Полярный синус - Polar sine

В геометрии , то полярная синус обобщает синусоидальную функцию от угла до угла при вершине в виде многогранника . Обозначается псин .

Определение

n векторов в n -мерном пространстве

Интерпретации 3D томов для левого: в параллелепипеда (Ω в полярном определении синуса) и права: в параллелепипеда (П в определении). Интерпретация аналогична в высших измерениях.

Пусть v ₁ , ..., V _п ( п ≥ 2) быть ненулевые евклидовыми векторов в п -мерного пространства ( R ^п ), которые направлены от вершины из в параллелепипеде , образующее ребро параллелепипеда. Полярный синус угла при вершине равен:

{\ displaystyle \ operatorname {psin} (\ mathbf {v} _ {1}, \ dots, \ mathbf {v} _ {n}) = {\ frac {\ Omega} {\ Pi}},}

где числитель - определитель

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {v} _ {1} & \ mathbf {v} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {v} _ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {vmatrix} v_ {11} & v_ {21} & \ cdots & v_ {n1} \\ v_ {12} & v_ {22} & \ cdots & v_ {n2} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ v_ {1n} & v_ {2n} & \ cdots & v_ {nn} \\\ end {vmatrix}} \ end {выровнено}}}

равный гиперобъему параллелоэдра с векторными ребрами

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {v} _ {1} & = (v_ {11}, v_ {12}, \ dots, v_ {1n}) ^ {T} \\\ mathbf {v} _ {2} & = (v_ {21}, v_ {22}, \ dots, v_ {2n}) ^ {T} \\ & \, \, \, \ vdots \\\ mathbf {v} _ {n } & = (v_ {n1}, v_ {n2}, \ dots, v_ {nn}) ^ {T}, \\\ конец {выровнено}}}

а в знаменателе n- кратное произведение

{\ Displaystyle \ Pi = \ prod _ {я = 1} ^ {n} \ | \ mathbf {v} _ {i} \ |}

из величин || v _i || векторов равен гиперобъему n- мерного гипер прямоугольника с ребрами, равными модулям векторов || v ₁ ||, || v ₂ ||, ... || v _n || (не сами векторы). Также см. Эрикссон.

Параллелоэдр похож на «сжатый гипер прямоугольник», поэтому он имеет меньший гиперобъем, чем гипер прямоугольник, что означает (см. Изображение для трехмерного случая):

{\ displaystyle \ Omega \ leq \ Pi \ подразумевает {\ frac {\ Omega} {\ Pi}} \ leq 1}

и поскольку это отношение может быть отрицательным, psin всегда ограничен между -1 и +1 неравенствами :

{\ displaystyle -1 \ leq \ operatorname {psin} (\ mathbf {v} _ {1}, \ dots, \ mathbf {v} _ {n}) \ leq 1, \,}

Что касается обычного синуса, то любая граница достигается только в том случае, если все векторы взаимно ортогональны .

В случае n = 2 полярный синус - это обычный синус угла между двумя векторами.

В высших измерениях

Неотрицательная версия полярного синуса, работающая в любом $m$ -мерном пространстве ( $m \geq n$ ), может быть определена с помощью определителя Грама . Числитель имеет вид

{\ displaystyle \ Omega = {\ sqrt {\ det \ left ({\ begin {bmatrix} \ mathbf {v} _ {1} & \ mathbf {v} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {v} _ {n} \ end {bmatrix}} ^ {T} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {v} _ {1} & \ mathbf {v} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {v} _ {n } \ end {bmatrix}} \ right)}} \ ,,}

где верхний индекс T указывает на транспонирование матрицы . В случае m = n это эквивалентно абсолютному значению определения, данного ранее.

Характеристики

Обмен векторами

Если размерность пространства больше n, то полярный синус неотрицателен и не изменяется всякий раз, когда два вектора v _j и v _k меняются местами. В противном случае он меняет знак всякий раз, когда два вектора меняются местами из-за антисимметрии обмена строками в определителе:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {v} _ {1} & \ mathbf {v} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {v} _ {i} & \ cdots & \ mathbf {v} _ {j} & \ cdots & \ mathbf {v} _ {n} \ end {bmatrix}} \\ & = - \! \ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {v} _ {1} & \ mathbf {v} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {v} _ {j} & \ cdots & \ mathbf {v} _ {i} & \ cdots & \ mathbf {v} _ {n} \ end {bmatrix}} \\ & = - \ Omega \ end {align}}}

