких членах). ${\ displaystyle x <0}$${\ Displaystyle х ^ {г} = ((- 1) (- х)) ^ {г} = (- 1) ^ {г} (- х) ^ {г}}$${\ displaystyle -x> 0}$${\ displaystyle (-1) ^ {r}}$${\ displaystyle r}$

Наконец, если функция дифференцируема в точке , определяющий предел для производной равен: ${\ displaystyle x = 0}$

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {h ^ {r} -0 ^ {r}} {h}}}$

что дает 0 только в том случае , если рациональное число с нечетным знаменателем (в наименьшем значении) , и 1, когда r = 1. Для всех других значений r выражение не определено должным образом , как было рассмотрено выше, или не является действительное число, поэтому предел не существует как производная с действительным знаком. Для двух случаев, которые действительно существуют, значения согласуются со значением существующего правила мощности в 0, поэтому не нужно делать никаких исключений. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r> 1}$${\ displaystyle h ^ {r}}$${\ displaystyle h <0}$

Исключение выражения${\ displaystyle 0 ^ {0}}$ (случай x = 0) из нашей схемы возведения в степень связано с тем, что функция не имеет предела в (0,0), поскольку приближается к 1, когда x приближается к 0, а приближается к 0, когда y приближается к 0 Таким образом, было бы проблематично приписать ему какое-либо конкретное значение, поскольку значение противоречило бы одному из двух случаев, зависящих от приложения. Его традиционно оставляют неопределенным. ${\ Displaystyle е (х, у) = х ^ {у}}$${\ displaystyle x ^ {0}}$${\ displaystyle 0 ^ {y}}$

Доказательства для ненулевых целочисленных показателей

Доказательство по индукции (положительные целые числа)

Пусть n - натуральное число. Требуется доказать, что${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = nx ^ {n-1}.}$

Когда , Следовательно, базовый случай имеет место. ${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {1} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {(x + h) -x} {h}} = 1 = 1x ^ { 1-1}.}$

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k , т. Е.${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {k} = kx ^ {k-1}.}$

Когда ,${\ Displaystyle п = к + 1}$${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {k + 1} = {\ frac {d} {dx}} (x ^ {k} \ cdot x) = x ^ {k} \ cdot { \ frac {d} {dx}} x + x \ cdot {\ frac {d} {dx}} x ^ {k} = x ^ {k} + x \ cdot kx ^ {k-1} = x ^ { k} + kx ^ {k} = (k + 1) x ^ {k} = (k + 1) x ^ {(k + 1) -1}}$

По принципу математической индукции утверждение верно для всех натуральных чисел n .

Доказательство биномиальной теоремой (положительные целые числа)

Пусть , где${\ Displaystyle у = х ^ {п}}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$

потом ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {(x + h) ^ {n} -x ^ {n}} {h}}}$ ${\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1} {h}} \ left [x ^ {n} + {\ binom {n} {1}} x ^ {n-1} h + {\ binom {n} {2}} x ^ {n-2} h ^ {2} + ... + {\ binom {n} {n}} h ^ {n} -x ^ {n} \ right ]}$

${\ displaystyle = \ lim _ {h \ to 0} \ left [{\ binom {n} {1}} x ^ {n-1} + {\ binom {n} {2}} x ^ {n-2 } ч + ... + {\ binom {n} {n}} h ^ {n-1} \ right]}$

${\ displaystyle = nx ^ {n-1}}$

Обобщение на отрицательные целые показатели

Для отрицательного целого числа n , пусть так, что m является положительным целым числом. Используя правило взаимности ,${\ displaystyle n = -m}$${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {1} {x ^ {m}}} \ right) = {\ frac {- {\ frac {d} {dx}} x ^ {m}} {(x ^ {m}) ^ {2}}} = - {\ frac {mx ^ {m-1}} { x ^ {2m}}} = - mx ^ {- m-1} = nx ^ {n-1}.}$

В заключение, для любого ненулевого целого числа ,${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {n} = nx ^ {n-1}.}$

Обобщение на рациональные показатели

После доказательства того, что правило мощности выполняется для целых показателей, правило может быть расширено до рациональных показателей.

Индивидуальное обобщение

1. Пусть , где${\ displaystyle y = x ^ {\ frac {1} {n}} = x ^ {m}}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$

потом ${\ Displaystyle у ^ {п} = х}$

По цепному правилу получаем${\ displaystyle ny ^ {n-1} \ cdot {\ frac {dy} {dx}} = 1}$

Таким образом, ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {1} {ny ^ {n-1}}} = {\ frac {1} {n \ left (x ^ {\ frac {1}) {n}} \ right) ^ {n-1}}} = {\ frac {1} {n}} x ^ {{\ frac {1} {n}} - 1} = mx ^ {m-1} }$

2. Пусть , где , чтобы${\ displaystyle y = x ^ {\ frac {n} {m}} = x ^ {p}}$${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {Q} ^ {+}}$

По правилу цепи ,${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d} {dx}} \ left (x ^ {\ frac {1} {m}} \ right) ^ {n} = n \ left (x ^ {\ frac {1} {m}} \ right) ^ {n-1} \ cdot {\ frac {1} {m}} x ^ {{\ frac {1} {m}} - 1} = {\ frac {n} {m}} x ^ {{\ frac {n} {m}} - 1} = px ^ {p-1}}$

3. Пусть , где и${\ Displaystyle у = х ^ {q}}$${\ displaystyle q = -p}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {Q} ^ {+}}$

Используя цепное правило и взаимное правило , мы имеем${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d} {dx}} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) ^ {p} = p \ left ({ \ frac {1} {x}} \ right) ^ {p-1} \ cdot \ left (- {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right) = - px ^ {- p-1 } = qx ^ {q-1}}$

Из приведенных выше результатов мы можем заключить, что когда r - рациональное число ,${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {r} = rx ^ {r-1}.}$

Доказательство неявным дифференцированием

Более прямое обобщение правила мощности на рациональные показатели использует неявное дифференцирование.

