Тест конденсации Коши - Cauchy condensation test

В математике , то телескопический признак , названный в честь Огюстен Луи Коши , является стандартным тестом сходимости для бесконечных рядов . Для невозрастающей последовательности неотрицательных действительных чисел ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится «сжатый» ряд . Более того, если они сходятся, сумма сжатого ряда не более чем вдвое превышает сумму исходного. ${\ displaystyle f (n)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$

Оценивать

Тест конденсации Коши следует из более сильной оценки

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) \ leq \ 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n),}$

что следует понимать как неравенство расширенных действительных чисел . Далее следует основная цель доказательства, построенного по образцу доказательства Оремом расходимости гармонических рядов .

Чтобы увидеть первое неравенство, члены исходного ряда заменяются скобками на серии, длина которых равна степеням двойки, а затем каждая серия ограничивается сверху путем замены каждого члена на самый большой член в этом цикле. Этот член всегда является первым, поскольку предполагается, что члены не увеличиваются.

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcccccccl} \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) & = & f (1) & + & f (2) + f (3) & + & f (4) + f (5) + f (6) + f (7) & + & \ cdots \\ & = & f (1) & + & {\ Big (} f (2) + f (3 ) {\ Big)} & + & {\ Big (} f (4) + f (5) + f (6) + f (7) {\ Big)} & + & \ cdots \\ & \ leq & f ( 1) & + & {\ Big (} f (2) + f (2) {\ Big)} & + & {\ Big (} f (4) + f (4) + f (4) + f (4 ) {\ Big)} & + & \ cdots \\ & = & f (1) & + & 2f (2) & + & 4f (4) & + & \ cdots = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) \ end {массив}}}$

Чтобы увидеть второе неравенство, эти две серий снова rebracketed в пробеги власти два длины, но «смещение» , как показано ниже, так что пробег , который начинается с одной линией с концом пробега которых концов с , так что первые всегда «опережают» вторых. ${\ displaystyle \ textstyle 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ displaystyle \ textstyle f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ textstyle f (2 ^ {n})}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) & = & f (1) + {\ Big (} f (2) + f (2) {\ Big)} + {\ Big (} f (4) + f (4) + f (4) + f (4) {\ Big)} + \ cdots \ \ & = & {\ Big (} f (1) + f (2) {\ Big)} + {\ Big (} f (2) + f (4) + f (4) + f (4) {\ Big)} + \ cdots \\ & \ leq & {\ Big (} f (1) + f (1) {\ Big)} + {\ Big (} f (2) + f (2) + f (3 ) + f (3) {\ Big)} + \ cdots = 2 \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) \ end {array}}}$

Визуализация приведенного выше аргумента. Частичные суммы серий , и показаны наложенными слева направо. ${\ Displaystyle \ textstyle \ сумма f (п)}$${\ Displaystyle \ сумма 2 ^ {п} е (2 ^ {п})}$${\ Displaystyle 2 \ сумма f (п)}$

Интегральное сравнение

«Конденсация» преобразование напоминает интегральную замену переменной дающую . ${\ displaystyle \ textstyle f (n) \ rightarrow 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ textstyle x \ rightarrow e ^ {x}}$${\ displaystyle \ textstyle f (x) \, \ mathrm {d} x \ rightarrow e ^ {x} f (e ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$

Следуя этой идее, интегральный тест на сходимость дает нам в случае монотонности , что сходится тогда и только тогда, когда сходится. Подстановка дает интеграл . Затем мы замечаем, что < , где правая часть получена в результате применения интегральной проверки к сжатому ряду . Следовательно, сходится тогда и только тогда, когда сходится. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} е (х) \, \ mathrm {d} х}$${\ displaystyle \ textstyle x \ rightarrow 2 ^ {x}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ log 2 \ \ int _ {2} ^ {\ infty} \! 2 ^ {x} f (2 ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ displaystyle \ log 2 \ \ int _ {2} ^ {\ infty} \! 2 ^ {x} f (2 ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ displaystyle \ log 2 \ \ int _ {0} ^ {\ infty} \! 2 ^ {x} f (2 ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$

Примеры

Тест может быть полезен для серий, где n появляется в знаменателе в f . В самом простом примере такого рода гармонический ряд трансформируется в ряд , который явно расходится. ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / n}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum 1}$

В качестве более сложного примера возьмем

${\ displaystyle f (n): = n ^ {- a} (\ log n) ^ {- b} (\ log \ log n) ^ {- c}}$ .

Здесь ряд определенно сходится при a > 1 и расходится при a <1. При a = 1 преобразование конденсации дает ряд

${\ Displaystyle \ сумма п ^ {- b} (\ журнал п) ^ {- с}}$ .

Логарифмы «сдвигаются влево». Итак, когда a = 1, мы имеем сходимость при b > 1, расхождение при b <1. Когда b = 1, входит значение c .

Этот результат легко обобщается: многократно применяемый тест конденсации может быть использован, чтобы показать, что для обобщенного ряда Бертрана ${\ Displaystyle к = 1,2,3, \ ldots}$

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq N} {\ frac {1} {n \ cdot \ log n \ cdot \ log \ log n \ cdots \ log ^ {\ circ (k-1)} n \ cdot ( \ log ^ {\ circ k} n) ^ {\ alpha}}} \ quad \ quad (N = \ lfloor \ exp ^ {\ circ k} (0) \ rfloor +1)}$

сходится при и расходится при . Здесь обозначает m- ю композиционную итерацию функции , так что ${\ displaystyle \ alpha> 1}$${\ Displaystyle 0 <\ альфа \ leq 1}$${\ displaystyle f ^ {\ circ m}}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle е ^ {\ circ м} (х): = {\ begin {case} f (f ^ {\ circ (m-1)} (x)), & m = 1,2,3, \ ldots; \\ x, & m = 0. \ end {case}}}$

Нижний предел суммы был выбран так, чтобы все члены ряда были положительны. Примечательно, что эти ряды предоставляют примеры бесконечных сумм, которые сходятся или расходятся сколь угодно медленно. Например, в случае и частичная сумма превышает 10 только после ( гуголплекс ) членов; тем не менее, серии расходятся. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle k = 2}$${\ Displaystyle \ альфа = 1}$${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {100}}}$

Обобщение Шлемильха

Пусть u ( n ) - строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что отношение последовательных разностей ограничено: существует положительное действительное число N , для которого:

${\ displaystyle {\ Delta u (n) \ over \ Delta u (n {-} 1)} \ = \ {u (n {+} 1) -u (n) \ over u (n) -u (n {-} 1)} \ <\ N \ \ {\ text {для всех}} n.}$

Тогда, при условии выполнения тех же предварительных условий, что и в тесте Коши, сходимость ряда эквивалентна сходимости: ${\ displaystyle f (n)}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Delta u (n)} \, f (u (n)) \ = \ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} { \ Big (} u (n {+} 1) -u (n) {\ Big)} f (u (n)).}$

Таким образом , тест конденсации Коши является частным случаем. ${\ Displaystyle \ textstyle и (п) = 2 ^ {п}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Delta u (n) = u (n {+} 1) -u (n) = 2 ^ {n}}$

Рекомендации

• Бонар, Хури (2006). Настоящая бесконечная серия . Математическая ассоциация Америки. ISBN   0-88385-745-6 .

внешняя ссылка

• Доказательство теста конденсации Коши