Правила дифференциации - Differentiation rules

Это краткое изложение правил дифференцирования , то есть, правила для вычисления производной из функции в исчислении .

Элементарные правила дифференциации

Если не указано иное, все функции являются функциями действительных чисел ( R ), которые возвращают действительные значения; хотя в более общем плане приведенные ниже формулы применимы везде, где они четко определены, включая случай комплексных чисел ( C ) .

Дифференциация линейная

Для любых функций и любых действительных чисел и производная функции по равна ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ Displaystyle ч (х) = аф (х) + bg (х)}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle h '(x) = af' (x) + bg '(x).}

В обозначениях Лейбница это записывается как:

{\ displaystyle {\ frac {d (af + bg)} {dx}} = a {\ frac {df} {dx}} + b {\ frac {dg} {dx}}.}

К особым случаям относятся:

Правило постоянного множителя

{\ displaystyle (af) '= af'}

Правило сумм

{\ displaystyle (f + g) '= f' + g '}

Правило вычитания

{\ displaystyle (fg) '= f'-g'.}

Правило продукта

Для функций f и g производная функции h ( x ) = f ( x ) g ( x ) по x равна

{\ Displaystyle h '(x) = (fg)' (x) = f '(x) g (x) + f (x) g' (x).}

В обозначениях Лейбница это написано

{\ displaystyle {\ frac {d (fg)} {dx}} = {\ frac {df} {dx}} g + f {\ frac {dg} {dx}}.}

Цепное правило

Производная функции равна ${\ Displaystyle ч (х) = е (г (х))}$

{\ displaystyle h '(x) = f' (g (x)) \ cdot g '(x).}

В обозначениях Лейбница это записывается как:

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} h (x) = {\ frac {d} {dz}} f (z) | _ {z = g (x)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} g (x),}

часто сокращается до

{\ displaystyle {\ frac {dh (x)} {dx}} = {\ frac {df (g (x))} {dg (x)}} \ cdot {\ frac {dg (x)} {dx} }.}

Сосредоточившись на понятии карт, а дифференциал - это карта , это записывается более кратко: ${\ displaystyle {\ text {D}}}$

{\ displaystyle [{\ text {D}} (е \ circ g)] _ {x} = [{\ text {D}} f] _ {g (x)} \ cdot [{\ text {D}} g] _ {x} \ ,.}

Правило обратной функции

Если функция $f$ имеет обратную функцию $g$ , что означает, что и тогда ${\ Displaystyle г (е (х)) = х}$ ${\ Displaystyle е (г (у)) = у,}$

{\ displaystyle g '= {\ frac {1} {f' \ circ g}}.}

В обозначениях Лейбница это записывается как

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {\ frac {dy} {dx}}}.}

Степенные законы, многочлены, частные и обратные

Правило полинома или элементарной степени

Если для любого действительного числа, то ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {г}}$ ${\ displaystyle r \ neq 0,}$

{\ displaystyle f '(x) = rx ^ {r-1}.}

Когда это становится частным случаем, если тогда ${\ displaystyle r = 1,}$ ${\ Displaystyle е (х) = х,}$ ${\ displaystyle f '(x) = 1.}$

Комбинация правила мощности с правилами суммы и множественного числа констант позволяет вычислить производную любого многочлена.

Взаимное правило

Производная для любой (отличной от нуля) функции $f$ равна: ${\ Displaystyle ч (х) = {\ гидроразрыва {1} {е (х)}}}$

{\ displaystyle h '(x) = - {\ frac {f' (x)} {(f (x)) ^ {2}}}}

где $f$ не равно нулю.

В обозначениях Лейбница это написано

{\ displaystyle {\ frac {d (1 / f)} {dx}} = - {\ frac {1} {f ^ {2}}} {\ frac {df} {dx}}.}

Взаимное правило может быть получено либо из правила частного, либо из комбинации правила силы и правила цепочки.

Правило частного

Если $f$ и $g$ - функции, то:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) '= {\ frac {f'g-g'f} {g ^ {2}}} \ quad}

везде, где $g$ отличен от нуля.

Это может быть получено из правила продукта и правила взаимности.

Обобщенное правило власти

Правило элементарной власти значительно обобщает. Наиболее общее правило питания является функциональным правилом питания : для любых функций $F$ и $г$ ,

{\ displaystyle (f ^ {g}) '= \ left (e ^ {g \ ln f} \ right)' = f ^ {g} \ left (f '{g \ over f} + g' \ ln f \ right), \ quad}

везде, где обе стороны четко определены.