Пусть , где так то . ${\ Displaystyle у = х ^ {г} = х ^ {p / q}}$${\ displaystyle p, q \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {Q}}$

Потом,

${\ Displaystyle у ^ {д} = х ^ {р}}$

${\ displaystyle qy ^ {q-1} {\ frac {dy} {dx}} = px ^ {p-1}}$

Решая , ${\ displaystyle dy / dx}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {px ^ {p-1}} {qy ^ {q-1}}}.}.$

Поскольку , ${\ Displaystyle у = х ^ {р / д}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {p / q} = {\ frac {px ^ {p-1}} {qx ^ {pp / q}}}.}.}$

Применяя законы экспонентов,

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {p / q} = {\ frac {p} {q}} x ^ {p-1} x ^ {- p + p / q} = { \ frac {p} {q}} x ^ {p / q-1}.}$

Таким образом, позволив , мы можем сделать вывод, что когда - рациональное число. ${\ Displaystyle г = р / д}$${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} x ^ {r} = rx ^ {r-1}}$${\ displaystyle r}$

История

Правило степени для интегралов было впервые продемонстрировано в геометрической форме итальянским математиком Бонавентурой Кавальери в начале 17 века для всех положительных целочисленных значений , а в середине 17 века для всех рациональных степеней математиками Пьером де Ферма , Евангелистой Торричелли , Жилем. де Роберваль , Джон Уоллис и Блез Паскаль , каждый из которых работал независимо. В то время это были трактаты об определении площади между графиком рациональной степенной функции и горизонтальной осью. Однако, оглядываясь назад, она считается первой открытой общей теоремой исчисления. Степенное правило для дифференцирования было выведено Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем , каждый независимо, для рациональных степенных функций в середине 17 века, которые затем использовали его для вывода степенного правила для интегралов в качестве обратной операции. Это отражает традиционный способ представления связанных теорем в современных учебниках по основам математического анализа, где правила дифференцирования обычно предшествуют правилам интегрирования. ${\ displaystyle {\ displaystyle n}}$

Хотя оба мужчины заявили, что их правила, продемонстрированные только для рациональных величин, работают для всех реальных степеней, ни один из них не искал доказательства такового, поскольку в то время приложения теории не были связаны с такими экзотическими степенными функциями и вопросами сходимости бесконечные серии оставались неоднозначными.

Уникальный случай был раскрыт фламандским иезуитом и математиком Грегуаром де Сен-Винсентом и его учеником Альфонсом Антонио де Сараса в середине 17 века, которые продемонстрировали, что связанный с ним определенный интеграл, ${\ displaystyle r = -1}$

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {t}} \, dt}$

представляющая область между прямоугольной гиперболой и осью x, была логарифмической функцией, основание которой в конечном итоге было обнаружено как трансцендентное число e . Современное обозначение значения этого определенного интеграла - натуральный логарифм. ${\ displaystyle xy = 1}$${\ Displaystyle \ ln (х)}$

Обобщения

Сложные силовые функции

Если мы рассмотрим функции вида где - любое комплексное число и комплексное число в комплексной плоскости с разрезом, исключающей точку ветвления 0 и любой связанный с ней разрез ветви, и мы воспользуемся обычным многозначным определением , то это просто показывают , что в каждой ветви комплексного логарифма, тот же самый аргумент , используемый выше , дает такой же результат: . ${\ Displaystyle е (г) = г ^ {с}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle z}$${\ Displaystyle г ^ {с}: = \ ехр (с \ пер г)}$${\ displaystyle f '(z) = {\ frac {c} {z}} \ exp (с \ ln z)}$

Вдобавок, если это положительное целое число, то нет необходимости в разрезании ветвей: можно определить или определить положительные целые комплексные степени посредством комплексного умножения и показать, что для всех сложных , из определения производной и биномиальной теоремы . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f (0) = 0}$${\ displaystyle f '(z) = cz ^ {c-1}}$${\ displaystyle z}$

Однако из-за многозначного характера сложных степенных функций для нецелочисленных показателей необходимо соблюдать осторожность при указании ветви используемого комплексного логарифма. Кроме того, независимо от того, какая ветвь используется, если не является положительным целым числом, функция не дифференцируема в 0. ${\ displaystyle c}$

использованная литература

дальнейшее чтение

• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П .; и Эдвардс, Брюс Х. (2003). Исчисление одной переменной: ранние трансцендентные функции (3-е издание). Компания Houghton Mifflin. ISBN  0-618-22307-X .