Обобщения производной - Generalizations of the derivative

В математике , то производная является фундаментальным построение дифференциального исчисления и допускает множество возможных обобщений в пределах области математического анализа , комбинаторики , алгебры и геометрии .

Деривативы в анализе

В реальном, комплексном и функциональном анализе производные обобщаются на функции нескольких действительных или комплексных переменных и функций между топологическими векторными пространствами . Важный случай - вариационная производная в вариационном исчислении . Многократное применение дифференцирования приводит к производным более высокого порядка и дифференциальным операторам.

Многопараметрическое исчисление

Производная часто встречается впервые как операция над единственной действительной функцией единственной действительной переменной. Одна из самых простых настроек для обобщений - это векторные функции нескольких переменных (чаще всего область также образует векторное пространство). Это область многомерного исчисления .

В одной переменном исчислении, мы говорим , что функция является дифференцируемой в точке х , если предел ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

существуют. Тогда его значение будет производной '( x ). Функция дифференцируема на интервале, если она дифференцируема в каждой точке интервала. Поскольку линия касается исходной функции в точке, производную можно рассматривать как способ найти наилучшее линейное приближение функции. Если игнорировать постоянный член, полагая , L ( z ) становится фактическим линейным оператором на R, рассматриваемом как векторное пространство над собой. ${\ Displaystyle L (z) = f '(x) (zx) + f (x)}$ ${\ Displaystyle (х, е (х)),}$ ${\ Displaystyle L (z) = f '(x) z}$

Это мотивирует следующее обобщение функций, отображаемых в : дифференцируемо в точке x, если существует линейный оператор A ( x ) (зависящий от x ) такой, что ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

{\ displaystyle \ lim _ {\ | h \ | \ to 0} {\ frac {\ | f (x + h) -f (x) -A (x) h \ |} {\ | h \ |}} = 0.}

Хотя это определение, возможно, не так явно, как приведенное выше, если такой оператор существует, то он уникален и в одномерном случае совпадает с исходным определением. (В этом случае производная представляет матрицу 1 на 1 , состоящую из единственного входа F» ( х ).) Следует отметить , что, в общем, мы интересуемся главным образом с функциями быть дифференцируемы в некоторых открытых окрестностях с , а не на отдельные моменты, поскольку невыполнение этого имеет тенденцию приводить ко многим патологическим контрпримерам . ${\ displaystyle x}$

П от м матрицы , из линейного оператора ( х ) известно как якобиевая матрица J _х (ƒ) отображения ƒ в точке х . Каждый элемент этой матрицы представляет собой частную производную , определяющую скорость изменения одной координаты диапазона относительно изменения координаты области. Конечно, матрица Якоби композиции g _° f является произведением соответствующих матриц Якоби: J _x ( g _° f ) = J ₍_x₎ ( g ) J _x (ƒ). Это многомерное утверждение цепного правила .

Для вещественнозначных функций от R ⁿ до R ( скалярные поля ) полную производную можно интерпретировать как векторное поле, называемое градиентом . Интуитивно понятная интерпретация градиента состоит в том, что он указывает «вверх»: другими словами, он указывает в направлении наиболее быстрого увеличения функции. Его можно использовать для вычисления производных по направлениям скалярных функций или нормальных направлений.

Несколько линейных комбинаций частных производных особенно полезны в контексте дифференциальных уравнений, определяемых векторной функцией от R ⁿ до R ⁿ . Дивергенция дает меру того , насколько «источник» или «раковина» вблизи точки есть. Его можно использовать для вычисления потока по теореме о расходимости . В локон меры , сколько « вращение » векторное поле имеет вблизи точки.

Для векторных функций от R до R ⁿ (т. Е. Параметрических кривых ) можно брать производную каждого компонента отдельно. Результирующая производная - это еще одна векторная функция. Это полезно, например, если вектор-функция - это вектор положения частицы во времени, тогда производная - это вектор скорости частицы во времени.