Инвариантность относительно скалярного умножения векторов

Полярная синус не изменится , если все векторы v ₁ , ..., V _п являются скалярными умножаются положительными константами гр _I , в связи с разложением

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {psin} (c_ {1} \ mathbf {v} _ {1}, \ dots, c_ {n} \ mathbf {v} _ {n}) & = {\ frac {\ det {\ begin {bmatrix} c_ {1} \ mathbf {v} _ {1} & c_ {2} \ mathbf {v} _ {2} & \ cdots & c_ {n} \ mathbf {v} _ { n} \ end {bmatrix}}} {\ prod _ {i = 1} ^ {n} \ | c_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ |}} \\ [6pt] & = {\ гидроразрыв {\ prod _ {i = 1} ^ {n} c_ {i}} {\ prod _ {i = 1} ^ {n} | c_ {i} |}} \ cdot {\ frac {\ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {v} _ {1} & \ mathbf {v} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {v} _ {n} \ end {bmatrix}}} {\ prod _ {i = 1} ^ {n} \ | \ mathbf {v} _ {i} \ |}} \\ [6pt] & = \ operatorname {psin} (\ mathbf {v} _ {1}, \ dots, \ mathbf { v} _ {n}). \ end {выравнивается}}}

Если нечетное число этих констант вместо этого отрицательно, то знак полярного синуса изменится; однако его абсолютное значение останется неизменным.

Исчезает с линейными зависимостями

Если векторы не являются линейно независимыми , полярный синус будет равен нулю. Так будет всегда в вырожденном случае , когда количество измерений $m$ строго меньше количества векторов $n$ .

Связь с попарными косинусами

Косинус угла между двумя ненулевыми векторами дается

{\ displaystyle \ cos (\ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}) = {\ frac {\ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {2 }} {\ | \ mathbf {v} _ {1} \ | \ | \ mathbf {v} _ {2} \ |}} \,}

с использованием скалярного произведения . Сравнение этого выражения с определением абсолютного значения полярного синуса, данным выше, дает:

{\ displaystyle \ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}) \ right | ^ {2} = \ det \! \ left [ {\ begin {matrix} 1 & \ cos (\ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}) & \ cdots & \ cos (\ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf { v} _ {n}) \\\ cos (\ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {v} _ {1}) & 1 & \ cdots & \ cos (\ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {v} _ {n}) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ cos (\ mathbf {v} _ {n}, \ mathbf {v} _ {1}) & \ cos (\ mathbf {v} _ {n}, \ mathbf {v} _ {2}) & \ cdots & 1 \\\ end {matrix}} \ right].}

В частности, для $n = 2$ это эквивалентно

{\ Displaystyle \ грех ^ {2} (\ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}) = 1- \ соз ^ {2} (\ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}) \ ,,}

что является теоремой Пифагора .

История

Полярные синусы исследовал Эйлер в 18 веке.

Смотрите также

использованная литература

^ Лерман, Гилад; Белый дом, Дж. Тайлер (2009). «О d-мерных d-полуметриках и неравенствах симплексного типа для многомерных синусоидальных функций». Журнал теории приближений . 156 : 52–81. arXiv : 0805.1430 . DOI : 10.1016 / j.jat.2008.03.005 . S2CID 12794652 .
Перейти ↑ Eriksson, F (1978). «Закон синусов для тетраэдров и n- симплексов». Geometriae Dedicata . 7 : 71–80. DOI : 10.1007 / bf00181352 . S2CID 120391200 .
^ Эйлер, Леонард. «De mensura angulorum solidorum». Леонхарди Эйлери Опера Омния . 26 : 204–223.

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Полярный синус» . MathWorld .

[1] Лерман, Гилад; Белый дом, Дж. Тайлер (2009). «О d-мерных d-полуметриках и неравенствах симплексного типа для многомерных синусоидальных функций». Журнал теории приближений . 156 : 52–81. arXiv : 0805.1430 . DOI : 10.1016 / j.jat.2008.03.005 . S2CID 12794652 .

[2] Перейти ↑ Eriksson, F (1978). «Закон синусов для тетраэдров и n- симплексов». Geometriae Dedicata . 7 : 71–80. DOI : 10.1007 / bf00181352 . S2CID 120391200 .

[3] Эйлер, Леонард. «De mensura angulorum solidorum». Леонхарди Эйлери Опера Омния . 26 : 204–223.

Languages

In other projects