Синтетическая геометрия - Synthetic geometry
Геометрия |
---|
Геометры |
Синтетическая геометрия (иногда называемая аксиоматической геометрией или даже чистой геометрией ) - это изучение геометрии без использования координат или формул . Он полагается на аксиоматический метод и инструменты, непосредственно связанные с ними, то есть компас и линейку , чтобы делать выводы и решать проблемы.
Только после введения координатных методов появилась причина ввести термин «синтетическая геометрия», чтобы отличить этот подход к геометрии от других подходов. Другие подходы к геометрии воплощены в аналитической и алгебраической геометрии, где можно использовать анализ и алгебраические методы для получения геометрических результатов.
По словам Феликса Кляйна
Синтетическая геометрия изучает фигуры как таковые, не прибегая к формулам, тогда как аналитическая геометрия последовательно использует такие формулы, которые могут быть записаны после принятия соответствующей системы координат.
Геометрия, представленная Евклидом в « Элементах», является типичным примером использования синтетического метода. Это излюбленный метод Исаака Ньютона для решения геометрических задач.
Синтетические методы были наиболее заметными в течение 19 - го века , когда геометры отвергнуты скоординировать методы в создании основ по проективной геометрии и неевклидовой геометрии . Например, геометр Якоб Штайнер (1796 - 1863) ненавидел аналитическую геометрию и всегда отдавал предпочтение синтетическим методам.
Логический синтез
Процесс логического синтеза начинается с некоторой произвольной, но определенной отправной точки. Эта отправная точка - введение примитивных понятий или примитивов и аксиом об этих примитивах:
- Примитивы - это самые основные идеи. Обычно они включают в себя как объекты, так и отношения. В геометрии объекты - это такие вещи, как точки , линии и плоскости , в то время как фундаментальные отношения - это отношение инцидентности - когда один объект встречается или соединяется с другим. Сами термины не определены. Гильберт однажды заметил, что вместо точек, линий и плоскостей можно было бы с таким же успехом говорить о столах, стульях и пивных кружках, причем суть в том, что примитивные термины - это просто пустые заполнители и не имеют внутренних свойств.
- Аксиомы - это утверждения об этих примитивах; например, любые две точки вместе инцидентны только одной линии (то есть, что для любых двух точек есть только одна линия, которая проходит через обе из них). Аксиомы считаются верными и не доказаны. Они являются строительными блоками геометрических концепций, поскольку определяют свойства примитивов.
Из заданного набора аксиом синтез исходит как тщательно построенный логический аргумент. Когда значительный результат строго доказывается, он становится теоремой .
Свойства наборов аксиом
Не существует фиксированного набора аксиом для геометрии, так как можно выбрать более одного согласованного набора . Каждый такой набор может привести к разной геометрии, хотя есть также примеры различных наборов, дающих одну и ту же геометрию. При таком изобилии возможностей говорить о «геометрии» в единственном числе уже неуместно.
Исторически параллельный постулат Евклида оказался независимым от других аксиом. Простое отбрасывание дает абсолютную геометрию , а отрицание дает гиперболическую геометрию . Другие непротиворечивые наборы аксиом могут дать другую геометрию, например проективную , эллиптическую , сферическую или аффинную геометрию.
Аксиомы непрерывности и «промежуточности» также являются необязательными, например, дискретные геометрии могут быть созданы путем их отбрасывания или изменения.
После программы Эрланген из Klein , природа любой заданной геометрии можно рассматривать как связь между симметрией и содержание предложений, а не стиль развития.
История
Первоначальная трактовка Евклида оставалась неизменной в течение более двух тысяч лет, пока одновременное открытие неевклидовой геометрии Гауссом , Бойяи , Лобачевским и Риманом в 19 веке не привело математиков к сомнению в основных предположениях Евклида.
Один из первых французских аналитиков резюмировал синтетическую геометрию следующим образом:
- Элементы Евклида обработаны синтетическим методом. Этот автор, сформулировав аксиомы и сформировав реквизиты, установил утверждения, которые, как он доказывает, последовательно подкрепляются предыдущими, всегда переходя от простого к сложному , что является существенным признаком синтеза.
Расцветом синтетической геометрии можно считать 19 век, когда аналитические методы, основанные на координатах и исчислении, игнорировались некоторыми геометрами, такими как Якоб Штайнер , в пользу чисто синтетического развития проективной геометрии . Например, рассмотрение проективной плоскости, исходя из аксиом инцидентности, на самом деле является более широкой теорией (с большим количеством моделей ), чем можно найти, начиная с векторного пространства размерности три. На самом деле проективная геометрия имеет самое простое и элегантное синтетическое выражение любой геометрии.
