Тест Дирихле - Dirichlet's test

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции Всего Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Мощность Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасс , Эйлер ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Мощность Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Глоссарий исчисления Глоссарий исчисления Список тем по математике
v т е

В математике , тест Дирихле является метод тестирования для сходимости в виде ряда . Он назван в честь его автора Питера Густава Лежена Дирихле и был опубликован посмертно в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées в 1862 году.

утверждение

Испытание утверждает , что если это последовательность из действительных чисел и последовательность комплексных чисел , удовлетворяющая ${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$

• ${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$ является монотонной

• ${\ displaystyle \ lim _ {п \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}$

• ${\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}$ для любого натурального числа N

где M - некоторая постоянная, то ряд

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}$

сходится.

Доказательство

Пусть и . ${\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k}}$${\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k}}$

Из суммирования по частям мы получаем это . Поскольку ограничено M и , первое из этих членов стремится к нулю, поскольку . ${\ Displaystyle S_ {n} = a_ {n} B_ {n} + \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$${\ displaystyle B_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n} \ rightarrow 0}$${\ displaystyle a_ {n} B_ {n} \ to 0}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$

У нас есть, для каждого к , . Но, если убывает, ${\ displaystyle | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) | \ leq M | a_ {k} -a_ {k + 1} |}$${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} -a_ {k + 1}) = M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$ ,

которая представляет собой телескопическую сумму , которая равна и поэтому приближается к . Таким образом, сходится. А если увеличивается, ${\ Displaystyle М (а_ {1} -а_ {п + 1})}$${\ displaystyle Ma_ {1}}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {\ infty} М (а_ {к} -а_ {к + 1})}$${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = - \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} - a_ {k + 1}) = - M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$ ,

которая снова является телескопической суммой, которая равна и поэтому приближается к . Таким образом, опять сходится. ${\ Displaystyle -M (а_ {1} -а_ {п + 1})}$${\ displaystyle -Ma_ {1}}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {\ infty} М (а_ {к} -а_ {к + 1})}$

Итак, сходится и при прямом сравнительном тесте . Ряд сходится и по критерию абсолютной сходимости . Значит сходится. ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) |}$${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$${\ displaystyle S_ {n}}$

Приложения

Частным случаем теста Дирихле является более часто используемый тест чередующихся серий для случая

${\ displaystyle b_ {n} = (- 1) ^ {n} \ Longrightarrow \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq 1.}$

Другое следствие состоит в том, что сходится всякий раз, когда убывающая последовательность стремится к нулю. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sin n}$${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$

Несобственные интегралы

Аналогичное утверждение о сходимости несобственных интегралов доказывается интегрированием по частям. Если интеграл от функции f равномерно ограничен на всех интервалах, а g - монотонно убывающая неотрицательная функция, то интеграл от fg является сходящимся несобственным интегралом.

Ноты

Рекомендации

• Харди, Г. Х., Курс чистой математики , девятое издание, Cambridge University Press, 1946. (стр. 379–380).
• Воксман, Уильям Л., Продвинутое исчисление: Введение в современный анализ , Марсель Деккер, Inc., Нью-Йорк, 1981. (§8.B.13–15) ISBN   0-8247-6949-X .

внешние ссылки

• Доказательство на PlanetMath.org