Конвективная производная принимает во внимание изменения в связи с временной зависимостью и движение через пространство вдоль векторного поля.

Выпуклый анализ

Субдифференциал и субградиент является обобщением производной от выпуклых функций .

Производные высших порядков и дифференциальные операторы

Можно повторять процесс дифференцирования, то есть применять производные более одного раза, получая производные второго и более высокого порядка. Более сложная идея - объединить несколько производных, возможно, разного порядка, в одном алгебраическом выражении - дифференциальном операторе . Это особенно полезно при рассмотрении обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Например, если f ( x ) - дважды дифференцируемая функция одной переменной, дифференциальное уравнение

{\ displaystyle f '' + 2f'-3f = 4x-1}

можно переписать в виде

{\ Displaystyle L (е) = 4x-1,}

где

{\ displaystyle L = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + 2 {\ frac {d} {dx}} - 3}

- линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами второго порядка, действующий на функции x . Ключевой идеей здесь является то, что мы рассматриваем конкретную линейную комбинацию производных нулевого, первого и второго порядка «сразу». Это позволяет нам думать о множестве решений этого дифференциального уравнения как о «обобщенной первообразной» его правой части 4 x - 1, по аналогии с обычным интегрированием , и формально записывать

{\ displaystyle f (x) = L ^ {- 1} (4x-1).}

Высшие производные также могут быть определены для функций нескольких переменных, изучаемых в многомерном исчислении . В этом случае вместо того, чтобы многократно применять производную, можно многократно применять частные производные по различным переменным. Например, частные производные второго порядка скалярной функции от n переменных могут быть организованы в матрицу n на n, матрицу Гессе . Один из тонких моментов заключается в том, что старшие производные не определены по сути и зависят от выбора координат сложным образом (в частности, матрица Гессе функции не является тензором ). Тем не менее у высших производных есть важные приложения для анализа локальных экстремумов функции в ее критических точках . Для расширенного применения этого анализа к топологии многообразий см. Теорию Морса .

Как и в случае функций одной переменной, мы можем комбинировать частные производные первого и более высокого порядка, чтобы прийти к понятию оператора в частных производных . Некоторые из этих операторов настолько важны, что имеют свои собственные имена:

Оператор Лапласа или лапласиан на R ³ представляет собой второго порядка частичного дифференциального оператора $Δ$ задается дивергенции от градиента скалярной функции трех переменных, либо в явном виде ${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}.}$ Аналогичные операторы могут быть определены для функций от любого количества переменных.
Даламбертиан или волновой оператор похож на лапласианом, но действует на функции четырех переменных. Его определение использует неопределенный метрический тензор в пространстве Минковского , вместо евклидова скалярного произведения из R ³ : ${\ displaystyle \ square = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}}.}$

Слабые производные

Для функции, которая является локально интегрируемой , но не обязательно классически дифференцируемой, слабая производная может быть определена посредством интегрирования по частям . Сначала определите тестовые функции, которые являются бесконечно дифференцируемыми функциями с компактным носителем , и мультииндексы , которые представляют собой списки длин целых чисел с . Применяется к тестовым функциям . Тогда слабая производная от существует, если существует такая функция , что для всех пробных функций имеем ${\ displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ varphi \ in C_ {c} ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ альфа = (\ альфа _ {1}, \ точки, \ альфа _ {п})}$ ${\ textstyle | \ alpha |: = \ sum _ {1} ^ {n} \ alpha _ {i}}$ ${\ textstyle D ^ {\ alpha} \ varphi: = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} \ varphi} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dotsm x_ {n } ^ {\ alpha _ {n}}}}}$ ${\ textstyle \ alpha ^ {\ text {th}}}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ Displaystyle v: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} u \ D ^ {\ alpha} \! \ varphi \ dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ mathbb { R} ^ {n}} v \ \ varphi \ dx}

Если такая функция существует, то она единственна почти везде . Это определение совпадает с классической производной для функций и может быть расширено до типа обобщенных функций, называемых распределениями , двойственного пространства пробных функций. Слабые производные особенно полезны при изучении дифференциальных уравнений в частных производных и в рамках функционального анализа. ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} u: = v}$ ${\ Displaystyle и \ в С ^ {| \ альфа |} \ влево (\ mathbb {R} ^ {п} \ вправо)}$

Анализ на фракталы

Лапласианы и дифференциальные уравнения могут быть определены на фракталах .