Особые случаи

Если , то когда $a$ - любое ненулевое действительное число, а $x$ положительно. ${\ textstyle е (х) = х ^ {а} \!}$ ${\ textstyle f '(x) = ax ^ {a-1}}$
Взаимное правило может быть получено как частный случай, когда . ${\ textstyle g (x) = - 1 \!}$

Производные экспоненциальной и логарифмической функций

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (c ^ {ax} \ right) = {ac ^ {ax} \ ln c}, \ qquad c> 0}

приведенное выше уравнение верно для всех $c$ , но производная для дает комплексное число. ${\ textstyle c <0}$

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (e ^ {ax} \ right) = ae ^ {ax}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ log _ {c} x \ right) = {1 \ over x \ ln c}, \ qquad c> 1}

приведенное выше уравнение также верно для всех $c$ , но дает комплексное число, если . ${\ textstyle c <0 \!}$

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln x \ right) = {1 \ over x}, \ qquad x> 0.}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln | x | \ right) = {1 \ over x}, \ qquad x \ neq 0.}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (W (x) \ right) = {1 \ over {x + e ^ {W (x)}}}, \ qquad x> - {1 \ над e}. \ qquad}

где - функция Ламберта W

{\ Displaystyle W (х)}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (x ^ {x} \ right) = x ^ {x} (1+ \ ln x).}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f (x) ^ {g (x)} \ right) = g (x) f (x) ^ {g (x) -1} {\ гидроразрыв {df} {dx}} + f (x) ^ {g (x)} \ ln {(f (x))} {\ frac {dg} {dx}}, \ qquad {\ text {if}} f (x)> 0, {\ text {and if}} {\ frac {df} {dx}} {\ text {and}} {\ frac {dg} {dx}} {\ text {exist.}} }

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f_ {1} (x) ^ {f_ {2} (x) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} ( x)}}} \ right) = \ left [\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ left (f_ {1} ( x_ {1}) ^ {f_ {2} (x_ {2}) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} (x_ {n})}}} \ right) \ right] { \ biggr \ vert} _ {x_ {1} = x_ {2} = ... = x_ {n} = x}, {\ text {if}} f_ {i <n} (x)> 0 {\ text { а также }}}

{\ displaystyle {\ frac {df_ {i}} {dx}} {\ text {существует. }}}

Логарифмические производные

Логарифмическая производная является еще одним способом с указанием правила дифференцирования логарифма от функции (используя правило цепи):

{\ displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad}

везде, где $f$ положительно.

Логарифмическое дифференцирование - это метод, который использует логарифмы и их правила дифференцирования для упрощения определенных выражений перед фактическим применением производной.

Логарифмы могут использоваться для удаления показателей степени, преобразования произведений в суммы и преобразования деления в вычитание - каждое из которых может привести к упрощенному выражению для получения производных.

Производные тригонометрических функций

${\ Displaystyle (\ грех х) '= \ соз х = {\ гидроразрыва {е ^ {ix} + е ^ {- ix}} {2}}}$	${\ displaystyle (\ arcsin x) '= {1 \ над {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ displaystyle (\ cos x) '= - \ sin x = {\ frac {e ^ {- ix} -e ^ {ix}} {2i}}}$	${\ displaystyle (\ arccos x) '= - {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ displaystyle (\ tan x) '= \ sec ^ {2} x = {1 \ over \ cos ^ {2} x} = 1 + \ tan ^ {2} x}$	${\ displaystyle (\ arctan x) '= {1 \ более 1 + x ^ {2}}}$
${\ displaystyle (\ cot x) '= - \ csc ^ {2} x = - {1 \ over \ sin ^ {2} x} = - 1- \ cot ^ {2} x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arccot} x) '= {1 \ over -1-x ^ {2}}}$
${\ Displaystyle (\ сек х) '= \ сек {х} \ загар {х}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcsec} x) '= {1 \ over \| x \| {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$
${\ Displaystyle (\ csc x) '= - \ csc {x} \ cot {x}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arccsc} x) '= - {1 \ over \| x \| {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}}$

Производные в приведенной выше таблице предназначены для случаев, когда диапазон обратного секанса равен, а диапазон обратного косеканса равен . ${\ displaystyle [0, \ pi] \!}$ ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right] \!}$

Обычно дополнительно определить обратную функцию тангенса с двумя аргументами , . Его значение лежит в диапазоне и отражает квадрант точки . Для первого и четвертого квадранта (т.е. ) один имеет . Его частные производные: ${\ Displaystyle \ arctan (у, х) \!}$ ${\ Displaystyle [- \ пи, \ пи] \!}$ ${\ Displaystyle (х, у) \!}$ ${\ displaystyle x> 0 \!}$ ${\ Displaystyle \ arctan (у, х> 0) = \ arctan (у / х) \!}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial y}} = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