В своей программе Эрланген , Феликс Клейн преуменьшить напряженность между синтетическими и аналитическими методами:
- О противоположности синтетического и аналитического методов в современной геометрии:
- Различие между современным синтезом и современной аналитической геометрией больше не должно рассматриваться как существенное, поскольку и предмет, и методы рассуждения постепенно приняли одинаковую форму в обоих. Поэтому мы выбираем в тексте как общее обозначение их обоих термин проективная геометрия. Хотя синтетический метод больше связан с восприятием пространства и тем самым придает редкое очарование его первым простым разработкам, область восприятия пространства, тем не менее, не закрыта для аналитического метода, и формулы аналитической геометрии можно рассматривать как точное и наглядное изложение геометрических соотношений. С другой стороны, не следует недооценивать преимущество оригинального исследования хорошо сформулированного анализа - преимущество, обусловленное его продвижением, так сказать, перед мыслью. Но всегда следует настаивать на том, что математический предмет не следует считать исчерпанным до тех пор, пока он не станет интуитивно очевидным, и прогресс, достигнутый с помощью анализа, является лишь первым, хотя и очень важным шагом.
Тесная аксиома исследование евклидовой геометрии привело к построению четырехугольника Ламберта и четырехугольнику Саккери . Эти структуры представили область неевклидовой геометрии, в которой отрицается параллельная аксиома Евклида. Гаусс , Бойяи и Лобачевский независимо построили гиперболическую геометрию , в которой параллельные прямые имеют угол параллельности , зависящий от их разделения. Это исследование стало широко доступным благодаря модели диска Пуанкаре, в которой движения задаются преобразованиями Мёбиуса . Точно так же Риман , ученик Гаусса, построил риманову геометрию , частным случаем которой является эллиптическая геометрия .
Другой пример касается инверсивной геометрии, предложенной Людвигом Иммануэлем Магнусом , которую можно считать синтетической по духу. Тесно связанная операция возвратно-поступательного движения выражает анализ плоскости.
Карл фон Штаудт показал, что алгебраические аксиомы, такие как коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, на самом деле являются следствием инцидентности прямых в геометрических конфигурациях . Дэвид Гильберт показал, что конфигурация Дезарга играет особую роль. Дальнейшую работу проделали Рут Муфанг и ее ученики. Эти концепции были одним из мотиваторов геометрии инцидентности .
Когда параллельные прямые принимаются за первичные, синтез дает аффинную геометрию . Хотя евклидова геометрия является одновременно аффинной и метрической геометрией , в общем случае в аффинных пространствах может отсутствовать метрика. Дополнительная гибкость, предоставляемая таким образом, делает аффинную геометрию подходящей для изучения пространства-времени , как это обсуждалось в истории аффинной геометрии .
В 1955 году Герберт Буземанн и Пол Дж. Келли озвучили ностальгическую ноту по синтетической геометрии:
- Геометры, хотя и неохотно, должны признать, что красота синтетической геометрии потеряла свою привлекательность для нового поколения. Причины ясны: не так давно синтетическая геометрия была единственной областью, в которой рассуждения строго основывались на аксиомах, тогда как этот призыв - столь фундаментальный для многих математически интересующихся людей - теперь делается во многих других областях.
Эта аналитическая геометрия не может заменить без серьезных потерь синтетическую геометрию.
Например, обучение в колледжах теперь включает линейную алгебру , топологию и теорию графов, где предмет разрабатывается на основе первых принципов, а предложения выводятся с помощью элементарных доказательств .
Сегодняшний студент геометрии имеет отличные аксиомы Евклид доступно: см аксиом Гильберта и аксиомы Тарских .
Эрнст Кёттер опубликовал (на немецком языке) отчет в 1901 г. «Развитие синтетической геометрии от Монжа до Штаудта (1847 г.)» ;
Доказательства с использованием синтетической геометрии
Синтетические доказательства геометрических теорем используют вспомогательные конструкции (например, вспомогательные линии ) и такие понятия, как равенство сторон или углов, а также подобие и соответствие треугольников. Примеры таких доказательств могут быть найдены в статьях теорема бабочки , биссектриса теорема , теорема Аполлония , теорема Британского флага , теорема Чевы , Равная вписанной теорема , Геометрическая средняя теорема , формула Герона , теорема равнобедренного треугольника , косинусы , и другие, связаны с здесь .
Вычислительная синтетическая геометрия
В сочетании с вычислительной геометрией , A вычислительная геометрия синтетической была основана, имея тесную связь, например, с матроидами теории. Синтетическая дифференциальная геометрия - это приложение теории топосов к основам теории дифференцируемых многообразий .
Смотрите также
Примечания
использованная литература
- Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Дувр, ISBN 978-0-486-43832-0
- Гринберг, Марвин Джей (1974), Евклидова и неевклидова геометрия / Развитие и история , Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
- Halsted, GB (1896) Элементарная синтетическая геометрия из Интернет-архива
- Холстед, Джордж Брюс (1906) Синтетическая проективная геометрия , через Интернет-архив .
- Гильберт и Кон-Фоссен, Геометрия и воображение .
- Кляйн, Феликс (1948), Элементарная математика с продвинутой точки зрения / геометрия , Нью-Йорк: Дувр
- Млодинов, Леонард (2001), Окно Евклида / История геометрии от параллельных линий до гиперпространства , Нью-Йорк: The Free Press, ISBN 0-684-86523-8
- Памбуччиан, Виктор; Шахты, Силие (2021), "Случай для неприводимости геометрии к алгебре" , Philosophia Mathematica , 29 (4), DOI : 10,1093 / philmat / nkab022