Дробные производные

В дополнение к n- м производным для любого натурального числа n существуют различные способы определения производных дробного или отрицательного порядка, которые изучаются в дробном исчислении . -1 порядок производной соответствует интегралу, откуда этот термин дробное интегро-дифференцирование .

Комплексный анализ

В комплексном анализе центральными объектами изучения являются голоморфные функции , которые являются комплексными функциями на комплексных числах, удовлетворяющими подходящему расширенному определению дифференцируемости .

Производная Шварца описывает, как сложная функция аппроксимируется дробно-линейным отображением , почти так же, как нормальная производная описывает, как функция аппроксимируется линейным отображением.

Производные Виртингера - это набор дифференциальных операторов, которые позволяют построить дифференциальное исчисление для сложных функций, полностью аналогичное обычному дифференциальному исчислению для функций вещественных переменных.

Кватернионный анализ

В кватернионном анализе производные можно определять аналогично действительным и комплексным функциям. Поскольку кватернионы не коммутативны, предел разностного отношения дает две разные производные: левую производную ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

{\ Displaystyle \ lim _ {ч \ до 0} \ влево [ч ^ {- 1} \, \ влево (е \ влево (а + ч \ вправо) -f \ влево (а \ вправо) \ вправо) \ вправо ]}

и правая производная

{\ Displaystyle \ lim _ {ч \ к 0} \ влево [\ влево (е \ влево (а + ч \ вправо) -f \ влево (а \ вправо) \ вправо) \, ч ^ {- 1} \ вправо ] ~.}

Существование этих ограничений является очень ограничивающим условием. Например, если в каждой точке открытого связного множества есть левые производные , то для . ${\ displaystyle f: \ mathbb {H} \ to \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle U \ подмножество \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle е (д) = а + д \, Ь}$ ${\ displaystyle a, \, b \ in \ mathbb {H}}$

Функциональный анализ

В функциональном анализе , то функциональное производное определяет производную по функции функционала на пространстве функций. Это расширение производной по направлению к бесконечной размерности векторного пространства.

Производная Фреше позволяет расширить производную по направлению на общее банахово пространство . Производная Гато расширяет концепцию локально выпуклых топологических векторных пространств . Дифференцируемость по Фреше - строго более сильное условие, чем дифференцируемость по Гато, даже в конечных размерностях. Между двумя крайностями находится квазипроизводная .

В теории меры производная Радона – Никодима обобщает якобиан , используемый для замены переменных, на меры. Он выражает одну меру μ через другую меру ν (при определенных условиях).

В теории абстрактных пространств Винер , то H -производные определяет производную в определенных направлениях , соответствующий Камерон-Мартин Гильберта пространства .

На функциональном пространстве , то линейный оператор , который присваивает каждую функцию ее производный пример дифференциального оператора . Общие дифференциальные операторы включают производные более высокого порядка. С помощью преобразования Фурье , псевдо-дифференциальных операторы могут быть определены , которые позволяют фракционное исчисление.

Аналоги производных в полях положительной характеристики

Производная Карлица - это операция, аналогичная обычному дифференцированию, была разработана с обычным контекстом действительных или комплексных чисел, замененных на локальные поля положительной характеристики в форме формальных рядов Лорана с коэффициентами в некотором конечном поле F _q (известно, что любое локальное поле положительной характеристики изоморфно полю ряда Лорана).

Наряду с соответствующим образом определенными аналогами экспоненциальной функции , логарифмов и других производных можно использовать для развития понятий гладкости, аналитичности, интегрирования, рядов Тейлора, а также теории дифференциальных уравнений.