, а также

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial x}} = {\ frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Производные гиперболических функций

${\ Displaystyle (\ зп х) '= \ соз х = {\ гидроразрыва {е ^ {х} + е ^ {- х}} {2}}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arsinh} x) '= {1 \ over {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}$
${\ Displaystyle (\ сш х) '= \ зп х = {\ гидроразрыва {е ^ {х} -е ^ {- х}} {2}}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcosh} x) '= {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$
${\ displaystyle (\ tanh x) '= {\ operatorname {sech} ^ {2} x} = {1 \ over \ cosh ^ {2} x} = 1- \ tanh ^ {2} x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {artanh} x) '= {1 \ over 1-x ^ {2}}}$
${\ displaystyle (\ coth x) '= - \ operatorname {csch} ^ {2} x = - {1 \ over \ sinh ^ {2} x} = 1- \ coth ^ {2} x}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcoth} x) '= {1 \ over 1-x ^ {2}}}$
${\ displaystyle (\ operatorname {sech} x) '= - \ operatorname {sech} {x} \ tanh {x}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arsech} x) '= - {1 \ над x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}$
${\ displaystyle (\ operatorname {csch} x) '= - \ operatorname {csch} {x} \ coth {x}}$	${\ displaystyle (\ operatorname {arcsch} x) '= - {1 \ over \| x \| {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}$

См. В разделе Гиперболические функции ограничения на эти производные.

Производные от специальных функций

Гамма-функция ${\ displaystyle \ quad \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \, dt}$

{\ displaystyle \ Gamma '(x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} \ ln t \, dt}

{\ Displaystyle \, = \ Гамма (х) \ влево (\ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} \ влево (\ пер \ влево (1 + {\ dfrac {1} {п}} \ вправо) - {\ dfrac {1} {x + n}} \ right) - {\ dfrac {1} {x}} \ right)}

{\ Displaystyle \, = \ Гамма (х) \ фунт / кв. дюйм (х)}

с является функцией дигаммы , выраженной в скобках выражением справа в строке выше. ${\ Displaystyle \ psi (х)}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (х)}$

Дзета-функция Римана ${\ displaystyle \ quad \ zeta (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {x}}}}$: ${\ displaystyle \ zeta '(x) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln n} {n ^ {x}}} = - {\ frac {\ ln 2} {2 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 3} {3 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 4} {4 ^ {x}}} - \ cdots}$

{\ displaystyle \, = - \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {p ^ {- x} \ ln p} {(1-p ^ {- x}) ^ {2}} } \ prod _ {q {\ text {prime}}, q \ neq p} {\ frac {1} {1-q ^ {- x}}}}

Производные интегралов

Предположим, что требуется дифференцировать по x функцию

{\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt,}

где обе функции и непрерывны в обеих и в некоторой области плоскости, включая , и функции и обе непрерывны и обе имеют непрерывные производные для . Тогда для : ${\ Displaystyle f (х, т)}$ ${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial x}} \, f (x, t)}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle (т, х)}$ ${\ Displaystyle а (х) \ leq t \ leq b (x),}$ ${\ Displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$ ${\ Displaystyle а (х)}$ ${\ displaystyle b (x)}$ ${\ Displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$ ${\ Displaystyle \, х_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}}$

{\ Displaystyle F '(x) = f (x, b (x)) \, b' (x) -f (x, a (x)) \, a '(x) + \ int _ {a (x )} ^ {b (x)} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \, f (x, t) \; dt \ ,.}

Эта формула является общей формой интегрального правила Лейбница и может быть получена с помощью основной теоремы исчисления .

Производные до n- го порядка

Некоторые правила существуют для вычисления $п$ - -й производной функции, где $п$ представляет собой положительное целое число. Это включает:

Формула Фаа ди Бруно

Если $F$ и $г$ в $п$ -кратного дифференцируема, то

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (g (x))] = n! \ sum _ {\ {k_ {m} \}} ^ {} f ^ {(r)} (g (x)) \ prod _ {m = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k_ {m}!}} \ left (g ^ {(m)} (x ) \ right) ^ {k_ {m}}}

где и множество состоит из всех неотрицательных целочисленных решений диофантова уравнения . ${\ Displaystyle г = \ сумма _ {м = 1} ^ {п-1} к_ {м}}$ ${\ Displaystyle \ {к_ {м} \}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {n} mk_ {m} = n}$

Общее правило Лейбница