Оператор разности, q-аналоги и шкалы времени

Д-производной функции определяется по формуле ${\ Displaystyle D_ {q} f (x) = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}.}$ Для ненулевого x , если f - дифференцируемая функция от x, то в пределе $q \to 1$ мы получаем обычную производную, поэтому q -производная может рассматриваться как ее q-деформация . Большая часть результатов обычного дифференциального исчисления, таких как биномиальная формула и разложение Тейлора , имеют естественные q- аналоги, которые были открыты в 19 веке, но оставались относительно неясными на протяжении большей части 20 века за пределами теории специальных функции . Прогресс комбинаторики и открытие квантовых групп резко изменили ситуацию, и популярность q- аналогов растет.
Разностный оператор из разностных уравнений является еще одним дискретным аналогом стандартной производной. ${\ Displaystyle \ Delta f (x) = f (x + 1) -f (x)}$
Д-производной , то разностный оператор и стандартное производное все можно рассматривать как одно и то же на разных временных масштабах . Например, взяв , мы можем иметь ${\ Displaystyle \ varepsilon = (д-1) х}$ ${\ displaystyle {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}} = {\ frac {f (x + \ varepsilon) -f (x)} {\ varepsilon}}.}$ Q-производная является частным случаем разности Хана , ${\ displaystyle {\ frac {f (qx + \ omega) -f (x)} {qx + \ omega -x}}.}$ Разница Хана - это не только обобщение q-производной, но также расширение прямой разности.
Также обратите внимание, что q-производная - не что иное, как частный случай известной производной. Возьми . Тогда у нас есть ${\ displaystyle z = qx}$ ${\ displaystyle \ lim _ {z \ to x} {\ frac {f (z) -f (x)} {zx}} = \ lim _ {q \ to 1} {\ frac {f (qx) -f (x)} {qx-x}} = \ lim _ {q \ to 1} {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}.}.$

Производные в алгебре

В алгебре обобщения производной можно получить, применяя правило дифференцирования Лейбница в алгебраической структуре, такой как кольцо или алгебра Ли .

Производные

Вывод представляет собой линейное отображение на кольце или алгебре удовлетворяющего закону Лейбница (правило продукта). Также могут быть определены высшие производные и алгебраические дифференциальные операторы . Они изучаются с чисто алгебраической точки зрения в дифференциальной теории Галуа и теории D-модулей , но также встречаются во многих других областях, где они часто согласуются с менее алгебраическими определениями производных.

Например, формальная производная из полинома над коммутативным кольцом R определяется

{\ displaystyle \ left (a_ {d} x ^ {d} + a_ {d-1} x ^ {d-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} \ right) '= da_ { d} x ^ {d-1} + (d-1) a_ {d-1} x ^ {d-2} + \ cdots + a_ {1}.}

Тогда отображение является дифференцированием кольца многочленов R [ X ]. Это определение можно распространить и на рациональные функции . ${\ displaystyle f \ mapsto f '}$

Понятие вывода применяется как к некоммутативным, так и к коммутативным кольцам и даже к неассоциативным алгебраическим структурам, таким как алгебры Ли.

См. Также производные Пинчерле и арифметические производные .

Коммутативная алгебра

В коммутативной алгебре , кэлеровы дифференциалы являются универсальными дифференцированиями коммутативного кольца или модуля . Их можно использовать для определения аналога внешней производной из дифференциальной геометрии, которая применяется к произвольным алгебраическим многообразиям , а не только к гладким многообразиям.

Теория чисел

В p-адическом анализе обычное определение производной недостаточно строго, и вместо этого требуется строгая дифференцируемость .

Также см. Арифметическую производную и производную Хассе .

Теория типов

Многие абстрактные типы данных в математике и информатике можно описать как алгебру, созданную преобразованием, которое отображает структуры, основанные на типе, обратно в тип. Например, тип T двоичных деревьев, содержащих значения типа A, может быть представлен как алгебра, порожденная преобразованием 1 + A × T ² → T. «1» представляет построение пустого дерева, а второй член представляет построение дерева из значения и двух поддеревьев. Знак «+» означает, что дерево можно построить любым способом.

Производная от такого типа - это тип, который описывает контекст конкретной подструктуры по отношению к ее следующей внешней содержащей структуре. Другими словами, это тип, представляющий «разницу» между ними. В примере с деревом производная - это тип, который описывает информацию, необходимую для конкретного поддерева для построения его родительского дерева. Эта информация представляет собой кортеж, который содержит двоичный индикатор того, находится ли дочерний элемент слева или справа, значение в родительском элементе и одноуровневое поддерево. Этот тип может быть представлен как 2 × A × T, что очень похоже на производную преобразования, которое сгенерировало тип дерева.

Эта концепция производного типа имеет практическое применение, например, метод застежки-молнии , используемый в языках функционального программирования .

Производные в геометрии

Основными типами производных в геометрии являются производные Ли по векторному полю, внешний дифференциал и ковариантные производные.

Дифференциальная топология

В дифференциальной топологии , A векторное поле может быть определено как дифференцирование на кольце гладких функций на многообразии , а касательный вектор может быть определен как дифференцирование в точке. Это позволяет абстрагировать понятие производной скалярной функции по направлениям до общих многообразий. Для многообразий , которые являются подмножествами из R ^п , этот касательный вектор будет согласные с производной по направлению , определенной выше.

Дифференциал или прямым образом на карту между многообразиями индуцированного отображение между касательными пространствами этих отображений. Он абстрагирует матрицу Якоби .

На внешней алгебре от дифференциальных форм над гладким многообразием , то внешняя производная является единственным линейным отображением, удовлетворяющими дифференцированные версии закона Лейбница и квадраты нуля. Это вывод 1 степени по внешней алгебре.

Производная Ли - это скорость изменения векторного или тензорного поля вдоль потока другого векторного поля. На векторных полях это пример скобки Ли (векторные поля образуют алгебру Ли группы диффеоморфизмов многообразия). Это высший класс по алгебре.

Вместе с внутренним произведением (производная степени -1 на внешней алгебре, определяемой сжатием с векторным полем) внешняя производная и производная Ли образуют супералгебру Ли .

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии , то ковариантная производная делает выбор для принятия направленных производных векторных полей вдоль кривых . Это расширяет производную скалярных функций по направлениям до сечений векторных расслоений или главных расслоений . В римановой геометрии существование метрики выбирает уникальную привилегированную ковариантную производную без кручения , известную как связность Леви-Чивиты . См. Также калибровочную ковариантную производную для рассмотрения, ориентированного на физику.

Внешняя ковариантная производная расширяет внешнюю производную на вектор значных форм.

Геометрическое исчисление

В геометрическом исчислении , что геометрические производные удовлетворяет более слабая форму правила Лейбниц. Он специализирует производную Фреше на объектах геометрической алгебры. Геометрическое исчисление - это мощный формализм, который, как было показано, охватывает аналогичные структуры дифференциальных форм и дифференциальной геометрии.

Другие обобщения

Возможно объединение двух или более из вышеупомянутых различных понятий расширения или абстракции исходной производной. Например, в финслеровой геометрии изучаются пространства, которые локально выглядят как банаховы . Таким образом, может потребоваться производная с некоторыми характеристиками функциональной производной и ковариантной производной .

Для изучения случайных процессов требуется форма исчисления, известная как исчисление Маллявэна . Одним из понятий производной в этом случае является H -производная функции на абстрактном винеровском пространстве .

Мультипликативное исчисление заменяет сложение умножением, и, следовательно, вместо того, чтобы иметь дело с пределом отношения разностей, оно имеет дело с пределом возведения в степень отношений. Это позволяет разрабатывать геометрическую производную и большую геометрическую производную. Более того, подобно тому, как классический дифференциальный оператор имеет дискретный аналог, разностный оператор, существуют также дискретные аналоги этих мультипликативных производных .

Languages

In other projects